MATEMÁTICA A - 11o Ano Geometria -Trigonometria

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1 MTEMÁTI - 11o no Geometria -Trigonometria Eercícios de eames e testes intermédios 1. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto e raio 1 os diâmetros [ e [ são perpendiculares; o ponto pertence ao arco [ Q é um diâmetro da circunferência; o ponto R pertence a [ e é tal que [QR é paralelo a [ ( Seja a amplitude, em radianos, do ângulo 0, π [) ; Q R Qual das seguintes epressões dá a área do triângulo [ QR, representado a sombreado, em função de? () sen cos 4 () sen cos () sen cos () sen cos Eame 016, a Fase (adaptado). Na figura ao lado, estão representados o círculo trigonométrico e um trapézio retângulo [ QR o ponto tem coordenadas (0,1) o ponto R pertence ao quarto quadrante e à circunferência. Seja a amplitude de um ângulo orientado cujo lado origem é o semieio positivo e cujo lado etremidade é a semirreta ȮR Q Qual das epressões seguintes dá a área do trapézio [ QR, em função de? () cos + sen cos () cos sen cos R () cos + sen cos () cos sen cos Eame 016, 1 a Fase ágina 1 de 3

2 3. Na figura ao lado, está representado o círculo trigonométrico. o ponto pertence ao primeiro quadrante e à circunferência; o ponto pertence ao eio o ponto tem coordenadas (1,0) o ponto pertence à semirreta Ȯ os segmentos de reta [ e [ são paralelos ao eio ( Seja a amplitude do ângulo 0, π [ ) Qual das epressões seguintes dá a área do quadrilátero [, representado a sombreado, em função de? () tg sen cos () tg sen cos () tg sen cos () tg sen cos Eame 015, 1 a Fase (adaptado) 4. Na figura ao lado, estão representadas, num referencial o.n., a circunferência de centro e a reta r os pontos e pertencem à circunferência; o ponto tem coordenadas (0,1) a reta r é tangente à circunferência no ponto o ponto é o ponto de interseção da reta r com a semirreta Ȯ é a amplitude, em radianos, do ângulo, com 0, π [ r Qual das epressões seguintes representa, em função de, a área da região a sombreado? () sen () tg () tg () Eame 014, Ép. especial ágina de 3

3 5. Na figura ao lado, estão representados uma circunferência de centro e raio e os pontos, Q, R e S os pontos, Q, R e S pertencem à circunferência; [ R é um diâmetro da circunferência; Q = S é a amplitude, em radianos, do ângulo Q R 0, π [ Q R S 5.1. Mostre que a área do quadrilátero [ QRS, é dada em função de, pela epressão 5.. ara um certo número real θ, com θ 0, π 16 sen cos [, tem-se que tg θ = etermine o valor eato da área do quadrilátero [ QRS correspondente ao número real θ, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Eame 014, a Fase (adaptado) 6. Na figura seguinte, está representada, num referencial o.n., uma circunferência de centro e raio 1 os pontos e pertencem à circunferência; o ponto tem coordenadas (1,0) os pontos e têm a mesma abcissa; o ponto tem ordenada zero; o ponto tem coordenadas ( 3,0) é a amplitude, em radianos, do ângulo, π [ com,π Qual das epressões seguintes representa, em função de, a área do triângulo [? () 1 ( 3 sen ) cos () 1 ( 3 + sen ) cos () 1 (3 + cos ) sen () 1 (3 cos ) sen Eame 014, 1 a Fase 7. Qual das epressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer pertencente ao intervalo π, 3π [? () sen + cos () cos tg () tg sen () sen tg Teste Intermédio 11 o ano ágina 3 de 3

4 8. onsidere, em R, a equação trigonométrica sen = 0,3 Quantas soluções tem esta equação no intervalo [ 0π,0π[? () 0 () 40 () 60 () 80 Teste Intermédio 11 o ano Na figura ao lado, estão representados: o retângulo [, em que = 1 e = o ponto, ponto médio do segmento [ uma semicircunferência de centro no ponto e raio 1 onsidere que um ponto se desloca ao longo do segmento de reta, nunca coincidindo com, mas podendo coincidir com 1 R Q ara cada posição do ponto, seja Q o ponto de intersecção da reta com a semicircunferência. ( Seja a amplitude, em radianos, do ângulo Q 0, π ) 4 Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora Mostre que a área do polígono [Q, representado a sombreado, é dada, em função de, por tg + sen ( ) 3π 9.. ara uma certa posição do ponto, tem-se cos = 3 5 etermine, para essa posição do ponto, a área do polígono [Q presente o resultado na forma de fração irredutível. Teste Intermédio 11 o ano ágina 4 de 3

