Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão Cálculo Diferencial Integral 1 Profª Sheila Regina Oro AULAS 2, 3, 4, 5

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1 AULAS,,, 5 FUNÇÕES. Plano Cartesiano Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (596-65), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano. O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eios e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eio horizontal é o eio das abscissas (eio O) e o eio vertical é o eio das ordenadas (eio Oy). Associando a cada um dos eios o conjunto de todos os números reais, obtémse o plano cartesiano ortogonal. y (ordenada) (abscissa) Cada ponto P = (a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada, respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto. O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baio (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b. Os dois eios dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eios são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (9º). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário.

2 y º Q (-, +) º Q (+, +) º Q (-, -) º Q (+, -) Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (,y) onde pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. AB = { (,y): A e y B } Observe que AB BA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AØ=Ø=ØB. Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AB possui mn elementos. Eemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={,,}, o produto cartesiano AB, terá pares ordenados e será dado por: AB = {(a,),(a,),(a,),(b,),(b,),(b,),(c,),(c,),(c,),(d,),(d,),(d,)}. Definição Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de função definida em A com imagens em B se e somente se, para todo elemento em A eiste um único elemento em B. Ou seja, função é uma lei que relaciona duas grandezas. Eemplo: A lei que determina o valor a pagar na compra de chocolates se cada chocolate custa $,5 é dada por f () =,5. Podemos representar funções através de diagramas. Eemplo: É função porque satisfaz as condições da definição Não é função porque não satisfaz as condições da definição

3 ATIVIDADES ) Verifique se cada um dos esquemas abaio define ou não uma função de A= {,,, } em B= {,,,,, } e justifique. ) Dados os conjuntos A= {,,, } e B= {,,,,,,5,8 }, faça o diagrama de flechas e diga quais das relações são funções de A em B? { a) R=,y AXB y= } c) R= {,y AXB y = } b) R= {,y AXB y= } d) R= {,y AXB y= }. Domínio e Imagem Domínio de uma função f é o conjunto dos elementos (conjunto de partida) para os quais eiste uma correspondência com os elementos do outro conjunto (conjunto de chegada). Indicamos o domínio da função f por D (f ). Eemplo: Num eemplo anterior relacionamos a quantia a ser paga pela compra com o número de chocolates comprados, ou seja, o valor a ser pago depende da quantidade de chocolates adquirida, logo dizemos que a

4 quantidade de chocolates é a variável independente. O domínio é um conjunto bem definido, não é possível comprarmos - chocolates. Também não é possível comprar,5 chocolates, sendo assim, números negativos e números racionais não fazem parte do domínio deste eemplo. Um domínio para a função acima é formado por números inteiros positivos, iniciando do zero e finalizando no máimo de chocolates disponível para compra. Imagem da função f é o conjunto dos elementos (conjunto de chegada) que receberam correspondência a partir dos elementos do domínio. Indicamos a imagem por Im( f ). Eemplo: Voltando ao anterior, como o valor a ser pago depende da quantidade de chocolates adquirida, dizemos que o valor a ser pago é a variável dependente da função, ou seja, a sua imagem. A imagem também é um conjunto bem definido, note que não é possível o comprador gastar uma quantidade negativa, mas o comprador pode gastar $,5, sendo assim, números negativos não fazem parte da imagem, porém números racionais positivos sim.. Gráficos O gráfico da função f é epresso pelo conjunto G f = {,y D f } e y Im f. No eio cartesiano, a variável independente é representada no eio das abscissas e a variável dependente y, no eio das ordenadas. Eemplo: O gráfico da função f () =,5 é: Eemplo: José Roberto toma um tái comum que cobra $,6 pela bandeirada e $,65 por quilometro rodado. Temos aqui uma função, o valor a ser pago depende da quilometragem rodada. Então, f : A B, onde o domínio

