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1 Teste de Matemática A 018 / 019 Teste N.º 1 Matemática A Duração do Teste: 90 minutos NÃO É PERMITIDO O USO DE CALCULADORA 10.º Ano de Escolaridade Nome do aluno: N.º: Turma: Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

2 1. Considere uma pirâmide quadrangular regular cujas arestas medem a. A área total da pirâmide pode ser dada em função de a por: (A) 1 + a (B) 1 + a (C) 1 + a (D) 1+ a. Determine o valor exato da área de um quadrado inscrito numa circunferência de raio Apresente o resultado sob a forma de fração com denominador racionalizado No plano munido de um referencial o.n. OOO, considere o conjunto de pontos definido pela condição ~( O < 0 O O ). Em qual das opções seguintes se encontra esse conjunto de pontos representado? (A) (B) (C) (D)

3 . Considere, num plano munido de um referencial o.n. OOO, os pontos P(1, ), Q(, ) e R(k, k 1), com k R..1. Escreva uma equação vetorial da reta paralela à bissetriz dos quadrantes pares e que contém o ponto médio de [PQ]... Determine o valor de k de modo que R:..1. pertença à reta PQ;... pertença à mediatriz de [PQ]... Determine as coordenadas do vetor colinear com PQ, de sentido contrário ao de PQ e de norma A expressão (a 6 b 8 ) 1 8a (A) ab (B) ab é igual, para quaisquer números reais positivos a e b, a: (C) a b (D) (ab) 6. Na figura estão representadas, num referencial o.n. OOO, a circunferência definida pela condição O + O O 10O 0, duas retas, r e s, e um ponto A no segundo quadrante. Sabe-se ainda que: A é um ponto de ordenada 7 e pertence à circunferência; a reta r passa no ponto A e na origem do referencial; a reta s contém o ponto A e é paralela ao eixo das abcissas Indique o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: O centro da circunferência pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. O π + 6k A reta r é paralela à reta t definida por O 1k, k R. 6.. Defina por uma condição o conjunto de pontos a sombreado na figura, incluindo a fronteira.

4 7. Considere as proposições: p: ( 019) 019 q: ( 018) 018 Qual das seguintes proposições é verdadeira? (A) p q (B) p q (C) q p (D) p q 8. Fixado um referencial o.n. OOO, considere uma reta r paralela ao eixo das ordenadas. Qual das seguintes equações pode definir essa reta? (A) (O, O) (1,1) + k(018, 018), k R (B) (O, O) (,) + k(018, 0), k R (C) (O, O) (, ) + k(0, 018), k R (D) (O, O) (,) + k( 018, 018), k R FIM COTAÇÕES Item Cotação (em pontos)

5 TESTE N.º 1 Proposta de resolução 1. Opção (A) Seja A a área total da pirâmide quadrangular regular de aresta a. A a + a h, onde h é a altura de cada uma das faces. Assim: A a + a a a + a a + a a (1+ ) Cálculo auxiliar h + a a h a a h a Logo, h a a.. Seja l o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r e A a área do quadrado. A l ) + 7 Cálculo auxiliar r l + l (r) l l Opção (B) ~(y<0 y x) y 0 y<x

6 ..1. Coordenadas do ponto médio de [PP]: 1+( ), +( ) 1,0 Coordenadas de um vetor diretor da bissetriz dos quadrantes pares: ( 1,1) Equação vetorial da reta pretendida: (x, y) 1,0 +k( 1,1), k R PP P P(, ) (1,)(, ) m y x+ b Como P pertence à reta PP, vem 1+b. Logo, b. Equação reduzida da reta PP: y x+ Para que R(k, k 1) pertença à reta PP, tem que se verificar: k 1 k+ k k +1 1 k 5 k 5... Para que R(k, k 1) pertença à mediatriz de [PP], tem que se verificar d(r, P)d(R, P). Temos que: d(r, P)d(R, P) (k 1) +(k 1 ) (k+) +(k 1+) k k+1+k 6k+9k +k++k +k+1 8k+106k+5 1k 5 k 5 1 Logo, o valor de k para o qual R pertence à mediatriz de [PP] é PP (, ) Para o vetor ser colinear com PP, tem de ser da forma λpp, isto é,( λ, λ), λ R. Para que tenha norma 15, tem que acontecer: ( λ) +( λ) 15 9λ +16λ 15 5λ 15 λ 15 5

7 λ± 15 5 λ λ 5 5 Para que o vetor tenha sentido contrário ao de PP, tem-se que λ Assim, o vetor nas condições pretendidas tem coordenadas 15 5, Opção (D) (a 6 b 8 ) 1 8a 1 8a a 6 b 8 8a a 6 b 8 a 8 b 8 1 (a 8 b 8 1 ) 1 ( ) a b 1 (ab) (ab) x + y x 10y0 x x+ + y 10y (x ) +(y 5) 9 O centro da circunferência é o ponto de coordenadas (, 5). Como este ponto não pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, pois não verifica a condição yx, a proposição apresentada é falsa Determinação das coordenadas do ponto A: A(x,7) Como A pertence à circunferência, vem que: (x ) +(7 5) 9 (x ) +9 (x ) 5 x 5 x 5 x7 x

8 Como A pertence ao.º quadrante, tem--se que x<0. Logo, x. Assim, A(,7). OA é um vetor diretor da reta r e A OA O(,7). Logo, a equação reduzida é do tipoy 7 x+ b. Como a reta passa na origem, vem que y 7 x. A reta t definida por xπ+6k, k R tem como vetor diretor u (6, 1) (por exemplo) y 1k e o seu declive é, então, Como os declives das retas r e t são iguais, as retas são paralelas (não são retas coincidentes pois, por exemplo, o ponto da reta t de coordenadas (π, ) não pertence à reta r, já que 7 π ). Assim, a proposição apresentada é verdadeira. 6.. ((x ) +(y 5) 9 y 7) (x ) +(y 5) 9 y 7 x (x ) +(y 5) 9 y 7 y 7 x 7. Opção (B) p: ( 019) 019 é uma proposição falsa. q: ( 018) Assim: (p q) (F V) F (p q) (F V) V (q p) (V F) F (p q) (F V) F 018 é uma proposição verdadeira. 8. Opção (C) Das opções apresentadas, apenas o vetor de coordenadas (0, 018) tem a direção do eixo Oy. Assim, a única equação que pode definir a reta r é (x, y)(,)+k(0,018), k R.