SESSÃO 4: PERFIL VERTICAL DA VELOCIDADE DO VENTO PRÓXIMO À SUPERFÍCIE

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1 SESSÃO 4: PERFIL VERTICAL DA VELOCIDADE DO VENTO PRÓXIMO À SUPERFÍCIE Respostas breves: 1.1) 2m 1.2) 2<x ) ]0; 10,758] 2) f(10)=4, ) x=75,9 4.1) 1,66 4.2) Sim. 5.1) x=0, para y>0. 5.2) x=1, para todo x real. 6.1) Não existe gráfico associado. 6.2) crescentes 6.2.1) tende a se aproximar do eixo x, e a se afastar da reta x=1. 6.3) decrescentes 6.3.1) tende a se afastar do eixo x e a se aproximar da reta x=1. 6.4) a curva se aproxima da reta x=1. 7.1) direção vertical 7.2) 3 unidades para cima. 7.3) 2 unidades para baixo. 8.1) direção horizontal. 8.2) 3 unidades para a esquerda. 8.3) 2 unidades para a direita ) x= ) Pela condição de existência do logaritmando de f(x)=log b (x-2), tem-se x-2>0, ou seja, x>2.

2 9) Sim. Em relação ao eixo x. 10) Sim. Em relação ao eixo y. 10.1) Não, pois em f(x)=log (-x), tem-se que x>0, o que implica em x<0. 11) 5, 4, 3, ½. 11.1) Sim. 12) Sim. Em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. 12.1) (0,1); (1,2); (2,4) ) Sim. Funções inversas. Comentários complementares 1 : A velocidade do vento próximo à superfície possui comportamento logarítmico. As medições foram efetuadas em São Martinho da Serra, interior do Rio Grande do Sul, num certo dia e hora, x resultando na seguinte lei: f ( x) = 2,75 ln, para x>2, cujo gráfico é apresentado abaixo. 2 Figura 54: Gráfico da velocidade do vento próximo à superfície (m/s) em função da altitude (m). 1 Comentários retirados do trabalho dissertativo de BERLEZE (2007, p. 148 a 158).

3 A partir dessa construção, a dupla poderá perceber que a velocidade do vento é nula para x altitude até 2m (item 1.1). Portanto a função f ( x) = 2,75 ln será válida para 2<x 100 (item 2 1.2). Para 0 x 2, tem-se y=0, conforme pode ser visto na figura 54. O conjunto imagem da função f é ]0; 10,758] (item 1.3). A velocidade máxima para esta situação ocorre para x=100 e pode ser obtida a partir de <um>, [traço]. No item 2, pede-se a velocidade do vento a 10m da superfície. Isto pode ser facilmente verificado através da tabela de valores em <misc>, [tabelas], ou, mais facilmente, através de <um>, [traço]. Para isso, encontra-se aproximadamente 4,426 m/s. O item 3 pede a altitude para a qual a velocidade do vento é de 10 m/s. Isso pode ser obtido traçando-se o gráfico de y=10, que é uma reta paralela ao eixo x, e que intercepta a curva logarítmica num ponto cujas coordenadas podem ser obtidas em <dois>, [interseções]. A altitude encontrada é de 75,9m. O item 4 tem o objetivo de mostrar que, para uma mesma variação de altitude, não se tem a mesma variação na velocidade do vento. Conforme exemplificado no exercício, de 2m a 12m, houve uma variação de 4,93 m/s, aproximadamente. Porém, a mesma variação de 10m na altitude (de 12m a 22m) gera uma variação na velocidade do vento de apenas 1,66 m/s (item 4.1). Isso mostra que a função cresce rápido para os primeiros valores, e mais lentamente para valores maiores do domínio (item 4.2).