5 A é a quilometragem rodada, e B é o valor a ser pago. A função que descreve tal relação é f()=,65 +,6. Note que neste caso, tanto o domínio como a imagem são variáveis contínuas, visto que pode-se rodar,75 km. O domínio e a imagem de uma função são conjuntos que podem ser: i) de pontos isolados, como no caso do eemplo dos chocolates em que temos D(f)={,,,,, 5, 6, 7, 8, 9,,...} e Im(f )={;,5; ;,5; 6; 7,5; 9;,5; ;...}. ii) de intervalos de valores reais, como no eemplo do tái em que temos: D f = { R } e Im f = { y R,6 y }. Podemos também utilizar notação de intervalo ao invés de notação de D f = [, conjunto, que para este eemplo é dada por: e Im f =,6 ;+. Observação: Um método prático para verificar se um gráfico corresponde a uma função, é fazer traços verticais paralelos ao eio y. Usando a definição, sabemos que se eles cortarem uma só vez o gráfico, temos uma função. Se o gráfico for cortado mais de uma vez, não temos função, temos apenas uma relação matemática. Eemplos: Não é função É função ATIVIDADES ) O conjunto f = {(,), (,5), (6,8), (,9)} é uma função de A em B. Determine o domínio e o conjunto imagem da função. ) Quais dos gráficos a seguir representam funções de R em R? Justifique. 5

6 ) Considerando que os gráficos abaio representam funções, estabeleça o domínio e a imagem de cada uma: 5) Determine a imagem de cada uma das funções representadas pelos gráficos abaio: 6

7 .5 Função Identidade É uma função f : R R que para cada R, associa f() =. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais..6 Função Polinomial É a função f : R R definida por f =a n +a n... +an +a n onde os coeficientes ai são números reais não-nulos, n é inteiro não-negativo e indica o grau da função. Temos, então: i) A função constante f() = k é uma função polinomial de grau zero; 7

8 ii) A função afim f() = a + b é uma função polinomial do primeiro grau. iii) A função quadrática f() = a + b + c, com a, é uma função polinomial do segundo grau. E assim sucessivamente..7 Função Constante Uma função f : R R é denominada constante quando a cada elemento R associa sempre o mesmo elemento c R. f :R R c O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eio passando pelo ponto (, c). A imagem é o conjunto Im = {c}. Eemplo: Construir o gráfico da função y =..8 Função Afim Chama-se função polinomial do primeiro grau, ou função afim, a qualquer função f : R R dada por uma lei da forma f = a+ b, onde a e b são números reais dados e a. O gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta. O número a é chamado de coeficiente angular da reta, visto que é o valor da tangente do ângulo que a reta forma com o eio. O número b é chamado de coeficiente linear da reta. A reta sempre corta o eio y no ponto b. Dizemos que a função é de primeiro grau, porque o maior epoente de é, e o seu gráfico corta o eio em um só ponto, ou seja, a função tem uma só raiz. Quando b =, a função do primeiro grau é denominada linear. O gráfico da função linear sempre passa pela origem das coordenadas O(, ). 8

9 Eemplos: f()= O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-,-),(-,),(,),(,),(,)} O coeficiente angular da reta é a =, visto que o ângulo que a reta forma com o eio é 5º. - - Função crescente ( a > ) y = +; onde a= Para obter a raiz ou zero de f, fazemos f()=, logo, f()=+=, então = - é a raiz O coeficiente linear da reta é b = visto que a reta corta o eio y no ponto y=f()= -+ - O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-,),(-,),(,),(,),(,-)} O coeficiente angular da reta é a = -, visto que o ângulo que a reta forma com o eio é 5º Função decrescente ( a < ) y = - +; onde a= - Para obter a raiz ou zero de f, fazemos f()=, logo, f()= -+=, então = é a raiz O coeficiente linear da reta é b = visto que a reta corta o eio y no ponto Fazer o estudo de sinal de uma função de primeiro grau é determinar os valores de para os quais a função é negativa, zero e positiva. Como a função de primeiro grau é da forma f ()=a+b, a raiz da função dessa forma será = b/a, então: 9

10 b f() < se < a, Se a função for crescente (a > ), então b f() = se = a, b f() > se > a. b f() < se > a, Se a função for decrescente (a > ), então b f() = se = a, b f() > se < a. Eemplo: Para o gráfico da primeira função do eemplo temos o seguinte estudo de sinal: f() < se < -, f () = se = -, f () > se > -. Para o gráfico da segunda função do eemplo temos o seguinte estudo de sinal: f() < se <, f() = se =, f() > se >. Eemplo: Determine a epressão da função representada pelo gráfico abaio : y = a + b com a b Quando =, y = ; portanto, o valor de b na epressão é igual a Quando y =, = - (raiz ou zero da função) Substituindo os valores em y=a+b: = -a + a = / A epressão é y = /+

