TRIGONOMETRIA CICLO TRIGONOMÉTRICO

Transcrição

1 TRIGONOMETRIA CICLO TRIGONOMÉTRICO

2 Arcos de circunferência A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é um arco de circunferência (ou apenas arco). A e B são denominados extremidades dos arcos. AP B : arco de extremidades A e B, contendo P. AP B: arco de extremidades A e B, contendo P. A medida do ângulo AÔB é igual à medida angular do arco AB.

3 Medida de arcos de circunferência: medida angular Sempre que nos referirmos à medida de um arco, vamos considerar sua medida angular e usar como unidades de medida o grau ou o radiano.

4 Medida de arcos de circunferência: medida angular A medida linear de um arco é a medida de seu comprimento. Se fosse possível esticar o arco CD, poderíamos medir seu comprimento. Quando nos referirmos ao comprimento de um arco, vamos considerar sua medida linear e usar como unidades lineares de medida o metro, o centímetro, o milímetro etc.

5 Unidade de medida de arcos e ângulos: o grau Uma das unidades de medida do arco é o grau: 1º (um grau) é cada parte de uma circunferência que foi dividida em 360 partes iguais. Dizemos, então, que a circunferência mede 360º (trezentos e sessenta graus). med(ab) = 60º e med(aôb) = 60º O grau tem submúltiplos: 1 (1 minuto) = do grau 1 (1 segundo) = minuto do

6 Unidade de medida de arcos e ângulos: o radiano Um arco de um radiano (1 rad) é aquele que tem comprimento igual ao raio da circunferência que o contém, ou seja, o comprimento do arco dividido pelo raio da circunferência é igual a 1. De modo geral: OBS.: Quando obtemos o valor de α, sua unidade é o radiano.

7 Exemplo Uma circunferência mede 360º; essa medida também pode ser dada em radiano. Sabemos que o comprimento de uma circunferência de centro O e raio r é dado por 2r e que um arco de medida 1 rad tem comprimento r, assim: Logo, a medida de uma circunferência, em radiano, é 2 rad. Para se transformar um arco de grau para radiano e vice-versa usamos a relação: 180 πrad ou 180 3, 14 rad

8 Relação entre grau e radiano Grau Radiano 0 medidas em radiano medidas em grau

9 Exemplo a) Vamos verificar quanto mede, em grau, um arco de rad. Sabendo que rad = 180º, fazemos a substituição: Assim, um arco de rad mede 30º. b) Para determinar quanto mede, em radiano, um arco de 200º, fazemos: radiano grau 180 x 200 Portanto, um arco de 200º mede rad.

10 Exemplo c) Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio 5 cm: C = 2r C = 2 5 C 31,4 Assim, a circunferência tem cerca de 31,4 cm de comprimento. d) Calcular o comprimento do arco AB de 45º de uma circunferência de 8 cm de raio. considerando que um ângulo de 45º corresponde à oitava parte da circunferência (360º : 8 = 45º), fazemos: Assim, o arco mede aproximadamente 6,28 cm de comprimento.

11 Exemplo e) Determinar a medida x, em radiano, de um ângulo correspondente a um arco com aproximadamente 12,56 cm de comprimento, em uma circunferência com 12 cm de raio. C R C R 12, ,04 rad. f) Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas completas nessa pista? Adote 3, 14 Se D 50 m, então R 25 m, pois D 2R. O compriment o da circunferência é C 2R, logo C 2.3,14.25 C 157 m. Como o atleta dá 6 voltas, a distância será : m

12 PKRUGER/SHUTTERSTOCK g) Em um relógio, o ponteiro dos minutos mede 15 cm. Determinar o comprimento do arco percorrido pela extremidade do ponteiro das 14h às 14h20min. Resolução Como 20 minutos equivalem à terça parte de uma hora, a extremidade do ponteiro descreve um arco de medida l igual à terça parte do comprimento da circunferência: l = Logo, o ponteiro percorre um arco de cerca de 31,4 cm.

13 h) Pela manhã, uma pessoa idosa completou três voltas em torno de uma praça circular de 42 m de raio. Calcular quantos metros a pessoa caminhou. Resolução Três voltas: C = C 791,28 Portanto, a pessoa caminhou aproximadamente 791,28 m.

14 Circunferência orientada no plano cartesiano A circunferência trigonométrica, ou ciclo trigonométrico, tem centro na origem O(0, 0) de um plano cartesiano e raio de 1 unidade. No ciclo trigonométrico, o ponto A(1, 0) é a origem de todos os arcos, isto é, o ponto a partir do qual percorremos a circunferência até um ponto P para determinar o arco AP (P é a extremidade do arco).

15 Sentido horário e sentido anti-horário Podemos percorrer uma circunferência em dois sentidos: no sentido horário e no sentido anti-horário. Adotando o sentido anti-horário para as medidas positivas, determinamos o sentido oposto (horário) para as medidas negativas. Sentido anti-horário: med (AP) = 60º Sentido horário: med (AP) = 300º

16 Quadrantes do ciclo trigonométrico O eixo das abscissas (eixo A A ) e o eixo das ordenadas (eixo B B ) do plano dividem o ciclo em quatro quadrantes (QI, QII, QIII e QIV), como mostram as figuras a seguir.

17 Simetria no ciclo trigonométrico med (AP) = rad

18 ARCOS CÔNGRUOS Dois arcos são côngruos quando tem a mesma origem e a mesma extremidade no ciclo trigonométrico. Por exemplo: 1. Considerando os arcos de 30º, 390º, 750º, - 330º, - 690º. Todos eles tem a mesma origem e a mesma extremidade. Portanto, eles são côngruos. Eles diferem entre si de um número inteiro de voltas completas, pois 30º + 360º = 390º, 30º º = 750º, 30º - 360º = - 330º 30º º = - 690º Então podemos representar o arco de 30º e todos os seus arcos côngruos pela expressão x K, K Z

19 se um arco mede α graus, pode se expressar todos os ar cos côngruos a ele por x α 360 K, K Z. sendo α a det er minação de x e 0 α 360 principal se um arco mede α radianos, pode se expressar todos os ar cos côngruos a ele por x α K 2π, K Z. sendo α a det er minação principal de x e 0 α 2π

20 DETERMINAÇÃO DO QUADRANTE 1. Dados os arcos abaixo, determine o quadrante ao qual eles se encontram. a )752 c ) e ) rad 2 f b ) d) rad 4 16 ) rad 3 2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de: a )1910 b ) c ) rad 7 d) 19 rad 4

21 3. Determinar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio circular que marca: a) 12 h e 20 min b) 10 h e 36 min c) 3 h e 15 min d) 18 h e 12 min