MATEMÁTICA A - 11.º Ano TRIGONOMETRIA

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1 MATEMÁTICA A - 11.º Ano TRIGONOMETRIA NOME: N.º 1. Na figura ao lado [ABCD] é um quadrado de lado 5 cm. O é o ponto de interseção das diagonais. Calcula: 1.1. AB BC 1.2. AB DC 1.3. AB BD 1.4. AO DC 2. Na figura ao lado [ABCDEF] é um hexágono regular de lado 1 cm. Calcula: 2.1. AB BC 2.2. OF AO 2.3. AO OC 3. Calcula: u 4u 6v, sendo u v 3 e u v u 2v v sendo 3.3. u 2; v 3 4. Sabe-se que 3 perpendiculares. e u^ v 6 1 u 3; v 1 e cos u^ v. Calcule k de modo que ku 2v e u sejam dois vetores 5. Determine um vetor de norma 5 que seja perpendicular ao vetor, Na figura [LUA] é um triângulo. Determine a amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo. 7. Considere os vetores: u 2, 5 ; v 3, 2 e 2, Calcule: u ; v e w Calcule: u v ; v w e u w Determine: v u^ ; v^ w e w u^. 8. Sendo A 3, 4 ; B 2, 1 e 4, Calcule AB BC e AC BA. C : 8.2. Determine o ângulo entre os vetores AB e BC. w. IMP.CM /6

2 9. Sendo a 1,0,3, b 2, 5,0 e c 0,1, 9.1. a b 9.2. a c 9.3. b c 10. Considere os pontos A 0, e B 2, 1, calcule: Uma equação da mediatriz do segmento de reta [AB] Uma equação da circunferência de diâmetro [AB]. 11. Considere a circunferência : x 1 y Verifique que o ponto 1, 2 2 C.. Recorrendo à definição de produto escalar, determine: A pertence a C Determine uma equação da reta tangente à circunferência C no ponto A. 12. Considere os pontos A 4, e 2, 1 B Escreva as coordenadas do vetor AB Usando a definição de produto escalar, escreva uma equação: da mediatriz de AB ; da circunferência de diâmetro AB ; da tangente à circunferência de diâmetro AB, no ponto B. 13. Sendo u 4, 2, 1, escreva: As coordenadas de 3 vetores perpendiculares a u A expressão geral que representa todos os vetores do espaço perpendiculares ao vetor u. 14. Determine um vetor que no espaço seja perpendicular ao vetor 1, 0, Seja O i, j, um referencial ortonormado do plano. a e tenha norma Escreva uma equação da reta que passa em A 2, e é perpendicular a 1, Escreva uma equação da reta que passa em 3, Sejam A 2,1 e 1, Considere o plano de equação y z 3 0 u. B e é perpendicular à reta de equação 2x 5y 1 0. B dois pontos do plano. Determine uma equação da mediatriz AB. x e a reta que passa por A 1,1,1 e tem a direção do vetor 1, 1, Qual a posição da reta em relação ao plano? Justifique Determine o ponto de interseção da reta com o plano. 17. Sabe-se que: O ponto A tem coordenadas, 5, 2 0 ; O ponto B pertence ao plano xoz ; O ponto C pertence ao plano xoy ; x, y, z 5, 4, 1 k 1, 2, 1, k IR é uma equação vetorial da reta BC Mostre que o ponto B tem de coordenadas 3, 0,1 e que o ponto C tem de coordenadas 4, 2, Mostre que o triângulo ABC é retângulo em C De um plano sabe-se que passa em A e é perpendicular a BC. Determine uma equação de. u. IMP.CM /6

3 , 1, considere o ponto A 1, e as retas r e s tais que: 2 x r : 2y 1 e s : x, y 2, 0 k 2,1, 2 k IR Mostre que o ponto A não pertence à reta r mas pertence à reta s Determine o ângulo formado pelas retas r e s (resultado arredondado às décimas) Escreva a equação reduzida da reta que passa por A e é paralela à reta r Escreva a equação reduzida da reta que passa por A e é perpendicular à reta s. 18. Num referencial o.n. O i, j 19. No referencial da figura está representado um octógono regular [ABCDEFGH]. Sabe-se que os vértices A e B têm de coordenadas 2,0 e 4,0, respetivamente Mostre que: º , 2 2 são as coordenadas do vértice H Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta AH com o eixo das ordenadas Escreva uma equação da reta CD Escreva a equação reduzida da reta que passa por A e é perpendicular à reta AH., 2x y, considere os pontos A 3, 2 e B 1, 0 e a reta r de equação Determine as inclinações das retas AB e r. Apresente os resultados arredondados às unidades Mostre que as retas r e AB são perpendiculares Escreva uma equação vetorial da mediatriz de [AB]. 20. Num referencial o.n. O i, j 21. No referencial o.n. da figura está representada uma circunferência de centro no ponto 1, tangente no ponto A 4, 1. C e uma reta t que lhe é Escreva a equação reduzida da reta t Sabe-se que a reta t, distinta de t, é tangente à circunferência e paralela à reta t Determine as coordenadas do ponto de tangência Escreva uma equação vetorial da reta t Apresente uma condição que caracterize os pontos do 4º quadrante que pertencem à região limitada pela circunferência e pela reta t, incluindo a fronteira. 22. Num referencial o.n. O i, j, k uma aresta de um cubo.,, os pontos A 2, -1,0 e 0,1, 2 B são extremos de O plano mediador de [AB] é designado por Mostre que o plano pode ser definido pela equação x y z O ponto C de coordenada, 2,1 3 pode ser o centro do cubo? Justifique. IMP.CM /6

4 Trigonometria IMP.CM /6

5 IMP.CM /6

6 IMP.CM /6

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