11 ATIVIDADES 6) Para as funções a seguir: I) Faça o seu gráfico II) Diga se a função é crescente ou decrescente III) Faça o estudo dos sinais IV) Diga quais são os coeficientes linear e angular das retas a) y= b) y= c) f = d) f = 7) As figuras a seguir representam os gráficos de funções, de R em R, determine as epressões que as definem: a) b) 8) Suponha que um fabricante gastou R$ 9, em moldes para confecção de frascos de vidro e que, além disso, o custo de produção de cada frasco seja de R$,5. Diga qual a função matemática que define tal relação, determine imagem e domínio, faça o gráfico e o estudo de sinais. A função é crescente ou decrescente? Justifique. 9) Considere uma avaliação com questões de nota máima,. Epresse a nota da avaliação em função do número de erros, tendo em vista que as questões podem estar parcialmente corretas. Faça o gráfico da função, diga seu o domínio e imagem, diga sua raiz e faça o estudo de sinais. A função é crescente ou decrescente? Justifique..9 Função Quadrática Chama-se função quadrática, ou função polinomial do segundo grau, qualquer função f : R R dada por uma lei da forma: f =a +b+c, onde a,b,c R e a. Dizemos que a função é de segundo grau, porque o maior epoente de é. O seu gráfico corta o eio em dois pontos, ou seja, a função tem duas

12 raízes. As raízes, ou zeros, da função chamamos de e, e a epressão que define a função de segundo grau pode ser recuperada fazendo: y=. O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. As raízes de uma função do segundo grau, quando eistem, são obtidas pela fórmula de Bhaskara: b± b ac = a onde chamamos de delta: Δ=b ac. Se Δ>, a função tem duas raízes distintas. Se Δ=, as duas raízes são iguais. Se Δ<, a função não tem raízes reais. Se a >, a parábola terá concavidade para cima. Se a <, a parábola terá concavidade voltada para baio. b Δ O vértice (, y) da parábola é determinado por: a, a. Ponto de mínimo ocorre quando a parábola tem concavidade para cima, é o valor de para o qual a função retorna o menor valor de y. Basta olhar o vértice. Ponto de máimo ocorre quando a parábola tem concavidade para baio, é o valor de para o qual a função retorna o maior valor de y. Basta olhar o vértice. Estudar o sinal da função é dizer os valores de para os quais y <, y =, y >. No caso da parábola, este estudo está intimamente ligado com a concavidade da função. a< a> Δ> Δ= Δ> Δ=

13 Δ< Δ< Eemplo: y= a=, a> a parábola tem concavidade para cima Δ=.. Δ=, Δ> temos duas raízes distintas: - e, =,.. Vértice = ±..,. logo = e = Fazendo. =. = +. = + =, voltamos na equação e confirmamos que as raízes encontradas estão corretas. Como a função tem concavidade para cima, a parábola tem ponto de mínimo, o vértice mostra que o menor valor que y assume é -, quando =, então o ponto de mínimo é (, -). Estudo dos sinais: f () = y < se > - e < f () = y = se = - ou = f () = y > se < - ou >

14 Eemplo : y= a=, a< a parábola tem concavidade para baio Δ=.. ±.. =, logo = e =. Fazendo. =. = +. = Δ= 6, Δ> + = = temos duas raízes distintas: - e mudando o sinal de todos os termos não alteramos a igualdade e voltamos na equação e confirmamos que as raízes encontradas estão corretas. Como a função tem concavidade para baio, a parábola tem ponto de 6, =, máimo, o vértice mostra que o menor valor que y assume é, quando =,.. então o ponto de máimo é (, ). Vértice Estudo dos sinais: f () = y < se < - ou > f () = y = se = - ou = f () = y > se > - e < ATIVIDADES ) Para as funções quadráticas a seguir: I) Diga qual a concavidade II) Obtenha as raízes III) Obtenha as coordenadas do vértice IV) Faca o gráfico V) Determine o domínio e a imagem VI) Determine pontos de máimo e de mínimo VII) Faça o estudo dos sinais a) y= + c) y= 6 b) y= 5 d) y= ) Encontre a epressão definida pelo gráfico da função abaio:

