FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 2

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. No referencial ortonormado da figura seguinte, ABCD é um quadrado inscrito na circunferência de centro O 00,. O vértice B tem coordenadas,. (5).. Justifique que a mediatriz de BD contém os pontos A e C e mostre que a equação reduzida dessa mediatriz é y x. A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos do segmento BD. Ora, como [ABCD] é um quadrado sabemos que AB AD CD CB = lado do quadrado. Portanto, os pontos A e C pertencem à mediatriz de BD. Como B,, então D,, pois é o simétrico de D em relação à origem do referencial, uma vez que o centro do quadrado coincide com a origem. Portanto, a equação da mediatriz é x y x y x 8x 6 y 6y 9 x 8x 6 y 6y y 6y 8x 8x y 6x x y x y 6x y y x Esta é a equação reduzida da mediatriz de BD, quer dizer, da reta AC. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão

2 (8).. Escreva a equação da circunferência e mostre que os pontos A e C têm coordenadas, e,, respetivamente. Equação da circunferência: 0 0 Raio: x y OB x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão y 5 OB ou calcular OB Para mostrar que A, e C, podemos usar, pelo menos, dois processos:.º processo: Uma reta e uma circunferência têm, no máximo, dois pontos comuns. A, pertence às duas curvas. Vejamos se P.V. P.V. C, pertence às duas curvas. Vejamos se P.V. P.V. Portanto, A e C são os pontos comuns à circunferência e à reta AC..º processo: Resolver o sistema com as equações das duas curvas (ver Versão ). (5).. Determine a equação reduzida da reta AB e indique uma condição que represente a região sombreada. A região sombreada está abaixo da reta AB e dentro da circunferência. Comecemos por descobrir a equação reduzida de AB: y mx b m AB 7 7 ou AB B A 7,, A, e B, v e mab v 7 7 Como A, é um ponto da reta temos b b Portanto, a equação reduzida de AB é y x Assim, a região sombreada é definida por y x x y b (5).. Determine as coordenadas de todos os vetores colineares com OB e que têm norma 5. OB B O, é da forma v kob, com k. Qualquer vetor colinear com Portanto, v k, k, k. Como pretendemos que 5 6k 9k 5 Assim, se v, então k k 5k k 5 k temos o vetor v,, 9 k temos o vetor simétrico v, 9 se k 9 k 9 Portanto, só estes dois vetores são colineares com OB, Outro processo: Ver Versão. 5 7 k e têm norma 5.

3 . No referencial ortonormado Oxyz da figura seguinte estão representados: - uma esfera de centro C e diâmetro [OA], sendo 060,, as coordenadas do ponto A; - um plano que interseta a esfera e é paralelo ao plano coordenado xoz; - um ponto B de coordenadas 0, 5, 5, comum ao plano e à superfície da esfera. (0).. Diga, justificando, qual das condições seguintes define a esfera. (A) x y z 9 (B) x y z 6 (C) x y z 9 (D) d Trata-se da esfera de centro 0,, 0 e raio r. x y z 9 Portanto, a condição que define a esfera é (C) x y z 0 0 (8).. Sabendo que [BD] é um diâmetro da esfera, determine as coordenadas do ponto D. Como [BD] é um diâmetro da esfera e B está na superfície da esfera, então D C BC. Temos BC C B 0,, 0 0, 5, 5 0,, 5 Assim, D 0,, 0 0,, 5 0,, 5 Outros processos: C é o ponto médio de [BD]. Ou D B BC (5).. Justifique que o plano tem equação y 5 e calcule a área da interseção da esfera com esse plano. Como é paralelo a xoz tem uma equação do tipo y qualquer do plano). b (sendo b a ordenada de um ponto Sabemos que B 0, 5, 5 é um ponto do plano, então o plano tem equação y 5. A interseção do plano com a esfera é o círculo definido por: Substituindo y na condição da esfera obtemos Trata-se do círculo de centro 050,, e raio r z b 5. Outro processo: ver Versão Assim, a área desse círculo é x y z y 9 5 x 5 z 9 x z unidades quadradas. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão

4 (0).. Admita agora que o plano, partindo do ponto O, se desloca até ao ponto A. Seja g a função que a cada valor da ordenada b do plano faz corresponder a área a da secção produzida na esfera pelo plano. Diga, justificando, qual dos seguintes pode ser o gráfico da função g? A ordenada de P varia entre 0 e 6. Assim, Dg 0, 6. Portanto, não pode ser o gráfico C. A área da secção obtida é máxima para b, quando o plano passa pelo centro da esfera, diminuindo novamente até zero à medida que b se aproxima de 6. Assim, só o gráfico A representa a área da seção produzida pelo plano.. No referencial ortonormado Oxyz da figura seguinte está representado um octaedro regular [ABCDEF] cujo centro coincide com a origem do referencial. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão

5 (8).. Usando as letras (pontos) da figura, indique, justificando, dois vetores simétricos. Como temos um octaedro regular, todas as arestas têm o mesmo comprimento. Assim, como [ABCD] é um quadrado os lados opostos são paralelos. Portanto, os vetores AB e CD (por exemplo) são simétricos. (5).. Efetue as operações seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras. Apresente os raciocínios efetuados. (A) F CE... = F FA A (B) AB DA... = AB AD AB BC AC (C) D FO EB... = D FE EB = D FB = D DE = E (5).. Sabendo que o ponto B tem coordenadas 0,, 0, mostre que x,y,z,, k,,, k é uma equação vetorial da reta BF e averigue se o ponto 0, 5, pertence a BF. Uma equação vetorial de BF é da forma P A k BF, k. Temos B 0,, 0 e F 0, 0,, portanto BF F B 0, 0, 0,, 0 0,, Portanto, uma equação de BF é x,y,z,, k,,, k O ponto 0 5,, pertence à reta BF se e só se ' k : 0, 5, 0,, 0 k 0,, Assim, 0, 5, 0, k, k 5 k k k k k k Logo, como existe um k único, 0, 5, não é ponto da reta BF. ().. Unindo os pontos médios das arestas que se encontram no vértice F obtém-se o quadrilátero [PQRS], conforme ilustra a figura da direita. Diga, justificando, se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa: Volume PQRSF Volume ABCDF Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/7 Versão

6 [AECFB] e [PQRSB] são pirâmides quadrangulares regulares (e semelhantes). A 00,, e E 0,, 0 Lado AB A pirâmide quadrangular [ABCDF] tem base de área AB e altura OF. 8 Assim, Volume ABCDF Temos PQ AB, porque unindo os pontos médios dos lados de um triângulo obtemos um segmento paralelo ao terceiro lado e com metade do seu comprimento (Questão Aula). A pirâmide [PQRSF] tem base de área OF PQ 8 e altura. 6 Assim, Volume PQRSF 8 Volume ABCDF 8 8 Portanto, 8, e a afirmação é falsa. Volume PQRSF 6 Outro processo: Ver Versão 6. No referencial da figura abaixo estão representadas várias parábolas identificadas por f, f, f e f, sendo a função f definida por f x x. Todas as parábolas têm a mesma abertura, isto é, a. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/7 Versão

7 ().. Escreva a expressão algébrica que define cada uma das funções na forma y ax h k. Nota: recordar que a expressão f x ax h k representa a família de parábolas que têm a mesma forma (ou abertura), que é dada por a, e vértice no ponto V h,k. f tem vértice V, e o mesmo sentido da concavidade de f, isto é a. Assim: 5 f x x 5 Portanto, tem expressão f tem vértice V 0, e concavidade contrária à de f, isto é a. f x x Portanto, tem expressão f tem vértice V, e o mesmo sentido da concavidade de f, isto é a. f x x (0).. Para a função f, indique: o domínio, o contradomínio, os extremos e os intervalos de monotonia. Domínio: Portanto, tem expressão Df Contradomínio: D f, Tem apenas um máximo (absoluto): y 0 É crescente em, e decrescente em, 0 (0).. Indique, caso existam, os zeros de f e construa o quadro de sinais da função. A função f tem dois zeros: x 5 e x Tabela de sinais x f x ().. Seja g uma função cujo gráfico tem a mesma abertura do gráfico de f, definida por: g x x 6x Transforme a expressão de g numa expressão do tipo g x ax h k e indique a equação do eixo de simetria e as coordenadas do vértice da parábola de g. g x Portanto, x 6x x x colocando a em evidência x x somando e subtraindo o quadrado de metade de x x x reconstruindo o quadrado x distribuindo a simplificando a expressão x é a equação do eixo de simetria do gráfico de g cujo vértice é V,. BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/7 Versão