5 10. Na figura ao lado, estão representados a circunferência de centro no ponto e de raio 1, a semirreta Ċ, a reta e o triângulo [E E os pontos e pertencem à circunferência; os pontos e E pertencem à semirreta Ċ a reta é perpendicular à semirreta Ċ o ponto desloca-se sobre a circunferência, e os pontos e E acompanham esse movimento de modo que E = 6 é a amplitude, em radianos, do ângulo 0, π [ Mostre que a área do triângulo [E é dada, em função de, por sen (6 + cos ) Eame 013, Ép. especial (adaptado) 11. Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n., o triângulo [ e a reta r r a reta r é definida por = 3 o ponto pertence à reta r e tem ordenada positiva; o ponto é o simétrico do ponto em relação ao eio é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo lado origem é o semieio positivo e cujo lado etremidade é a semirreta Ȯ π [, π Mostre que o perímetro do triângulo [ é dado, em função de, pela epressão 6 tg 6 cos 1. onsidere o intervalo [ 5π 6,4π 3 Qual das equações seguintes não tem solução neste intervalo? Eame 013, a Fase (adaptado) () cos = 0,5 () sen = 0,5 () cos = 0,9 () sen = 0,9 Teste Intermédio 11 o ano ágina 5 de 3

6 13. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o círculo trigonométrico. s pontos,, e são os pontos de intersecção da circunferência com os eios do referencial. onsidere que um ponto se desloca ao longo do arco, nunca coincidindo com nem com ara cada posição do ponto, seja Q o ponto do arco que tem ordenada igual à ordenada do ponto e seja R o ponto do eio que tem abcissa igual à abcissa do ponto Q Seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieio positivo e por lado etremidade a π [) semirreta ( Ȯ,,π Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora. R Q Mostre que a área do trapézio [ QR é dada por 3 sen cos 13.. ara uma certa posição do ponto, a reta intersecta a reta de equação = 1 num ponto de ordenada 7 4 etermine, para essa posição do ponto, a área do trapézio [ QR presente o resultado na forma de fração irredutível. Teste Intermédio 11 o ano Na figura ao lado, está representado o quadrado [ = 4 E = H = E = F = F = G = G = H é a amplitude, em radianos, do ângulo E 0, π [ 4 Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de, por H G E F 16(1 tg ) Eame 01, a Fase ágina 6 de 3

7 15. Na figura ao lado, está representado um trapézio retângulo [ = 1 = 1 é a amplitude, em radianos, do ângulo π [,π Mostre, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, que o perímetro do trapézio [ é dado, em função de, por cos sen 16. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o segmento de reta [ tem comprimento 4 o ponto é o ponto médio de [ o segmento de reta [ é perpendicular a [ o arco de circunferência tem centro em Eame 01, 1 a Fase dmita que um ponto se desloca ao longo do arco, nunca coincidindo com nem com, e que um ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [ de tal forma que [ Q é sempre perpendicular a [ ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo Mostre que a área do triângulo [ Q é dada por sen (1 + cos ) ( 0, π [) Q Teste Intermédio 1 o ano (adaptado) 17. Seja θ um número real. Sabe-se que θ é uma solução da equação sen = 1 3 Qual das epressões seguintes designa uma solução da equação sen = 1 3? () π θ () π + θ () π θ () π + θ 18. onsidere o triângulo [ representado na figura seguinte. Teste Intermédio 11 o ano = Ĉ = 30 Seja = Â h 30 Qual das epressões seguintes representa, em função de? () 4 sen () 6 sen () 4 cos () 6 cos Teste Intermédio 11 o ano ágina 7 de 3