15 ) Suponha que t horas após a meia noite, a temperatura em Pato Branco era C t = t t graus Celsius. 6 a) Qual era a temperatura às horas? b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 8 e horas? ) Uma bola foi jogada do alto de um prédio. Sua altura (em pés) após t segundos é dado pela função H t = 6 t 56. a) Que altitude estará a bola após segundos? b) Que distância viajará a bola durante o terceiro segundo? c) Que altura tem o prédio? d) Quando a bola atingirá o solo? ) Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y= 6, onde e y são medidos em metros. Determine a altura máima atingida pela bala e o alcance máimo do disparo. 5

16 . Função Modular A função definida por y = é denominada função modular. Seu domínio é o conjunto D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = [, + ). y ATIVIDADE 5) Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico: (a) f() = (b) g() = -. Função Racional Se uma função puder ser epressa como o quociente de duas funções polinomiais, ela será chamada de função racional. p f = q Onde p() e q() são polinômios e q(). O domínio da função racional é o conjunto dos reais ecluindo aqueles tais que q() =. Eemplo: A função f = + é função racional de domínio D(f) = R {-}.. Funções Pares e Ímpares Uma função é par se, para todo valor de no domínio de f, f(-) = f(). Uma função é ímpar se, para todo valor de no domínio de f, f(-) = -f(). Em ambos os casos, devemos entender que está no domínio de f sempre que estiver lá. Eemplo: (a) Seja f = 7. f() é par. Verificação: f = 7= 7 =f 5 (b) Seja g = 9. g() é ímpar. Verificação: g = 5 9 = 5 9 = 5 9 = g (c) Seja h = 7 9. h() não é nem par nem ímpar. Verifique! 6

17 ATIVIDADES 6) Determine o domínio e a imagem da função e esboce seu gráfico: a) f = b) g = 7) Verifique se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas opções: 5 a) f = b) g =5 c) h = +. Funções eponenciais Uma função da forma f =b, onde b > e b, é chamada de função eponencial de base b. Se b =, então a função f =b é constante, e não eponencial, uma vez que f =b = = e passamos a ter f () = para todo. Note que uma função eponencial tem uma base constante e um epoente variável. Assim uma função tal como f = não é função eponencial, uma vez que a base é variável e o epoente é uma constante. Eemplos: y= - - = = = = = Como a base é maior que, pois b =, então o gráfico da função é crescente. O domínio da função são todos os reais e a imagem são os valores positivos diferentes de zero. O gráfico da eponencial sempre corta o eio y no ponto, visto que todo número elevado a zero é. 7

18 - - y= = = = = = y= Como a base é positiva, menor que, pois b =/, então o gráfico da função é decrescente. O domínio da função são todos os reais e a imagem são os valores positivos diferentes de zero. O gráfico da eponencial sempre corta o eio y no ponto, visto que todo número elevado a zero é. Primeiro refletimos o gráfico de y = em torno do eio para obter o gráfico de y = -. A seguir deslocamos o gráfico de y = - para cima unidades, para obter o gráfico de y=. O domínio é R e a imagem,. Uma base muito utilizada na função eponencial é o número de Euler. Indicamos o número de Euler pela letra e e o seu valor aproimado é, A função f =e é denominada função eponencial natural. Como o número e está entre e, o gráfico de y=e se encaia entre os gráficos de y= e de y=. 8

