Se inicialmente, o tanque estava com 100 litros, pode-se afirmar que ao final do dia o mesmo conterá.

Transcrição

1 ANÁLISE GRÁFICA QUANDO y. CORRESPONDE A ÁREA DA FIGURA Resposta: Sempre quando o eio y corresponde a uma taa de variação, então a área compreendida entre a curva e o eio do será o produto y. Isto é y = m/s ou y = litros/s ou y = reais/m, etc. a b c Justificando: a) y. m. s = A s A = m Conclusão: Isto implica que a área da figura corresponde qual foi a distância percorrida em metros. b) y. = A litros. s = A s Conclusão: Isto implica que a área da figura corresponde ao volume em litros. c) y. = A R$. m = A m Conclusão: Isto é a área da figura corresponde o valor pago em reais. EXERCÍCIO O gráfico a seguir representa as vazões de uma torneira e de um ralo em litros por hora, durante as horas de um dia. lit/hora 30 Torneira 0 Ralo 0 3 Horas Se inicialmente, o tanque estava com 00 litros, pode-se afirmar que ao final do dia o mesmo conterá.

2 a)50 l b)70 l c)70 l d)370 l SOLUÇÃO: Observe que o lio y é uma taa de variação, logo y. corresponderá a área da figura isto é a = y. a = l. h = litros h Volume Inicial l Torneira: (30 + 0) Torneira: Volume preenchido pela torneira: 80 l Ralo: h = 0 b = Volume vazado pelo ralo:. 0 = 0 Volume restante no tanque: (Volume que a torneira encheu) (Volume vazado pelo ralo) Volume restante no tanque: 80 l 0 l = 70 l EXERCÍCIO O gráfico abaio mostra a variação da velocidade de um automóvel com o tempo, durante uma viagem de 5 minutos. a distância percorrida por esse automóvel foi de:,5,0 Área do retângulo b h Área triângulo b. h Área do trapézio (B + b) h z

3 0 3 5 (Minutos)

4 SOLUÇÃO: Observou que o eio do y é uma taa de variação, então a área do gráfico corresponde a distância percorrida. A = y. A = Km/min. min = Km (Distância) A =,5 +,5 +, A =.,5 + 0.,5 + (,5 + ) A =, , A = 5 Km EXERCÍCIO 3 Um cientista ao analisar um fenômeno físico, chegou a um gráfico di-log (log y em função de log ) representado por uma reta, como na figura. Log y (DI - LOG) Log. X 3 P (3,) Log. y Log. = Log. 3 = Log. y 3 y = 0 3 Sabendo-se que log é o logaritmo decimal de ; a partir do gráfico o cientista pode concluir que a relação correta entre as grandezas e y é: SOLUÇÃO: Como o gráfico é uma reta aplicamos a regra da proporção. P (0,) 3 Log. y 6 = Log. 3 Log. y = Log. X Log. Y y = Log. 3 = Log. y y = y = 03 3 Obs.: Quando no Log. não vier eplicito a base ficará subtendido base (0). Log. y é = Log. y 0

5 EXERCÍCIO O gráfico abaio representa a quantidade de ar eistente no pulmão durante um ciclo de inspiração e epiração. V 0, 0,6 0,8 t (s) Assinale o afirmativo correta. A) De 0, a 0,6s a pessoa ficou com o pulmão vazio SOLUÇÃO: Falso: De 0, a 0,6s o volume esteve ocupado com sua capacidade máima que é v. b) O volume total de ar recebido pelo pulmão durante este ciclo foi de 0,5 v. SOLUÇÃO: Falso: Segue as setas e observe que o volume cresce de zero até v isto é o total de ar recebido em v. c) A quantidade máima de ar inspirado ocorreu 0,8 segundos após o início da inspiração. SOLUÇÃO: Falso: Pois após 0,8s o volume de ar ocupado no pulmão é NULO (siga as setas no gráfico). d) A taa (l/s) de inspiração foi a metade da taa de epiração. SOLUÇÃO: Verdade: A taa l/s é a inclinação da reta. Inclinação: Cateto oposto Cateto adjacente Inclinação da Inspiração: v v = 5v 0, Inclinação da Epiração: 0 0 v = v = 5v 0,