8 19. Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n., o círculo trigonométrico. o ponto tem coordenadas (1,0) o ponto tem coordenadas (3,0) onsidere que um ponto se move sobre a circunferência. d ara cada posição do ponto, seja d = e seja [0,π[, a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é o semieio positivo e cujo lado etremidade é a semirreta Ȯ Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora Mostre que d = 10 6 cos Sugestão: Eprima as coordenadas do ponto em função de e utilize a fórmula da distância entre dois pontos Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que d = 10 6 cos etermine os valores de [0,π[, para os quais d = ara um certo valor de pertencente ao intervalo [0,π, tem-se tg = 35 etermine d, para esse valor de Teste Intermédio 11 o ano Na figura ao lado, estão representados, num referencial o. n., uma circunferência e o triângulo [ é a origem do referencial; a circunferência tem centro no ponto e raio 1 é o ponto de coordenadas ( 1, 0) pertence à circunferência e tem ordenada negativa; o ângulo tem amplitude igual a π 3 Qual é a área do triângulo [? radianos. () 3 4 () 1 () 1 4 () 3 Eame 011, Ép. especial 1. Na figura ao lado, está representado, num referencial o. n., um círculo trigonométrico. é o ponto de coordenadas (1,0) s pontos e E pertencem ao eio [ é um diâmetro do círculo trigonométrico as retas E e são paralelas ao eio θ é a amplitude do ângulo θ 0, π [ Qual das epressões seguintes dá a o perímetro da região sombreada na figura anterior? E θ () (cos θ + sen θ) () cos θ + sen θ () (1 + cos θ + sen θ) () 1 + cos θ + sen θ Eame 011, a Fase ágina 8 de 3

9 . Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto e raio 1 o ponto pertence à circunferência; os pontos,, e são colineares; o ponto está entre o ponto e o ponto o ponto desloca-se ao longo da semirreta nunca coincidindo com o ponto d é a distância do ponto ao ponto, para cada posição do ponto, o ponto Q é um ponto da circunferência tal que a reta Q é tangente à circunferência; é ( a amplitude, em radianos, do ângulo Q 0, π [) Q 1 d Sem recorrer à calculadora, mostre que d = 1 sen sen Teste Intermédio 1 o ano etermine o valor de 3 1 0, tg sabendo que π [ ( ) 3π e que cos = 4 5 Resolva este item sem recorrer à calculadora. 4. onsidere, em R, a equação trigonométrica cos = 0,9 Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução? [ () π [ π [,π () [0,π () 4,3π () π 4 4,π 4 Teste Intermédio 11 o ano Teste Intermédio 11 o ano Na figura ao lado, está representado o círculo trigonométrico. a reta r é tangente à circunferência no ponto (1,0) a reta s passa na origem do referencial e intersecta a reta r no ponto, cuja ordenada é o ponto Q, situado no terceiro quadrante, pertence à reta s Seja a amplitude, em 4,3, do ângulo orientado, assinalado na figura, que tem por lado origem o semieio positivo e por lado etremidade a semirreta ȮQ s Qual é o valor de, arredondado às centésimas? () 4,3 () 4,5 () 4,7 () 4,9 Q r Teste Intermédio 11 o ano ágina 9 de 3

10 6. Sejam, β e θ três números reais. 0, π [ 4 + β = π + θ = π Qual das epressões seguintes é equivalente a sen + sen β + sen θ? () sen + cos () sen cos () cos () cos Teste Intermédio 11 o ano Na figura seguinte, está representada, em referencial o.n., a circunferência de centro em e raio 5 s pontos e são os pontos de intersecção da circunferência com os semieios positivos e, respetivamente. onsidere que um ponto se desloca ao longo do arco, nunca coincidindo com o ponto, nem com o ponto r ara cada posição do ponto, sabe-se que: o ponto Q é o ponto do eio tal que = Q a reta r é a mediatriz do segmento [Q o ponto R é o ponto de interseção da reta r com o eio ( é a amplitude, em radianos, do ângulo 0, π [ ) R Q Seja f a função, de domínio 0, π [, definida por f() = 5 sen cos Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora Mostre que a área do triângulo [ Q é dada por f() 7.. etermine o valor de, pertencente ao intervalo 0, π [, para o qual se tem f() = 5 cos 7.3. Seja θ um número real, pertencente ao intervalo 0, π [, tal que f(θ) = 5 etermine o valor de ( sen θ + cos θ) Teste Intermédio 11 o ano ágina 10 de 3