19 A constante e também aparece no conteto do gráfico da função f =, onde y=e é uma assíntota horizontal desse gráfico. Assim, o valor de e pode ser aproimado com a precisão desejada calculando f() para suficientemente grande em valor absoluto. Aplicação: Estudo do crescimento bacteriano Para se estudar o crescimento de uma bactéria é preciso cultivá-la, como cultura pura, em meios de cultura e condições ambientais que variam em condições químicas e físicas, tais como fontes de nutrientes, osmolaridade, ph, presença ou ausência de oigênio e temperatura de incubação. Por eemplo, a bactéria E. coli crescendo em um meio de cultura rico e sob condições aeróbicas, atinge uma concentração final de a 5 9 células por ml em cerca de a 8 horas. Uma das abordagens mais comuns no estudo do crescimento bacteriano é a obtenção de curvas de crescimento. Estas são representações gráficas do aumento do número de indivíduos em um determinado período de tempo. Uma linha de tendência passando pelos pontos do gráfico é uma curva eponencial e cada ponto por onde a curva passa indica o número teórico de bactérias, em um dado tempo. Por eemplo, suponha que certa cultura de bactérias cresce com uma taa proporcional ao seu tamanho. No instante t = estão presentes aproimadamente mil bactérias. Passadas 5 horas há cerca de mil Uma reta é uma assíntota de uma curva quando um ponto ao mover-se ao longo da parte etrema da curva se aproima desta curva. Ou seja, a assíntota e a curva ficam arbitrariamente próimas à medida que se afastam da origem de coordenadas. 9

20 bactérias. A função que epressa o número aproimado de bactérias presentes na cultura como função do tempo, medido em horas é a seguinte: t y=, 6 ATIVIDADES 8) Dado o gráfico da função eponencial f ()=9. Calcule os valores de f (/), f (), f(), f (). O que ocorre com os valores de y = f () quando aumenta? 9) Considere a função eponencial f ()=(/). a) Calcular os valores de f (/), f (), f (), f (5); b) Analisar o que ocorre com os valores de y = f () quando aumenta. ) Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função eponencial apresentada a seguir como crescente ou decrescente. Em seguida, informe o domínio e a imagem de cada função. a) f()=7 b) f()=7- + c) f()=5- d) f()=(,) + e) f5()=(/) ) Construa os gráficos das funções, diga se a função é crescente ou decrescente e informe o domínio e a imagem: a) y= b) y= c) y=e d) y= ) Considere a função eponencial: f =a. Analise as afirmações a seguir e indique a classifique-as em verdadeiras ou falsas. Justifique apenas as afirmações falsas: ( ) Se o valor de a é negativo, a função é decrescente; ( ) A função não está definida para a = ; ( ) Se a =,5 e =, então f() = ; ( ) O domínio da função é dado por R; ( ) O gráfico da função é uma curva.

21 ) A epressão utilizada para calcular o crescimento da população de um determinado tipo de bactérias é dada pela função do tempo t (em minutos): f t =,5,t,5 e, t Determine o número de bactérias após a) 5 minutos: b) hora: c) dia: ) Suponha que uma colônia de moscas das frutas está crescendo de acordo com a lei eponencial P(t) = P ekt, e suponha que o tamanho da colônia dobra a cada 9 dias. a) Determine a constante de crescimento. b) Supondo que o tamanho inicial da colônia é, determine o tamanho da colônia após dias. c) Após quantos dias a colônia terá 8 moscas?. Funções logarítmicas O que é um logaritmo? Sejam a e b números reais positivos e a. Chama-se logaritmo de b na base a o epoente tal que a =b. Simbolicamente temos log a b= a =b. Sendo assim, a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e é o logaritmo de b na base a. Verifique que a, pois elevado a qualquer valor é sempre, assim, poderia assumir qualquer valor enquanto b teria que ser sempre. Eemplos: log8 = pois = 8 log = pois = log55 = pois 5 = 5

22 Propriedades log a = log a a= Eemplos Qualquer número elevado a zero é log = = = = log 8 =, resolveremos log 8 =z a log a b =b log 8=z z = 8 z = z= log 8 Se log a b= log a c então b=c. = = 8 = b então temos log 8= log c, como log 8= então log c= e não eiste outro valor que c pode assumir além de 8. Logo b=c. log 8 = log = =5 = 5 log a b c =log a b+ log a c z Ou ainda, log =z = z= e y log 8=y = y=. Assim: log log 8 =z+y= =5 = log 8 log a bc = log a b log a c r log a b =r log a b Mudança de Base log c b log a b= log c a log 8 = log = = =. Ou, log 8 =y y=, e log =z z= log 8 log = y z= = = log 8 log = log 6 = = 6 = 6 Ou fazendo, r log a b= log = = 6 log 6 = = =, log 6 ou ainda: log 6= log y onde log 6 =y = y= z e log =z = z= log 6 Assim, log 6 = log = = Uma base muito utilizada em logaritmos é a base. Neste caso, usamos a epressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente log b ao invés de log b. Assim quando lermos log b = entendemos que =b. Eemplos: log = porque = log =, porque, = log = porque = log =,77 porque,77 = Outra base também muito utilizada é o número de euler e=,78... Nesse caso, temos log e b= e =b. Comumente, o logaritmo na base e