6 EXERCÍCIO 5 O gráfico abaio fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Assinale a afirmativa verdadeira: Ano a) 979 foi o único ano em que ela foi deficitária SOLUÇÃO: Falso: Observe que 979 corresponde a escala 0 que corresponde a uma imagem negativa (DEFICITÁRIA) mas sai vários anos com imagem deficitária 979 a 983 é um bom eemplo. b) 989 foi o ano de maior lucro SOLUÇÃO: Certo: Pois o valor 0 é o elemento de domínio que corresponde a maior imagem. c) 99 foi um ano deficitário. SOLUÇÃO Falso: Embora a margem de lucro tenha caído 989, porém a imagem de 99 ainda é positiva isto é LUCRATIVA. d) 98 foi um ano de lucro. SOLUÇÃO: Falso: Pois 98 possui uma imagem nula. FUNÇÃO QUADRÁTICA F: a + b + c I Tipo: F = a Esse tipo de gráfico é de construção imediata pois o VÉRTICE passa pela origem e quanto MAIOR o valor de a mais fechado a parábola será.

7 EXERCÍCIO 6 No gráfico abaio estão representados três parábola (), (), (3) de equações respectivamente y = a ; y = b ; y = c podemos concluir que: a) a < b < c b) c < b < a < c c) o < a < b < c d) o < c < b < a y 3 SOLUÇÃO: Quanto mais fechada a parábola MAIOR será o valor de a, logo: > > 3 a > b > c Com a com caridade esta voltada para uma implica que a, b e c são MAIOR que ZERO. a > b > c > o ou o < c < b < a º Tipo: F() = a + b É alívio que se a função quadrática não possui o termo c então obrigatoriamente a parábola passa pela origem. EXERCÍCIO 7 O gráfico do trinômio do º grau F() = + b + c é o da figura. y v

8 Podemos concluir que: a) b = - e c = 0 b) b = 0 e c = - c) b = e c = d) b = e c = 0 SOLUÇÃO: Se a parábola passa pela origem então c = 0 pois: F() + b + c F(0) = (0) + b (0) + c F(0) = c C = 0 A vértice é representado por v (v, yv) onde: Xv = - b e yv = - (b? ac) a a Sendo conhecido yv = - então vamos eplicar a fórmula de yv. Yv = - (b? ac) a - = - [b () (0)] - = - b b = b = = () I II I II É matéria que = + = - b e que + > 0 Gráfico - b > 0 - b > 0 (-) b < 0 A solução é: b = - Então: F = º Tipo F() = a + c a Se a > 0 a relação imediata é que a vértice sempre pertence ao eio c < 0 y e as raízes são simétricas.

9 d d v (v, yv) v v = 0 yv = - c0 - (a) (c) yv = c v (0, c) Se a > 0 ou a < 0 c > 0 c < 0 A parábola não intercepta o eio. y a > 0 b > 0 Resumo: F = a + c a < 0 b < 0 Se a e c possuem sinais diferentes então as raízes serão semítricas e 0 vértice será sempre v (0,c). Se a e c possuem o mesmo sinal então não eistirá raízes reais e vértice será v (0,c). EXERCÍCIO 8 Considere os trinômios t () = a, + c, e t () = a + c baseandose no gráfico podemos afirmar: (, t ()) (, t ())

10 a) a, > a e c, < c b) a, < a e c, < c c) a, < a e c, > c d) a, > a e c, > c e) a, > a e c, < c SOLUÇÃO: Observa-se imediatamente que as parábolas estão voltadas para uma a, > 0 e a > 0 e que as vértice pertencem ao eio positivo de y logo c, > 0 e c > 0 e que as vértice de y logo c, > 0 e c > 0 já foi dito que se F = a + c e a e c possuem o mesmo sinal então a parábola não intercepta o eio e a vértice sempre será v (0,c). Logo: F(0) = a (0) + b (0) + c b - a c c < c Quanto maior o valor de a mais fechado será a parábola. Logo: º Tipo F = a + b + c a = 0 b = 0 c = 0 Como construir o gráfico a,> a º Calcular onde F() intercepta o eio y. Basta calcular F(0). Veja: F() = a + b + c F(0) = c Conclusão: Toda parábola intercepta o eio y no ponto (o, c) º Calcular as raízes da equação, basta impor F = 0 a + b + c = 0 = - b = (a) 3º Calcular o vértice v = - b e yv = - (b - ac) a a Logo v - b - (b - a c) a a