4 O objetivo do item 5 é verificar o porquê de a definição de logaritmo ser válida para base positiva e diferente de 1. Se a base b fosse zero, pela definição, 0 y =x. Logo, para y>0, o valor de x resultaria nulo, ou seja, estaria associado a uma reta coincidente ao eixo y positivo. Se y 0, não está associado gráfico algum, pois 0 0 é uma indeterminação e 1/0 não está definido. Logo, a resposta esperada para 5.1 é x=0, para y>0. Se a base b fosse 1, então 1 y =x. Logo, seria obtido x=1, para qualquer valor de y (item 5.2). Graficamente, isso corresponde a uma reta paralela ao eixo y, passando em x=1, o que não corresponderia a um gráfico de função. Dessa forma, sempre que a base de um logaritmo for um número muito próximo de 1, seja menor ou maior do que este (se aproximando pela esquerda ou direita), a curva estará se aproximando dessa reta vertical x=1. Por fim, uma base negativa faria com que, no caso de expoentes racionais do tipo c a, onde a e c são primos entre si e c é par, se chegasse a raízes de índices pares e radicandos negativos, a c c a c a ( b) = x x = ( b) = b, o que não corresponderiam a números reais. Daí o fato de a função logarítmica estar definida apenas para bases positivas e diferentes de 1. No item 6, esperava-se que a dupla percebesse os efeitos da curva logarítmica à medida que o valor da base variasse. Em 6.1, observa-se que se a base for negativa ou nula, não existe gráfico associado à função dada. Isso se deve ao fato comentado no item anterior.

5 Figura 55: Gráfico de y=log b x, para b {2, 4, 6, 8, 10}. Em 6.2, verifica-se que a função é crescente quando b>1. À medida que a base cresce de 1 a 10, a curva se aproxima (6.2.1) do eixo x, ou seja, a função cresce mais vagarosamente. Figura 56: Gráfico de y=log b x, para b {0,2; 0,4; 0,6; 0,8}. Quando 0<b<1, a função é decrescente (6.3). À medida que b cresce de 0 a 1, a curva se afasta (6.3.1) do eixo x e se aproxima da reta vertical x=1, com f decrescendo mais rapidamente.

6 Em 6.4, ao se tomar valores de b próximos de 1, o gráfico se aproxima da reta x=1, tanto pela esquerda, se 0<b<1 ou pela direita, se b>1. Figura 57: Gráfico de y=log b x, para b próximo de 1. Em 7.1, a direção em que se deslocam os gráficos, comparativamente ao gráfico de f, é a direção vertical. Em 7.2, deslocam-se 3 unidades para cima. Como as funções logarítmicas dadas não interceptam o eixo y, pode se tornar um pouco difícil de a dupla perceber o quanto se deslocou o gráfico de g quando a=3. Uma forma de solucionar esse problema, seria traçar um segmento vertical que intercepte os gráficos de f e g. Através da opção <dois>, [interseções], pode-se verificar as ordenadas dos pontos de interseção, conforme pontilhado na figura 58. A partir daí, é só observar que, dado um mesmo x, a imagem pela g é 3 unidades maior do que a imagem pela f, ou seja, o valor de a indica quantas unidades o gráfico sobe ou desce. De forma análoga, em 7.3, o gráfico de g deslocou-se 2 unidades para baixo, em relação ao gráfico de f.

7 Figura 58: Comportamento dos gráficos de y=a+log x, para a {-2, -1, 0, 1, 3}. Ao variar o parâmetro b, os gráficos deslocam-se na direção horizontal (item 8.1), conforme pode ser visto na figura 59. Em 8.2, nota-se que o gráfico desloca-se 3 unidades para a esquerda, ou seja, o zero de f que ocorre em x=1 será deslocado para x=-2. Figura 59: Comportamento dos gráficos de y=log ( x+b), para b {-2, -1, 0, 1, 3}.