11 8. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera. s figuras seguintes representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas. s cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera. o ponto é o centro da esfera; a esfera tem 6 metros de diâmetro; a amplitude θ, em radianos, do arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente altura, em metros, do combustível eistente no depósito é dada, em função de θ, por h, de domínio [0,π θ θ Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos Mostre que h(θ) = 3 3 cos(θ), para qualquer θ 0,π[ 8.. Resolva a condição h(θ) = 3, θ 0,π[ Interprete o resultado obtido no conteto da situação apresentada. Eame 010, a Fase 9. Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n., uma circunferência e o triângulo [. a circunferência tem diâmetro [; o ponto tem coordenadas (, 0); o vértice do triângulo [ coincide com a origem do referencial; o ponto desloca-se ao longo da semicircunferência superior. 1 ara cada posição do ponto, seja a amplitude do ângulo, com 0, π [ Mostre, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, que o perímetro do triângulo [ é dado, em função de, por (1 + cos + sen ) Eame 010, 1 a Fase 30. Na figura ao lado, está representado um triângulo retângulo [, cujos catetos [ e [, medem 5 unidades. onsidere que um ponto se desloca sobre o cateto [, nunca coincidindo com nem com ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo ( 0, π 4 [) Mostre, usando eclusivamente métodos analíticos, que para cada valor de, o perímetro do triângulo [ é dado por 5 5 cos 5 tg Teste Intermédio 1 o ano ágina 11 de 3

12 31. onsidere, num referencial o.n. z, a superfície esférica E, de equação + + (z ) = 4 ara um certo valor de pertencente ao intervalo 0, π [, o ponto, de coordenadas ( tg, sen,+cos ), pertence à superfície esférica E etermine os valores numéricos das coordenadas do ponto Teste Intermédio 11 o ano Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado etremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieio positivo Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude? () () () () Teste Intermédio 11 o ano onsidere a equação trigonométrica sen = 0,1 Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução? [ () π [,π () [0,π () 0, π [ π () 6 6,π Teste Intermédio 11 o ano Na figura ao lado, está representado o quadrado [ de lado onsidere que um ponto se desloca ao longo do lado [, nunca coincidindo com o ponto, nem com o ponto ara cada posição ( do ponto, seja a amplitude, em radianos, π [ ) do ângulo 4,π Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos Mostre que a área da região sombreada é dada por 4 tg 34.. etermine o valor de para o qual a área da região sombreada é ( ara um certo valor de, sabe-se que cos + π ) = etermine, para esse valor de, a área da região sombreada. Teste Intermédio 11 o ano ágina 1 de 3

13 35. Na figura ao lado, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro e raio igual a 1. Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência. Qual das epressões seguintes representa, em função de, a área da parte sombreada? () π sen cos () π sen cos () π sen cos () π sen cos Eame 009, 1 a Fase (adaptado) 36. Na figura ao lado está representado o círculo trigonométrico. s pontos e Q pertencem à circunferência, sendo Q a reta paralela ao eio. ponto R pertence ao eio. ângulo R tem 53 de amplitude. Qual é o perímetro do triângulo [ Q (valor aproimado às décimas)? Q 53 R () 3, () 3,4 () 3,6 () 3,8 Teste Intermédio 11 o ano Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10 h e 45 min. assado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos minutos tinha rodado 3π radianos. Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante? () 11 h e 15 min () 11 h e 45 min () 1 h e 15 min () 13 h e 45 min 38. onsidere a equação trigonométrica cos = 0,3 Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles? [ () 0, π [ [ π 3π () [0,π (),3π (),π Teste Intermédio 11 o ano Teste Intermédio 11 o ano ágina 13 de 3

14 39. Na figura ao lado estão representados, em referencial o.n. : o círculo trigonométrico o raio [ deste círculo o arco de circunferência, de centro no ponto Tal como a figura sugere, o ponto pertence ao primeiro quadrante, os pontos e pertencem ao eio e a reta é perpendicular a este eio. θ Seja θ a amplitude do ângulo Qual é a abcissa do ponto? () 1 + sen θ () 1 + cos θ () cos θ + sen θ () 1 + cos θ + sen θ Teste Intermédio 11 o ano Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o triângulo [ é retângulo o ponto pertence ao cateto [ designa a amplitude, em radianos, do ângulo = e = Mostre que a área do triângulo [ é dada por tg etermine o valor de para o qual a área do triângulo [ é igual a 1 ( π ) Sabendo que sen + a = 5 13 e que a 0, π [, determine o valor de tg a 1 1 Teste Intermédio 11 o ano Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um arco de circunferência, de centro na origem do referencial e raio igual a 1 reta r tem equação = 1 ponto pertence ao arco Seja a amplitude do ângulo Qual das epressões seguintes dá a distância d do ponto à reta r? () 1 + sen () 1 sen () 1 + cos () 1 cos r d 4. Seja 0, π [ Qual das epressões seguintes designa um número positivo? ( ) 3π () cos(π ) () sen (π ) () cos Teste Intermédio 11 o ano () sen ( ) 3π Teste Intermédio 11 o ano ágina 14 de 3

