FUNÇÃO EXPONENCIAL. e) f(x) = 10 x. 1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1. Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R + *.

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1 FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Dado um número real a, com a > 0 e a, chamamos função eponencial de base a a função f de R R que associa a cada real o número a. Podemos escrever, também: f: R R a Eemplos de funções eponenciais em R: a) f() = d) f() = e - b) f() = c) f() = e e) f() = 0 Gráfico: O gráfico de f() = a tem o seguinte aspecto: ) Se a > ) Se 0 < a < função crescente função decrescente Observamos que nos dois casos, a imagem da função eponencial é: Im = R + *. Dizemos, ainda, que a função f() = a, corta o eio no ponto (0, ). Equações eponenciais Definição: Equações eponenciais são equações com incógnita no epoente. Eemplos a) = 64 = b) ( ) c) 4 = 8

2 Para resolvermos essas equações, devemos reduzir ambos os membros em potências de mesma base, usando para isso as propriedades de potência. Pelo fato da função eponencial f() = a ser injetora, podemos concluir que potências iguais e de mesma base têm os epoentes iguais, ou seja: a b = a c b = c (a > 0 e a ) Eemplos a) = 64 b) ( ) = ( ) 6 / / = 8 c) 4 = = (8) = 0 4 = 6 = ( ) fazendo = t 4 V = {6} = t t = 0 4 = temos que t = ou t = = 8 = ou = 8 V = { } / / = = = V = {} LOGARITMOS Definição: Seja b um número real positivo. Dado um número positivo qualquer, eiste um único número real tal que = b. Este número é chamado logaritmo do número na base b e será denotado por = log b. Temos, então, a igualdade: = log b = b Eemplos: ) Calcule log 9. Da igualdade acima temos: = log 9 9 = = =. Logo, log 9 =

3 ) Calcule log 4. Da igualdade acima temos: = log 4 4 = = = =. Logo, log 4 = FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para cada número real positivo b, definimos a função logarítmica, na base b, como sendo a função f : ( 0, + ) R, que a cada número real positivo associa o número real f() = log b Gráficos A função logaritmo de na base b, pode ser representada graficamente de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaio: b > 0 < b < Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > e é decrescente se 0 < b <. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto de todos os números reais, ou seja, log b : R + R. Propriedades Sejam b > 0 e b, M > 0, N > 0 e r números reais, então: a) log b (MN) = log b M + log b N M b) log b = log b M log b N N r c) log b(m) = r log b M d) log b b = e) log b = 0

4 Mudança de base Sejam a e b números reais positivos com a e b, para qualquer número real positivo M temos a igualdade: log a M log b M = log a b Eemplo Escreva a seguinte epressão log 6 + log 6 log 6 z com um único logaritmo. Solução: log 6 + log 6 log 6 z = log 6 + log 6 log 6 z = log 6 z Logaritmos especiais Dois logaritmos possuem notações próprias que são: f () = log0, que será denotado simplesmente por f () = log e será chamado logaritmo decimal (na base 0). f() = log e, que será denotado simplesmente por f () = ln e será chamado logaritmo natural (ou Neperiano), onde e representa o número de Napier, base da função eponencial g () = e, cujo valor aproimado é e =,78... Relação entre função logarítmica e função eponencial: As funções f() = log b e g () = b são funções inversas, uma da outra, pois pela própria definição de logaritmo temos, log b = = b e, assim, log ( ) = b b = g(f()) = g log b e f(g()) = f ( b ) = log (b ) = b

5 Eemplo Durante quanto tempo devemos investir R$ 900,00 a uma taa de 0% ao ano, no sistema de juros compostos, para resgatar R$.500,00? Solução: t Da fórmula de juros composto, PF = PV( + i), onde PF é o valor a ser resgatado, PV é o valor aplicado, i é a taa e t é o tempo de aplicação, temos que: t = 900 +, log(5 /) log(, ) 0,9 0,044 t t ( + 0, ) = (, ) = t = log = = = 5, 599

6 EXERCÍCIOS SOBRE EXPONENCIAL E LOGARITMO ) Esboce o gráfico das seguintes funções: a) f() = b) f() = c) f() = + ) Resolva as seguintes equações eponenciais: a) = 5 5 b) 5 = 0,04 + c) 5 - = 5 d) f() = - e) f() =. f) f() = d) ( ) + 4 = e) = 0 ) Calcule o valor do logaritmo dado. a) log 8 64 b) log 4 64 c) log 64 8 d) log e) log f) log g) log 8 h) log 8 4) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada. a) f() = log b) f() = log c) f () = ln( + ) 4 d) f () = ln( ) e) f() = log ( ) f) f() = log 5) Reduza a epressão dada em um único logaritmo. a) 4 log + log b) 5 ln + ln log 6 c) log b() + log b() d) log 9 + log 6 log 9 z 6) Sendo lna =, lnb = 5, ln = 0, 5, calcule. 5 a) ln( ab) b) ln ab c) ln(a b b ) d) ln( ) 5 a 7) Resolva as seguintes equações: a) ln + ln = ln9 64 c) ln ln( ) = ln + ln( ) b) ln( ) + ln4 = 0 d) ln ln ln4 = 0

7 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO EXPONENCIAL a) b) c) d) e) f) a) V = {-} b) V = 5 c) V = 7 d) V = {-5; } e) V = {-; } LOGARTIMOS ) a) ; b) ; c) ; d) 6; e) 0; f) ; g) ; h) 4. 4) a) D f = { R / > 0} b) D f = { R / > 0}

8 c) D f = { R / > } d) D f = { R / > } e) D f = { R / < 0} f) D f = { R / > 0} 4 5) a) log( ) ; b) ln( 5 ); c) 6 log b ; d) b log 9. z 7 6) a) 7; b) ; c) 9; d) 6,49. 7) a) ; b) não eiste; c) ou ; d) 4.