11 EXERCÍCIO 9 O gráfico de trinômio do º grau é F() = a c Podemos concluir: a) a = e c = 6 b) a = e c = 0 c) a = 5 e c = - 9 d) a = - e c = 0 e) a = - e c = 6 SOLUÇÃO: Vamos começar pelo que é conhecido, nesse caso, o vértice. v = 5 v = - b 5 = - (-0) a a 0a = 0 a = Então, f = c Substituindo v = 5 em f obtemos yv = = (5) - 0 (5) + c - 9 = c c = 6 f = EQUAÇÃO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA USANDO APES O VÉRTICE 5º Tipo: Sendo conhecido o vértice de uma parábola use: f = ( v) + yv Dedução, veja: f = a + b + c : a f = + b + c a a a

12 Vamos somar uma constante K para que + b + c + k torne um quadrado perfeito. a a f() + k = + b + c + k a a a f + k = ( + d) a f + k = + d + d a Fazendo a identidade 9 = b d = b a a c + k = d a c + k = b a a a f = a - (- b ) -. (b - ac) f () = a ( v) + yv f = a ( v) + yv k = b - ac Então: f = + b - (b ac) a a a f = a a a a ( - v) + yv a a EXERCÍCIO 0 Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de combustível. O teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes em velocidade constante, uma distância de 00km em entrada plana, cada vez a uma velocidade diferente. Observou-se então que, para velocidade entre 0 km/h e 0 km/h o consumo de gasolina, em litros, era função de velocidade,, conforme mostra o gráfico. Se esse gráfico é parti de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve Ter consumido no teste à velocidade de 0km/h?

13 Litros 6 8 SOLUÇÃO: f() = a ( - v) + yv f() = a ( - 60) + 8 f(0) = 6 é conhecido 6 = a (0-60) = a (- 0) + 8 a = 8 a = f = ( - 60) f (0) = (0 60) f (0) = f (0) = 6 l 00 FUNÇÃO EXPONENCIAL A forma de uma função eponencial é do tipo. k y = ab + c Como construir o gráfico: º construir a reta y = c Obs.: Para b > a curva aproima da sua assíntota por cima se a > o e por baio se a < o. º Se a e k tem sinais diferentes a função será monotônica decrescente IMPORTANTÍSSIMO: Se o < b < I inverta a fração que representa b basta trocar o sinal do epoente isto facilita e muito análise gráfica e inequações: y = ab + c tipos de gráficos

14 Monotônica crescente a = k = c = 0 Análise: Como a > o a curva aproima de sua assíntota (y = 0) por cima. A função é monotônica crescente pois a e k possuem o mesmo sinal. A função intercepta o eio y em = 0 f (0) = bº + 0 f (0) = º Tipo y = b + 0 onde 0 < b < Análise: Se b e 0 < b < inverta a fração correspondente a b trocando o sinal de k - y = ab + 0 Como a > o a curva aproima de sua assíntota (y = o) por cima A função é monotônica decrescente pois a e k possuem sinais diferentes A função F = b + 0 intercepta o eio y em = 0 Y - 0 f(0) = b + 0 f(0) = Monotônica Decrescente X k 3º Tipo y = ab + c

15 a > o, k < o, c > o, b > - E.: y = b + Análise: Como a > o (a = ) a curva aproimo de sua assíntota (y = ) por cima. A função é monotônica decrescente pois (a = +) e (k = -) possuem sinais diferentes - A função f = b + intercepta o eio y em f = 0-0 f(0) = b + f(0) = + f(0) = 3 Y Monotônica 3 Decrescente Y = X º Tipo y = ab + c a > o, k < o, c < o, b > - E.: y = b - Análise: Como a > o (a = ) então a curva aproima de sua assíntota (y = - ) por cima. A função é monotônica decrescente pois (a = ) é (k = -)possuem sinais diferentes. - A função f() = b - intercepta o eio y em = 0 f(0) = bº + f(0) = - Obs.: Se a é c possuem sinais diferentes a curva intercepta o eio em y = 0 - F = b - = = log. - O = b - b - b = log. = log. b - = b b b b