15 43. Na figura ao lado está representado o círculo trigonométrico. Tal como a figura sugere, é a origem do referencial, Q pertence à circunferência, é o ponto de coordenadas (1,0) e R é o ponto de coordenadas ( 1,0) Q 5π 7 amplitude, em radianos, do ângulo Q é 5π 7 Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo [QR? R () 0,39 () 0,4 () 0,46 () 0,49 Teste Intermédio 1 o ano Na figura está representado um triângulo [ com dois ângulos de amplitude e um ângulo de amplitude β Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições? β () cos β = sen () () cos β = cos() () cos β = sen () () cos β = cos() π [ 45. Seja θ um valor pertencente ao intervalo,π Teste Intermédio 11 o ano Qual das epressões seguintes designa um número real positivo? () cos θ sen θ () sen θ cos θ () sen θ tg θ () sen θ tg θ Teste Intermédio 11 o ano onsidere a equação tg () = 4 Qual dos seguintes valores é solução desta equação? () π 8 () 3π 8 () 5π 8 () 7π 8 Teste Intermédio 11 o ano ágina 15 de 3

16 47. Na figura seguinte estão representadas, em referencial o.n., uma reta e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5 s pontos e pertencem à circunferência. ponto também pertence ao eio das abcissas. dmita que o ponto se desloca ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. ara cada posição do ponto, seja a amplitude do ângulo orientado cujo lado origem é o semieio positivo e cujo lado etremidade é a semirreta Ȯ Seja d o comprimento do segmento [ d Mostre que d = cos 47.. ara uma certa posição do ponto, tem-se tg = 4 Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de d 48. Indique as soluções da equação 5 + cos = 6 que pertencem ao intervalo 0,π[ Teste Intermédio 11 o ano () π 3 e 4π 3 () π 3 e 5π 3 () π 6 e 7π 6 () π 6 e 11π 6 Teste Intermédio 11 o ano Na figura junta estão representados, em referencial o.n. : o círculo trigonométrico a reta r, de equação = 1 o ângulo, de amplitude, que tem por lado origem o semieio positivo e por lado etremidade a semirreta Ȯ o ponto, intersecção do prolongamento da semirreta Ȯ com a reta r 8 omo a figura sugere, a ordenada de é é 8 Sem recorrer à calculadora, determine o valor de ( π ) 5 sen + + cos(3π ) r Teste Intermédio 11 o ano ágina 16 de 3

17 50. Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [ R ponto desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. ponto Q desloca-se ao longo do eio, de tal modo que o triângulo [ R é sempre isósceles. Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo R, qual das epressões seguintes dá a área do triângulo [ R, em função de? R () sen. cos (). sen. cos () 1 + sen. cos () (1 + cos ). sen Teste Intermédio 11 o ano a amplitude de um certo ângulo orientado sabe-se que cos < 0 e tg > 0 Qual das epressões seguintes dá o valor de sen? () 1 cos () 1 cos () 1 + cos () 1 + cos Teste Intermédio 11 o ano Sabe-se que β R é uma solução da equação sen = 1 5 Qual das epressões seguintes designa uma solução da equação cos = 1 5? () π + β () π + β () β () π β Teste Intermédio 11 o ano Na figura ao lado está representado o círculo trigonométrico. s pontos, e têm coordenadas (1,0), (0,1) e (0, 1), respetivamente. onto desloca-se ao logo do arco, nunca coincidindo com o ponto. ara cada posição do ponto, seja a amplitude do ângulo, e seja f() a área do triângulo [. Qual das epressões seguintes define a função f? () sen () sen + cos () cos () sen. cos Eame 006, Ép. especial 54. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um arco, que está contido na circunferência de equação + = 1. ponto pertence ao eio e o segmento de reta [ é perpendicular a este eio. é a amplitude, em radianos, do ângulo. Qual é a epressão que dá o perímetro da região sombreada, em função de? () π + sen + cos () 1 + sen + cos () π + sen + 1 cos () sen cos Eame 006, a Fase ágina 17 de 3