8 De forma análoga ao anterior, para 8.3, quando b=-2, o gráfico desloca-se 2 unidades para a direita, interceptando o eixo x em x=3. Para este caso em que b=-2, a assíntota também se desloca duas unidades, ou seja, se antes da transformação a assíntota era x=0, agora será x=2 (item 8.3.1). Em 8.3.2, a justificativa algébrica está associada à condição de existência do logaritmando, pois x- 2>0 implica em x>2. No item 9, aparece simetria em relação ao eixo x, pois para um mesmo x, só o que se altera entre as duas funções é o sinal de y. Observe que g é decrescente, embora a base seja maior que 1. Isso acontece devido ao sinal negativo antes da função. Uma justificativa para isso pode vir da propriedade log 10 x = log10 x = log 1 x = log 1 x 10 10, cuja função decresce com o aumento de x. c log a = log a. Veja: b c b Figura 60: Simetria entre os gráficos de y=log x e de y=-log x.

9 O item 10 envolve simetria em relação ao eixo y, uma vez que são os valores do domínio de g que são tomados simétricos aos do domínio de f. Note que o sinal negativo no logaritmando da função g não contraria a definição de logaritmo (item 10.1), pois, como o logaritmando deve ser positivo, necessariamente x deve ser negativo, daí o porquê de o gráfico estar concentrado na parte negativa de x. Figura 61: Simetria entre os gráficos de y=log x e de y=log (-x). O item 11 busca explicar o porquê que no modelo da velocidade do vento em função da altitude dada, sua representação gráfica intercepta o eixo x necessariamente no valor 2. Lembre que naquele caso, o logaritmando era (x/2). Neste item, ao verificar o logaritmando ax para valores de a como 1/5, ¼, 1/3, ½ e 2 percebe-se que a interseção com o eixo x passa a ocorrer em 5, 4, 3, 2 e ½, 1 respectivamente, ou seja, a nova raiz é (item 11.1). a

10 Figura 62: Comportamento dos gráficos de y=ln x e de y=ln(ax), para a,,,,0, É interessante notar que isso vale para outros tipos de função como afim ou quadrática. Se a função f(x)=x+1 tem raiz x=-1, então f(3x) terá raiz -1/3. Se p(x)=x 2-5x+6 tem raízes x=2 e x=3, então, p(2x) terá raízes iguais a x=2/2=1 e x=3/2. Segue uma justificativa para cada caso, considerando t 0: para f(x)=ax+b, tem-se a raiz em x =. Para f(tx) tem-se f(tx)=atx+b, cuja raiz será x= = x'. No caso da função quadrática at t a b g(x)=ax 2 +bx+c, suas raízes são x'' b ± b 2a 2 4ac b =. Para g(tx), tem-se g(tx)=a(tx) 2 +b(tx)+c, que implica em g(tx)=at 2 x 2 +btx+c. As raízes serão: bt ± b t 4at c bt ± t b 4ac b ± b 4ac x'' x = = = = at 2at 2at t 2 2 O item 12 procura relacionar as funções logarítmicas e exponenciais de mesma base como inversas uma da outra, pois seus gráficos são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

11 Figura 63: Simetria dos gráficos de y=b x e y=log b x em relação a y=x, para b=0,5 e b=2. Em 12.1, ao animar os dois pontos construídos sobre os gráficos, percebe-se que, quando se tem os pontos (1,0), (2,1) e (4,2) sobre uma curva, o pontos associados sobre a outra curva serão (0,1), (1,2) e (2,4) (item 12.1), ou seja, os valores de x e y ficam trocados. Daí o porquê de trocar x por y e y por x para encontrar a função inversa de uma função bijetora. Figura 64: Simetria dos pontos (1,0) e (0,1), (2,1) e (1,2), (4,2) e (2,4) sobre os gráficos de y=2 x e y=log 2 x.

12 1 Figura 65: Simetria dos pontos (1,0) e (0,1), (2,1) e (1,2), (4,2) e (2,4) sobre os gráficos de y= 2 x e y= log x. 1 2 Por fim, duas funções que possuem gráficos simétricos em relação à reta y=x são funções inversas (item ) uma da outra. Referências BERLEZE, C. S. Uma seqüência de ensino usando o programa Winplot: em busca de uma aprendizagem autônoma do aluno. Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano, Santa Maria, 2007, UNIFRA.