Proposta de Teste Intermédio Matemática A 11.º ano

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1 GRUPO I. Vamos calcular o valor da função objetivo, L, em cada um dos vértices da região admissível. Vértice L O 0 0 L = = 0 0 L = + 0 = L = + = C L = + = D 0 L = 0 + = função objetivo atinge o máimo, L =, nos vértices e C. Portanto, L é máima em todos os pontos do segmento de reta []. Resposta: (D). : z u,, é um vetor perpendicular ao plano. z z r : 0 0 r, 0, é um vetor diretor da reta r. u r,,, 0, 0 0 Como u r 0 u r, então a reta r é paralela ao plano. Resposta: (). P 0 P D O C condição P 0 define a reta que passa pelo ponto e é perpendicular a como se pode observar na figura ao lado. Resposta: (D) P. f( ) g f reta de equação é uma assíntota vertical do gráfico de g. reta de equação é uma assíntota horizontal do gráfico de g. Resposta: () Página

2 . z z z 0 z 0 z 0 0 condição z 0 Resposta: () define o eio O. Logo, a interseção dos três planos é uma reta. GRUPO II... é o ponto de interseção do eio Oz com o plano C. z z 6 0 z O ponto tem coordenadas, 0, V 7, 8, Como se trata de uma pirâmide regular e o ponto E é o centro da base, a reta VE é perpendicular ao plano C. v,, é um vetor perpendicular ao plano C. Logo, v é um vetor diretor da reta VE. Uma equação vetorial da reta VE é,, z 7, 8, k,,, k.... O ponto E é o ponto de interseção da reta VE com o plano C.,, z 7, 8, k,, 7 k 8 k z k Portanto, um ponto genérico da reta VE tem coordenadas 7 k, 8 k, k com k. Dado que o ponto E é o ponto da reta VE que pertence ao plano C, de equação z 6 0, temos: 7 k 8 k k 6 0 k 8 k 8 k 6 0 9k 6 k Substituindo o valor de k nas coordenadas do ponto genérico: 7, 8,,, Portanto, o ponto E tem coordenadas,,. Página

3 .. OV 7, 8, Raio da superfície esférica: Centro da superfície esférica: V 7, 8, OV Equação da superfície esférica: z E F D DE D DF D D D DF DE D DE DF C F E D 0 0 DE DF cos DE, DF D cos 60º 9 Em alternativa, adotando um referencial conveniente, z E temos: F,, 0 E,, h (h é a altura do triângulo da base),, 0,, h F E C - - F D 0 h 9... O triângulo [OQP] é retângulo em P porque a reta tangente à r circunferência no ponto P é perpendicular ao raio [OP]. P Portanto, no triângulo [OQP], o segmento de reta [PQ] é a altura relativa à base [OP]. O Q Logo, a área do triângulo [OQP] é dada por OQP OP PQ. Sabemos que OP e, atendendo a que o triângulo [OQP] é retângulo em P, temos que: PQ PQ tg tg PQ tg OP tg tg. Portanto, f OQP Página

4 .. f tg tg Como 0,, se tg, então. cos cos.. sin cos cos cos 69 Como tg, então tg tg cos 69 tg tg tendendo a que 0,, tg. Portanto, f tg tg tg.. P,. Como P é um ponto da circunferência de centro na origem e raio, então: 9 6 Dado que P é um ponto do.º quadrante, temos > 0, pelo que. r Logo, as coordenadas do ponto P são,. Como OP,, o declive da reta OP é igual a. Dado que a reta r é perpendicular à reta OP, o declive da reta r é igual a. O P R equação reduzida da reta r é da forma b. Substituindo as coordenadas do ponto P: 9 b b b b 0 0 Portanto, a equação reduzida da reta r é. Página

5 Outro processo: Um ponto R, pertence à reta r se e só se os vetores OP e PR forem perpendiculares, ou seja, se PR OP PR OP 0,, Confirma-se que a equação reduzida da reta r é.... f( ) f( ) 0,, Cálculos auiliares: n.d. 0.. f (0) 6 O f( ) Logo, OC. reta de equação é uma assíntota vertical do gráfico de f. Então, OD. reta de equação é uma assíntota horizontal do gráfico de f. Então, O. [ CD ] [ OC ] [ OD] O OC O OD Página

6 .. g ; Dg D \ ; D \ f f g Se é um zero de f e não é um zero de f g, então é um zero de g. Vamos usar a regra de Ruffini para decompor g num produto de dois fatores. g f g 0 f g 0 f 0 g 0 \ Os zeros de f 0 \ 0 0 \ \ g são e. Página 6

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