23 recebe a notação especial de ln, e ao lermos ln b=, entendemos que e =b. O ln é chamado de logaritmo neperiano, em homenagem a John Napier que foi um matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos. O ln também é conhecido como logaritmo natural, porque tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. Eemplos: ln e = porque e = e =,78... ln 7 = loge7.. Função Logarítmica: A partir dos logartimos podemos definir a função f : R R pela y epressão y= log a. Sabemos que y= log a a =, então para a função logarítmica temos que ter a base a real, maior que zero e diferente de. Temos que os valores de y são a imagem da função, visto que a base a pode receber como epoente qualquer valor real, então a Im(f )= R. O domínio da função são os valores de para os quais a y =, e como o resultado de qualquer eponencial é sempre positivo e diferente de zero, temos que D f =R. Para plotar a função logarítmica torna-se mais fácil partir dos valores de y para depois obter os de, visto que y assume qualquer valor real. Eemplos: y - - y= log y = = = = = = = = Note que a base a=, então o gráfico da função é crescente.

24 y y= log = y - - = = = = = = = Note que a base a=, onde, então o gráfico da função é decrescente. Todos gráficos da função logarítmica cortam o eio no ponto (,) independente da base, pois a =, para qualquer valor de a. As funções logarítmicas também podem ser interpretadas como inversas das funções eponenciais. Se b > e b, então b e logb são funções inversas. Dessa forma, os gráficos de y=b e y= log b são refleões um do outro pela reta y=, como ilustrado abaio, para b =. O domínio da função eponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função eponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

25 ATIVIDADES: 5) Calcule os logaritmos: a) log a 8=7 b) log 8 = c) log b= log = d) e) log / = f) log 6 = g) log / 9 = h) lo g = log 8 = i) log 5 = j) 8 log = k) log log 5 9 = l) log 5 log 7 9 6) Qual é o valor de a se o logaritmo do número 6/5 na base a é? 7) Qual é o valor de y= ln e+ ln e? 8) Calcule o valor de: a) e ln b) e ln 5

26 9) Construa o gráfico, diga se a função é crescente ou decrescente e determine o seu domínio e imagem. a) f ( ) log f ( ) log b) c) f ( ) log d) f ( ) log ( ) e) f ( ) log f) f ( ) log g) y ln h) y log ) Resolva para sem usar calculadora: a) log( ) b) ln( ) c) log ( ) 7 d) log ² log e) log log 5 f) log 5 (5 ) 8 ) A acidez de uma substância é medida pelo valor de seu ph, o qual é definido pela fórmula ph= log [ H ] Onde o símbolo [ H ] denota a concentração de íons de hidrogênio, medida em moles por litro. A água destilada tem um ph igual a 7; uma substância é chamada ácida se tiver ph < 7 e básica se tiver ph >7. Encontre o ph de cada uma das seguintes substâncias e estabeleça se é ácida ou básica. SUBSTÂNCIA Sangue arterial Tomates Leite Café [H ] 8,9 mol/ L 6, 5 mol/ L, 7 mol / L 6, mol/ L 6

27 ) Use a definição de ph do eercício anterior para encontrar a concentração de íons de hidrogênio [ H ] da solução que tem ph igual a: a), b) 8,6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 reimp. Porto Alegre: Bookman, 7. STEWART, J. Cálculo. Volume, 6. ed. São Paulo: Pioneira, 6. Lista de Sites Matemática Essencial: Disponível em (acesso em março/). e-cálculo: Disponível em (acesso em março/). Cálculo A. Disponível em (acesso em fev/). 7