16 A função eponencial é: COMENTÁRIO FINAL Sobrejetora pois o contradomínio e o conjunto imagem são, ambas R+ - {0}. A função eponencial é injetora pois qualquer reta horizontal interceptará seu gráfico no máimo uma vez. EXERCÍCIO Em relação ao gráfico abaio supondo-se que B esteja entre A e C, e que a medida do segmento AB é dada por 8. Determine o valor de a em y = a sabendo se que o coeficiente angular da reta é igual a 0. 7 Y A 0, 5 3 B C 0 X SOLUÇÃO: Eponencial ya = Y = a substituindo b, yb 7 3 ya = ya = 50 yb = a 7 3 yb = a Igualando É fácil concluir que ya = yb + 8 ya = a + 8 e ya = 50 ya = a = a + 8 Equação da Reta y yo = ( - o) substituindo a ( 0, 5/3) = a a = y 5 = 0 ( - 0) 3 7

17 EXERCÍCIO - Sendo e IR em relação ao gráfico y = - análise o gráfico; antes porém vamos construir o seu gráfico f() =. - f =. - SOLUÇÃO: 0 =. - k Como (a = ) é positivo então a curva aproima de sua assíntota y = - por cima. Observe que (a = ) e (k =) possuem o mesmo sinal então a curva é monotônica crescente. A função intercepta o eio y em = o f(o) =. º - f(o) = - A função intercepta o eio em (y = o) somente se a e c possuem sinais diferentes é o caso. f =. -. = = = EQUAÇÃO GENÉRICA f = ab Y + c Monotônica Crescente X - - Análise: - A função f = - é assintótica (*) ao eio negativo g = -. (*) Assintótica: Lugar onde a curva a reta que representa sua assinatura tendem a se encontrar. - A função f = - possui apenas uma única raiz =.

18 - A função F = - intercepta y em p (0, -) A função e monotônica crescente pois em f =. em relação a k equação genérica y = a b - (a = ) e (k = ) possuem o mesmo sinal. A função f() =. - possui pontos pertencentes ao I, II e IV quadrante. FUNÇÃO LOGARITMO A função logaritmo Log. b = y somente é definido para: Base a > o (a) a = Logaritmando ou Antilogaritmo Obs.: Antilog.a y = b y = a F() = K log.a (G) + B a 5 b GRÁFICO A forma de uma função logaritmo é do tipo. Obs.: Para o ensino MÉDIO considerar apenas FX = + b. Obs.: Vamos trabalhar somente com a > importante. Se a base a do logaritmo estiver no intervalo o < a < basta inverter a base e trocar o sinal do coeficiente do logaritmo isto facilita e muito a análise gráfica e inequações. E.: log. = - log. E.: log. = - log. Vamos provar: y = log. mudando para a base invertida y = log. y = log. log. 5 º Tipo: y = k log. (G) + b onde a > G() = k > 0 E.: y = log. + log TIPOS DE GRÁFICOS - 5 y = - Lg 5

19 Como k = é maior que zero a função é monotônica crescente. A função logaritmo acima somente é definida para > 0 onde = 0 é a assintota da curva isto á o eio y. A função não intercepta o eio y pois f não é definida para = 0. A função logaritmo sempre intercepta o eio onde F() = 0 F() = log. + 0 = log. + log. = - = = 6 Y Monotônica crescente 6 X ~ Assintótica ao eio negativo y º Tipo: y = k Log. (G) + B 0 < a < k > 0 G = a = B = y = Log. + Como a base a = esta entre 0 < a < vamos inverter a base e trocar o sinal do coeficiente do logaritmo. Y = - log. + Como k = - é menor que zero a função é monotômea decrescente A função y = - log. () + somente é definida para > 0 onde = 0 isto é o eio y é sua assíntata. A função y = - log. () + não intercepta o eio y pois não é definida para = 0