18 55. Na figura ao lado, estão representadas uma semirreta e uma circunferência de centro e de raio 1 (os pontos, e são colineares; o ponto pertence à circunferência. onsidere que o ponto se desloca ao longo da semirreta, nunca coincidindo com o ponto. s pontos R e S acompanham o movimento do ponto, de tal forma que as retas R e S são sempre tangentes à circunferência, nos pontos R e S, respetivamente. Seja a amplitude, em radianos, do ângulo SR ( 0,π[) 1 R Mostre que a área do quadrilátero ( [R S é ) dada, em função de, por tg S Eame 005, Ép. especial (cód. 435) 56. Na figura ao lado está representada uma circunferência com centro no ponto e raio 3 s diâmetros [EF e [GH são perpendiculares. onsidere que o ponto se desloca sobre o arco F G. s pontos, e acompanham o movimento do ponto, de tal forma que: as cordas [ e [ permanecem paralelas a [EF ; [ e [ são sempre diâmetros da circunferência s pontos I e J também acompanham o mesmo movimento, de tal forma que são sempre os pontos de interseção de [GH com [ e [, respetivamente. ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo F, E G I J 3 H ( [ 0, π ) F Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de por 18( + sen. cos ) Sugestão: use a decomposição sugerida na figura. Eame 005, 1 a Fase (cód. 435) 57. Rita foi andar num carrossel. figura ao lado ilustra a situação. Em cada volta, que se inicia no ponto, a Rita descreve uma circunferência com 5 metros de raio, centrada no ponto, rodando no sentido indicado na figura. mãe da Rita ficou a observá-la de um ponto M, situado à distância de 8 metros de e tal que o ângulo M é reto. ara cada posição R, da Rita, fica determinado um ângulo de amplitude, medida em radianos, que tem como lado origem a semirreta Ȯ e como lado etremidade a semirreta Ȯ. Mostre que, para cada valor de, a distância d(), da Rita à mãe, é dada, em metros, por sen M d() 8 R 5 Eame 003, rova para militares (cód. 435) ágina 18 de 3

19 58. Na figura ao lado está representado um trapézio retângulo [, cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento. onsidere que um ponto se desloca sobre o segmento [. ara cada posição do ponto, seja a amplitude, em radianos, do ângulo. retende-se determinar o valor de para o qual o segmento 10 [ divide o trapézio em duas figuras com a mesma área. Qual das equações seguintes traduz este problema? 30 () 30 sen () sen 4 = 100 () 30 tg = 150 () = tg 4 = Eame 003, a Fase (cód. 435) 59. onsidere θ R. Sabendo que tg θ = 1, sem recorrer à calculadora, calcule o valor de 5 sen θ Eame 003, 1 a fase - a chamada (cód. 435) (adaptado) 60. Na figura ao lado está representado a sombreado um polígono [EG. Tem-se que: G F [F Gé um quadrado de lado F é um arco de circunferência de centro em ; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto desloca-se sobre o segmento [, de tal forma que se tem sempre [E [ designa ( [ a amplitude, em radianos, do ângulo E 0, π ) E Mostre que a área do polígono [EG é dada, em função de, por (1 + sen + cos ) (Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [EG) 60.. etermine a área do trapézio para = 0 e para = π Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos. Eame 003, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 435) ágina 19 de 3

20 61. onsidere uma circunferência de centro e raio 1, tangente a uma reta r. Um ponto começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, o ponto encontra-se à distância de duas unidades da reta r. Seja d a distância de a r, após uma rotação de amplitude. r Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo? () d = 1 + cos () d = + sen d () d = 1 cos () d = sen r Eame 00, a fase (cód. 435) 6. Na figura ao lado estão representados, em referencial o. n., o círculo trigonométrico e um triângulo [. s pontos e pertencem à circunferência. segmento [ é perpendicular ao semieio positivo. ponto é o ponto de interseção da circunferência com o semieio positivo. Seja a amplitude do ângulo 0, π [ Qual das epressões seguintes dá a área do triângulo [, em função de? () sen. cos () tg. sen tg. cos () tg. sen () Eame 00, 1 a fase - a chamada (cód. 435) 63. Na figura ao lado está representado um quadrado [ de lado 1. ponto E desloca-se sobre o lado [ e o ponto F desloca-se sobre o lado [, de tal forma que se tem sempre E = F. ara cada ( posição do ponto E, seja a amplitude do ângulo π E 4, π [) Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, mostre que o perímetro do quadrilátero [EF é dado, em função de, por tg + sen F E Eame 00, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 435) ágina 0 de 3

