Ficha de Trabalho nº11

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1 Ano lectivo 011/01 Matemática A 11º Ano / Curso de Ciências e Tecnologias Tema: Geometria Ficha de Trabalho nº11 Geometria no Espaço 1. Observa a figura onde está representado um cone recto cuja base pertence ao plano. Sabese que, num referencial Oxyz, A(,-5,8), B(-,1,4), C(-7,-5,6) e [AB] é um diâmetro da base do cone. a) Determine uma equação geral do plano. b) Calcula a amplitude do ângulo ACB c) Representa AB através de equações cartesianas.. Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos A (5,0,0) e B (0,,1). a) Mostre que a recta AB está contida no plano de equação x y z 5. b) Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo ABC seja rectângulo em C. c) Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo AOB em torno do eixo Ox.. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: O vértice E tem cota negativa; o vértice A pertence ao eixo Oz; O vértice B pertence ao plano yoz; o vértice D pertence ao plano xoz; o vértice C tem coordenadas (6,6,6); a altura da pirâmide é 9. a) Mostre que uma condição que define a recta DE é z 6 x 6 y. b) Determine uma equação do plano que contém o ponto B e é perpendicular à recta DE. c) Determine a área da secção produzida na pirâmide pelo plano xoy. d) Mostra analiticamente que os planos definidos pelas equações x z 0, x y z e x y z 6intersectam-se no ponto E. 1

2 4. Na figura abaixo está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. O vértice O é a origem do referencial. O vértice P pertence ao eixo Oz. O vértice R pertence ao plano xoy. O vértice V tem coordenadas (-,11,5). Uma equação vectorial da recta que contém a altura da pirâmide é ( x, y, z) (7, 1,5) k(6, 8,0), k R. a) Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação x 4y 0. b) Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas (4,,5). c) Determine o volume da pirâmide. 5- Considere no referencial ortonormado a pirâmide triangular de vértice V (0,0,6) e de base um triângulo isósceles assente no plano xoy. Sabendo que a pirâmide tem de volume a) Indique as coordenadas dos vértices da base da pirâmide. b) Determine o ângulo entre as rectas AB e AV. c) Escreva uma equação cartesiana da recta AV. d) Determine as coordenadas do ponto de intersecção da aresta [AV] com o plano z 4. e) Calcule a área da secção obtida na pirâmide pelo plano z 4. f) Escreva uma equação cartesiana do plano ABV. 16 cm. 6- Considere, num referencial, a superfície esférica de equação x y z 5, representada na figura. Os pontos A, B e C são pontos dessa superfície. O ponto A tem coordenadas (0,4,), o ponto B (0,-4,) e o ponto C é um ponto de cota negativa do eixo Oz. a) Mostre que uma equação do plano tangente à superfície esférica no ponto A é 4y z 5. (Note que o plano tangente a uma superfície esférica é perpendicular ao raio no ponto de tangencia). b) Justifique que C tem coordenadas (0,0,-5) e determine as coordenadas do ponto de intersecção do plano referido na alínea anterior com a recta BC. c) Determina a área da secção produzida na esfera de equação x y z 5 pelo plano z=-1

3 7- Na figura está representado um sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide coincide com a face superior do cubo. O vértice O coincide com a origem do referencial. O vértice N pertence ao semieixo positivo Ox. O vértice P pertence ao semieixo positivo Oy. O vértice S pertence ao semieixo positivo Oz A altura da pirâmide O vértice S pertence ao semieixo positivo Oz A altura da pirâmide, VW, é igual ao comprimento da aresta do cubo. O vértice V tem coordenadas,,1. a) Justifique que UQ 6 e UV 6. b) Determine a intersecção da recta que contém a aresta UV com o plano de equação x 4. c) Considere um ponto A pertencente à aresta UQ. Um plano que contenha o ponto A que seja paralelo ao plano xoy divide o sólido representado na figura em duas partes. Determine a cota do ponto A de modo que sejam iguais os volumes dessas duas partes. 8- Considera o cubo ABCDEFGH com 4 unidades de aresta. Sabe-se que: H 0,0, ; a face ABCD é paralela ao plano xoy ; a face ABEF é paralela ao plano yoz. a) Determine as coordenadas dos pontos F, A e G. b) Classifique o triângulo EBG quanto aos lados. c) Determine uma equação cartesiana do plano que contém o triângulo EBG. d) Determine uma equação do plano mediador do segmento de recta MN. e) Determine uma equação da superfície esférica inscrita no cubo e tangente às faces. 9. Considere o plano : x y z 4 0 e o plano que contém o ponto P(-1,,1) e é perpendicular à recta r : x y 1 z. a) Determine as coordenadas de dois pontos da recta r. b) Verifique se o ponto A(1,,-4) está contido no plano. c) Mostre que a equação do plano é x y z 4 0 d) Indique a posição relativa dos planos e.

4 10. Num referencial o.n. Oxyz está representada uma pirâmide cuja base está contida no plano xoy, em que, V (,, 6) e a aresta da base mede cm. a) Escreve as coordenadas do ponto B. b) Determina a amplitude do ângulo formado pelas rectas BV e VC. c) Escreve uma equação cartesiana do plano que contém a face ADV. d) Escreve as equações cartesianas da recta que contém a altura da pirâmide. e) Desenha a secção feita na pirâmide pelo plano de equação z Num referencial o.n. Oxyz está representado um cone cuja base está contida no plano xoz, em que as coordenadas do ponto A são ( 0,0,). O ângulo que o raio faz com a geratriz é de 0º. a) Determine as coordenadas do vértice do cone. b) Escreva uma equação do plano paralelo ao plano da base que passa pelo ponto médio da altura. c) Considerando V (0,6,0), determine: c 1 ) as equações cartesianas da recta que contém VA ; c ) a intersecção da recta VA com o plano de equação y 4 d) Calcule o volume do cone. 1. Sobre o referencial o.n. representado na figura, sabe-se que: a superfície esférica de centro no ponto C é definida pela equação (x ) (y ) (z 4) 5 ; o ponto A tem coordenadas (,4,6);o ponto B pertence ao plano xoz; o ponto D pertence ao plano xoy. a) Mostre que o ponto A pertence à superfície esférica. b) Escreva equações cartesianas da recta que contém os pontos B e D. 4

5 c) Determine uma equação simplificada do plano tangente à superfície esférica no ponto A. d) Calcule as coordenadas do ponto W sabendo que o segmento de recta [AW] é um diâmetro da superfície esférica. e) Defina por uma condição o diâmetro [AW]. f) Identifique a secção produzida na superfície esférica, pelo plano paralelo a xoz e que contém o ponto A. Determine o perímetro dessa secção. 1. O plano representado parcialmente no referencial o.n. Oxyz do lado tem por equação x+z=4 e contém o ponto A(,1,). a) Seja r a recta que passa no ponto A e é perpendicular ao plano. Justifique que esta recta intersecta o plano xoy exactamente no eixo Oy. b) Considera agora o plano definido pela equação x-5y-z=5.mostre que e são perpendiculares. 5

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