Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A. 5º Teste de avaliação versão2. Grupo I

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A 5º Teste de avaliação versão Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Na figura seguinte, estão representadas graficamente as funções f e g, de domínio IR Podemos afirmar que: f g A. f ( ) = g( + 6) 1 B. ( ) ( ) C. f ( ) = g( + 6) + 1 D. ( ) ( ) f = g 6 1 f = g Considere a família de funções f tais que f ( ) = a + b; a,b IR Se a < 0 e b < 0, qual das seguintes representações gráficas pode corresponder à função f. A. B. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 01/013

2 C. D. 3. Considere num referencial o.n. Oz, uma reta r, perpendicular ao plano Oz. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? A. A reta r é perpendicular ao plano O B. A reta r está contida no plano O C. A reta r é perpendicular ao eio O D. A reta r é paralela ao eio O 4. Num referencial o.n. Oz, considere um ponto A pertencente ao semieio positivo O e um ponto B pertencente ao semieio positivo O. Quais das seguintes podem ser as coordenadas do vetor AB? A. (,0,1 ) B. (,0, 1) C. (,1,0 ) D. (, 1,0 ) 5. Considere, num referencial o.n. O, a circunferência de equação ( ) ( ) Qual das equações seguintes define uma reta tangente a esta circunferência? = 16. A. = 3 B. = 1 C. = 3 D. = 4 Grupo II 1. Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eato. A base da pirâmide é paralela ao plano O. O ponto A tem coordenadas ( 6,6,5 ). O ponto B pertence ao plano Oz. O ponto C pertence ao eio Oz. O ponto D pertence ao plano Oz. O ponto E é o centro da base da pirâmide. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 01/013

3 O vértice V da pirâmide pertence ao plano O 1.1. Escreva as coordenadas dos pontos B, C, D, E e V. 1.. Defina por uma condição: O plano da base da pirâmide 1... O círculo de raio e centro na origem do referencial que esteja contido no plano Oz Determine uma equação da superfície esférica de diâmetro [AC] Mostre que uma equação do plano mediador de [BD] é = Determine as coordenadas do ponto ( ) mediador de [BD]. 3. Dado o polinómio P( ) = 5 + m +. F, k,k, k IR de modo que pertença ao plano.1. Determine o valor de m, de forma que o resto da divisão de P() por 1 seja... Faça m = 1 e decomponha P() em fatores do tipo a + b, a IR b IR, sabendo que P() é divisível por. 3. Considere num referencial O o quadrado [ABCD]. A e B são pontos dos eios coordenados com ordenada 1 e abcissa 1, respetivamente. Considere que o ponto P se desloca ao longo do trajeto que a figura sugere: P parte de A e percorre sucessivamente aos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], terminando o percurso em A. Admita que o ponto P demora um segundo a percorrer cada um dos lados. Seja d(t) a distância do ponto P à origem do referencial, t segundos após a partida. Qual dos seguintes pode ser o gráfico da função d? Numa pequena composição indique as razões que o levam a rejeitar os restantes gráficos. Indique três razões, uma por cada gráfico rejeitado. A. B. C. D. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 01/013

4 4. A figura representa uma ponte sobre um rio. A distância mínima do arco da ponte ao tabuleiro é de 6 m. Sejam A e B os pontos de interseção do arco da ponte com o nível da água do rio. Considere a reta AB como eio orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto O, e onde uma unidade corresponde a um metro. Para cada ponto situado entre A e B, de abcissa, a altura do arco, em metros, é dada por: f ( ) = f = Verifique que ( ) ( ) 4.. Uma empresa está a estudar a hipótese de construir uma barragem neste rio. Se tal empreendimento se concretizar, o nível das águas no local da ponte subirá 0 metros. 9 m Nesse caso a ponte ficaria submersa? Justifique a sua resposta Determine, em metros com aproimação às centésimas, a distância entre A e B Um barco com a altura máima de 16,5 metros acima do nível da 16 m água e que, a 16 metros de altura tem uma largura de 9 metros, pode passar por baio desta ponte? NOTA: Nos cálculos intermédios sempre que proceder a arredondamentos conserve no mínimo, três casas decimais. Nota: Sempre que recorra à calculadora gráfica deve indicar todos os passos que efetuar, utilizando linguagem matemática, desenhar o(s) gráfico(s) que obteve e reproduzir a(s) tabela(s) que tenha necessidade de consultar, assinalando os valores que encontrou e que servem de resposta às perguntas colocadas.. FIM Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 01/013