20 A função y = - log. () + intercepta o eio em F() = 0. F = - log. () + F = 0 0 = - log. + log. = = Y X 3º Tipo; y = k Log. (G) + B a a = (G) = + e B = k = y = log. ( - ) + Sendo a base a > e k > 0 então a função é monotônica crescente A função y = log. ( + ) + somente é definida para + > 0 onde = - e sua assintota A função y = log. ( + ) + é definida para = 0 logo a curva intercepta o eio y F() = log. ( + ) + = 0 F(0) = log. (0 + ) + F(0) = log. + F(0) = 0 + F(0) = A função F = log. ( + ) + intercepta o eio em y = 0 F() = log. ( + ) + + = 0 = log. ( + ) + = - log. ( + ) = -

21 Monotônica crescente - - Assintótica ao eio negativo y Calcular a área do trapézio abaio: Y EXERCÍCIO 3 Log. b B 8 X SOLUÇÃO: y = log. B = log. 8 H = 8-3 b = log. B = log. H = 6 b = B = 3 A trapézio = (B + b) h A = (3 + ) 6 A =

22 F : R R Definida por F() = /H()/ F será definido por sentenças F = H() se H() > 0 - H() se H < 0 a FUNÇÃO MODULAR Onde H() poderá ser definida por eemplo: H() a + b a + b + c a log. Vamos analisar cada caso: º Tipo F = / / F() = se 30 > - + se - < 0 < Sabendo-se que dois pontos determina uma única reta então vamos determinar dois pontos. Y : se > y = - + y y < > -

23 º Tipo F() = / - - 8/ - F = se > se < º Tipo F = - // - 6 Obs.: Lembre-se que = // então F = // - // - 6 F = se > 0 (-) - (-) - 6 se < 0 F = se > se < > < 0-5 º Tipo F = // - // + 3 F () se > 0 se < se > se < se > se < 0

24 y 3 I X - 3 se < > 0 e > < < e > 3 < < se > 0 e < se < e < < - 3 e - < < < < - II

25 GRÁFICO I & GRÁFICO II º Tipo F = / - / F = - se - > 0 > - + se < 0 F = - se > - + se < y = - y = - + > < y y

26 6º Tipo F() = / / F se > 0 - se < 0 - < 0 > 0 7º Tipo F() = log. // F = log. se > 0 log. - se < 0 y y = Log. 0 y 0 y = Log. - y º Tipo F = /log. / Domínio > 0 F = log. se log. > 0 log. se log. < 0

27 F = log. se > > > 0 log. se < 0 < < > 0 Y = log. y 0 y log. y = - log. y < < - log. EXERCÍCIO A melhor representação gráfica da função real definida por: F = - é Domínio / - / - = 0 = ± Se - > 0 Então: F = - F = ( - ) ( + ) = + ( - ) Conclusão: F = + se - > 0 - -

28 Se - < 0 Então: - F = - = ( - ) ( + ) = ( - ) - ( - ) - - GRÁFICO I & GRÁFICO II Função Hipérbole A equação de uma hipérbole equilatera cujas assintotas são os eios coordenados pode ser escrita na forma canônica. y = c F() = c = 0 Esta equação é de grande uso em física e química devido a sua relação de proporcionalidade inversa. E.: Relação entre pessoa e volume pv = k. y = c c > 0 > 0

29 F = c e E R- {0} e C > 0 Y I Q III Q X F = c E R - {0} e C < 0 II Q Y X IV Q E.: representar graficamente EXERCÍCIO 5 y = = Assíntota - Domínio = y A curva intercepta y em = 0 y = 0 - y = - -

30 EXERCÍCIO 6 Na figura temos o gráfico na função R {} em R definida por: F = A área da região assinalada é: / + / y - 3 A = b, h onde h = h() = / + / b = - (- 3) b = A =. = A = A = b. (h h) h Ç y = 0 h(0) = h = /0 + / Que valores de em y = obtemos imagem??? /+/ F + em F = /+/ = ± se y = + = = + = - + se y = - = - = - = b3 = b3 =

31 A3 = b3 (h3 h) A3 = ( - ) A3 = AT = A + A + A3 AT = + + AT =