21 64. Na figura ao lado está representado um lago artificial de forma retangular. retende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os pontos 1 e, tal como a figura ilustra. ponte tem um ponto de apoio, situado a 1 m de uma das margens e a 16 m da outra. Seja a amplitude do ângulo sen + 1 cos Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por sen. cos 64.. onsiderando que a localização de 1 e pode variar, determine o comprimento da ponte para o qual se tem 1 = presente o resultado em metros, arredondado às décimas. Eame 001, Ép. especial (cód. 435) 65. Na figura ao lado estão representados, em referencial o.n. : um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1 uma semirreta paralela ao eio, com origem no ponto (1,0) um ponto, pertencente a esta semirreta um ângulo de amplitude, cujo lado origem é o semieio positivo e cujo lado etremidade é a semirreta Ȯ Qual das epressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de? 0 1 () π 4 + tg () π 4 + tg () π + tg () π + tg Eame 001, 1 a fase - a chamada (cód. 435) 66. Na figura ao lado está representada uma pirâmide quadrangular regular. a base da pirâmide tem centro F e lado G é o ponto médio da aresta designa a amplitude do ângulo F GE E Mostre que a a área total da pirâmide é dada, em função de, por 4 cos + 4 cos ( 0, π [ ) F G Eame 001, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 435) ágina 1 de 3

22 67. Na figura ao lado está representado um triângulo [, cuja hipotenusa mede m. Qual das epressões seguintes dá a área (em m ) do triângulo [, em função da amplitude,, do ângulo? (). sen. cos () 4. sen. cos (). sen. tg () 4. sen. tg m Eame 000, rova para militares (cód. 135) 68. Na figura ao lado está representado o trapézio isósceles [ (os lados [ e são paralelos). Tem-se que: = = = 1 1 π Seja a amplitude do ângulo, 3,π Mostre que, para cada π 3,π, a área do trapézio é igual a ( sen )(1 cos ) 68.. etermine a área do trapézios para = π e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o quadrilátero que se obtém neste caso. Eame 1999, rova modelo (cód. 135) (adaptado) 69. onsidere um triângulo retângulo [, cujos catetos são [ e [ dmita que se tem = 1 e que designa a amplitude do ângulo Mostre que o perímetro do triângulo [ é dado, para cada valor de 0, π [, por 1 + sen + cos cos 69.. Seja 0, π [ ( π ) tal que cos + = 3 5 etermine o valor do perímetro do triângulo [ para este valor de 1 Eame 1998, rova para militares (cód. 135) 70. Na figura ao lado o triângulo [ é isósceles ( = ) [EF G é um retângulo G = E = 1 designa a amplitude do ângulo Mostre que a área do triângulo [ é dada por + tg + 1 tg ( 0, π [) E H F (Nota: ode ser-lhe útil reparar que ÊF = Â) I G Eame 1998, a fase (cód. 135) ágina de 3

23 71. figura ao lado representa um canteiro de forma circular com 5 m de raio. canteiro tem uma zona retangular, que se destina à plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a sombreado na figura. E s vértices,, e do retângulo pertencem à circunferência que limita o canteiro. 5 Na figura também estão assinalados: dois diâmetros da circunferência, [EG e [HF, que contêm os pontos médios dos lados do retângulo o centro da circunferência o ângulo F, de amplitude ( 0, π [) H G F Mostre que a área (em m ) da zona relvada é dada por 5(π 4 sen. cos ) Eame 1998, 1 a fase - a chamada (cód. 135) 7. uas povoações, e, distanciadas 8 km uma da outra estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, localizada em F. retende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se indica na figura ao lado. canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até um ponto e dois que partem de, um para e outro para. ponto está a igual distância de e de. F 4 km Tem-se ainda que o ponto M, ponto médio de [, dista 4 Km de F ; ( [ é amplitude do ângulo M 0, π ) 4 M 8 km 7.1. Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é dado por sen cos (Sugestão: omece por mostrar que = 4 e que F = 4 4 tg ) cos 7.. alcule o comprimento total da canalização para = 0 e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente comprimento. 73. Na figura seguinte está representado um triângulo triângulo [. é a amplitude do ângulo ; = Eame 1988, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) [H é a altura relativa ao vértice ; H = 1 1 H Mostre que a área de um triângulo [ é dada, para cada valor de 0, π [, por sen (1 + cos ) Eame 1998, rova modelo (cód. 135) (adaptado) ágina 3 de 3