5 Cotações Grupo I. ( 5 10 pontos ) pontos Grupo II. 150 pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos.. 5 pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos TOTAL.. 00 pontos Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 01/013

6 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A 5º Teste de avaliação versão Proposta de resolução Grupo I 1. C. Na figura seguinte, estão representadas graficamente as funções f e g, de domínio IR f g Podemos afirmar que: f ( ) = g( + 6) + 1 porque se obtém f a partir de g fazendo uma translação horizontal associada ao vetor de coordenadas (-6,0) seguida de uma translação vertical associada ao vetor de coordenadas (0,1).. B. Consideremos a família de funções f tais que f ( ) = a + b; a,b IR Se a < 0 e b < 0, só a representação gráfica B. pode corresponder à função f porque f tem dois zeros um igual a zero e outro negativo porque: b a < 0 e b < 0 faz com que < 0 a 3. D. Consideremos num referencial o.n. Oz, uma reta r, perpendicular ao plano Oz. A afirmação que é necessariamente verdadeira é: A reta r é paralela ao eio O 4. D. Num referencial o.n. Oz, considere um ponto A (0,a,0) com a positivo, pertencente ao semieio positivo O e um ponto B (b,0,0) com b positivo pertencente ao semieio positivo O. As coordenadas do vetor AB são: AB = B A = b,0,0 0,a,0 = b, a,0 nas condições pedidas. ( ) ( ) ( ) logo só (, 1,0 ) está =-3 4 = =5 5. C. Considere, num referencial o.n. O, a circunferência de equação ( ) ( ) = 16. Uma reta tangente a esta circunferência em equação = O 5 Grupo II -6 =-6 Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 01/013

7 1. Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: A base da pirâmide é paralela ao plano O. O ponto A tem coordenadas ( 6,6,5 ). O ponto B pertence ao plano Oz. O ponto C pertence ao eio Oz. O ponto D pertence ao plano Oz. O ponto E é o centro da base da pirâmide. O vértice V da pirâmide pertence ao plano O 1.1. As coordenadas dos pontos são B( 0,6,5 ), C( 0,0,5 ), D( 6,0,5 ), E( 3,3,5 ) e V ( 3,3,0 ). 1.. Defina por uma condição: O plano da base da pirâmide tem por equação z = O círculo de raio e centro na origem do referencial que esteja contido no plano Oz fica definido por: + + z 4 = 0 + z 4 = Uma superfície esférica de diâmetro [AC] tem centro E e raio representada por ( ) ( ) ( ) z 5 = 18 6 r = = 3 e é 1.4. Mostremos que uma equação do plano mediador de [BD] é = : ( ) ( ) ( ) ( ) z 5 = z = = 1.5. Determinemos as coordenadas do ponto ( ) F, k,k, k IR de modo que pertença ao plano mediador de [BD]. Terá de ser = pelo que k = - e então F(,, 4). 3. Dado o polinómio P( ) = 5 + m Determine o valor de m, de forma que o resto da divisão de P() por 1 seja m m P = 5 + m + = + + = = 1 m = Faça m = 1 e decomponha P() em fatores do tipo a + b, a IR b IR, sabendo que P() é divisível por. Comecemos por baiar o grau do polinómio utilizando a regra de Rufinni para o dividir por. Obtemos então P( ) = ( )( 1) Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 01/013

8 Calculemos os zeros de 1: 1 P ( ) = ( )( ) + = ( )( )( + ) 1± = 0 = = 1 = 4 3. Considere num referencial O o quadrado [ABCD]. A e B são pontos dos eios coordenados com ordenada 1 e abcissa 1, respetivamente. Considere que o ponto P se desloca ao longo do trajeto que a figura sugere: P parte de A e percorre sucessivamente aos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], terminando o percurso em A. Admita que o ponto P demora um segundo a percorrer cada um dos lados. Seja d(t) a distância do ponto P à origem do referencial, t segundos após a partida. O gráfico que pode representar a função d é C. O ponto P parte de A para B que estão à mesma distância de O pelo que rejeitamos o gráfico D. Neste trajeto a distância diminui até P atingir o ponto médio de [AB] e depois volta a crescer até atingir B, pelo que se rejeita o gráfico A. No trajeto de B para C a distância aumenta sempre pelo que rejeitamos o gráfico B. Depois entre C e D a distância diminui até chegarmos ao ponto médio de [CD] e em seguida volta a aumentar. De volta a A a distância está sempre a diminuir. Pelo que o gráfico escolhido só pode ser C. 4. A figura representa uma ponte sobre um rio. A distância mínima do arco da ponte ao tabuleiro é de 6 m. Sejam A e B os pontos de interseção do arco da ponte com o nível da água do rio. Considere a reta AB como eio orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto O, e onde uma unidade corresponde a um metro. Para cada ponto situado entre A e B, de abcissa, a altura do arco, em metros, é dada por: f ( ) = f = Verifiquemos que ( ) ( ) Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 01/013

9 ( ) ( ) ( ) 1 1 f = = = = Uma empresa está a estudar a hipótese de construir uma barragem neste rio. Se tal empreendimento se concretizar, o nível das águas no local da ponte subirá 0 metros. Nesse caso a ponte não ficaria submersa pois o seu arco tem altura máima 17 m e = 3m é a altura do tabuleiro. O nível do rio ficaria a 3 metros do tabuleiro Determine, em metros com aproimação às centésimas, a distância entre A e B. Vamos utilizar a calculadora para calcular os zeros de f. Obtivemos assim a distância entre A e B é 39,55 m 4.4. Um barco com a altura máima de 16,5 metros acima do nível da água e que, a 16 metros de altura tem uma largura de 9 metros, pode passar por baio desta ponte? 9 m 16 m Podemos então concluir que o barco passa por baio da ponte pois a altura máima do arco é 17 e o barco só tem 16,5m. Além disso a largura do barco aos 16 metros de altura é 9 m e a essa altura o arco tem 9,6 m de largura. Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 01/013

10 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A 5º Teste de avaliação versão - Critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos C B D D C Grupo II (150 pontos) pontos pontos Coordenadas de cada ponto pontos Equação do plano Oz 5 Condição que define o círculo pontos Calcular o raio. 4 Identificar o centro.. Escrever a equação da superfície esférica pontos Escrever a equação do plano mediador. 5 Simplificar a equação pontos Calcular o valor de k 4 Dar a ordenada Dar a cota pontos pontos.. 15 pontos Utilizar a regra de Ruffini 5 Calcular os zeros do polinómio do º grau 5 Decompor em fatores. 5 Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 01/013

11 3. 0 pontos Identificar o gráfico correto. 4 Apresentar uma razão para rejeitar (A). 4 Apresentar uma razão para rejeitar (B). 4 Apresentar uma razão para rejeitar (D). 4 Composição organizada e sem erros pontos pontos pontos Referir que a altura do arco é 17 4 Referir que a altura do tabuleiro é 3 4 Dar a resposta pontos Calcular a abcissa de A 4 Calcular a abcissa de B 4 Calcular a distância entre A e B. Apresentar o gráfico pontos Apresentar o gráfico 3 Calcular a abcissa de C 3 Calcular a abcissa de D 3 Calcular a distância entre C e D. Concluir.. 4 TOTAL 00 pontos Professora: Rosa Canelas 11 Ano Letivo 01/013

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