Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo Universidade do Vale do Paraíba Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Rodrigo Sávio Pessoa São José dos Campos 0

2 Sumário Tópico Tópico Tópico Tópico Tópico 5 Tópico 6 Tópico 7 Tópico 8 Conjuntos e função matemática. Revisão de conceitos elementares. Funções Principais funções elementares. Função constante. Função polinomial do º grau. Função polinomial do º grau. Função eponencial.5 Função logarítmica.6 Função trigonométrica Limite e continuidade de uma função. Definição e propriedades. Obtendo limites. Limites laterais. Limites envolvendo o infinito.5 Continuidade Derivadas.. A reta tangente.. A derivada de uma função num ponto.. Regras de derivação. Derivada das funções elementares.5 Derivadas sucessivas Aplicações de derivadas 5. Funções crescente e decrescente, e o teste da primeira derivada 5. Máimos e mínimos 5. Concavidade 5. Ponto de infleão 5.5 Teste da derivada segunda para etremos relativos Integral indefinida 6.. Conceito de primitiva 6.. Definição e propriedades da integral indefinida 6.. Regras de integração Integral definida 7. Definição 7. Interpretação geométrica 7. Cálculos de integrais definidas Aplicações de Integrais 8. Integração por partes 8. Integração de potências de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante, cossecante 8. Integração por substituição trigonométrica, outras substituições.

3 Tópico. Conjuntos e Função Matemática. Revisão de conceitos elementares.. Propriedades básicas dos números OPERAÇÕES COM FRAÇÕES O método mais direto de resolver frações é o do máimo divisor comum: a c + b d bd bd a b d bd c da bc bd E. ) E. ) Para ou mais frações o procedimento é o mesmo. a c e + + b d f bd f b bd f a d bd bd c f f f e ( d f ) a ( b f ) c ( bd) e bd f E. ) DIVISÃO COM FRAÇÕES a c É só inverter a ª fração e multiplicar b d a c a d ad b d b c bc

4 E. ) E. ) E. ) OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS E. ) + ( ) 5 E. ) +5 ( 8) E. ) ( ) ( ) 6 E. ) ( ) 5 5 E. 5) ( ) ( ) ( ) E. 6) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 7 Resolver: a) 9 + ( ) b) + ( 9) c) 7 ( 8) d) ( ) e) ( ) ( 8) + 5 f) 9 ( ) ( ) g) ( 5) h) ( ) 5 RADICAIS n n m A A radicando; n índice da raiz e m epoente do radicando. m A A m/n (fórmula geral) E. ) / E. ) 7 E. ) /5 E. )

5 OPERAÇÕES COM RADICAIS E. ) E. ) y y E. ) 8 E. ) n E. 5) n E. 6) 6 / 8 9 n( n) 9 8 / EXPONENCIAIS A A é a base e é o epoente. P) A A y A +y P) A / A y A -y P) (A ) y A.y P) (A. B) A B P5) A A e A B A A. B - B E. ) E. ) ( ) E. ) ( ) E. ) Resolver: 7 a) 0 b) 7 c) d) 6 - PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA ) A (B + C) A B + A C ) (A B)(C + D) A(C + D) B(C + D) E. ) ( + ) 8 + E. ) ( )( ) ( ) ( ) Resolver: a) ( - 7 )( + 7 ) b) (a + b)(a + b) 5

6 c) ( + )( - ) d) ( + )( + ) PRODUTOS NOTÁVEIS (A+B) Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir: (A + B) (A + B)(A + B) A + AB + B (A B) (A B)(A B) A AB + B E. ) ( ) + Resolver: a) ( ) b) (a + ) c) ( + y) DIFERENÇA DE QUADRADOS a ( a)( + a) E. ) ( )( + ) E. ) ( - )( + ) E. ) A ( - A )( + A ) Resolver: a) ( - )( + ) b) 6 c) 7 d) ( + )( - ) BINÔMIO AO CUBO (a + b) (a + b) (a + b) FATORAÇÃO (TIRAR UM FATOR COMUM PARA FORA DO PARÊNTESES) E. ) + ( + ) E. ) + ( + ) 5( ) ( ) E. ) ( )( ) ( ) Resolver: a) 8 a b c) a b b) d) 6

7 RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS Consiste em tirar a raiz do denominador. E. ) E. ) E. ) n A n n A A n n 9 n 9 A 9 n n A n n A n n A A 9 9 Resolver: a) b) 5 c) d) 9 RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar numa diferença de quadrados. E.) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) E. ) ( ) ( ) ( ) Resolver : a) 7 d) 7 b) e) a b f) c).. Conjuntos Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, pessoas, etc. Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por letras minúsculas. Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras: Por etensão: Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. E.: A {,,5}. Por compreensão: Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos. E.: A { é número ímpar menor que sete}. Pelo diagrama de Venn: E.: 7

8 A PRINCIPAIS SÍMBOLOS pertence (elemento do conjunto) não pertence (elemento do conjunto) tal que está contido (conjunto de elementos) não está contido (conjunto de elementos) eiste ao menos um! eiste um único não eiste para todo ou qualquer implicação equivalência união intersecção Eemplo: Sendo P {0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0}, determine, por etensão, os seguintes conjuntos: A { P k, k P} {0,, 6, 9} B { P k, k P} {,,, 8} Observações Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado por ou { }. Quando o conjunto é infinito utilizamos reticências (...). E.: E {,,,...}. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. E.: Se A {,, } e B {,,,, 5} então A B ou A é subconjunto de B. Chamamos de A B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. E.: Se A {,,, 8} e B {, 8, 9} então A B {, 8}. Chamamos de A B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. Considerando os conjuntos A e B do eemplo anterior, temos A B {,,, 8, 9}... Principais conjuntos numéricos CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS N N {0,,,,, 5,...} CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Z Z {..., -, -, -, 0,,,,,...} 8

9 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Q Q { b a, com a Z, b Z e b 0} Observações a Z Q, pois se a Z, a Q. Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois casos: ) quando a representação decimal é finita: 7,75 ; 0,6 5 ) quando a representação decimal é infinita periódica: 7 0,... 0, CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS I Considere os números, e, suas representações decimais são:,5..., , e, (número de Euler) Observe que eistem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma b a. Todas as raízes não eatas são eemplos de números irracionais. CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS R Q U I { é racional ou é irracional} Portanto, são números reais: os números naturais; os números inteiros; os números racionais; os números irracionais. Podemos representar os números Reais em uma reta que chamamos Reta Real: 9

10 Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do ponto ou abscissa do ponto... Alguns conceitos importantes MÓDULO DE UM NÚMERO Assim: O módulo de um número é geometricamente a distância dele ao ponto de coordenada zero. a, se a 0 a a, se a 0 Eemplo: Se a então a ou a Se a então a Se a então a ou a PAR ORDENADO E PLANO CARTESIANO Se a e b são números reais, então (a, b) é um par ordenado de números reais, onde o primeiro elemento é a e o segundo elemento é b. Representação Gráfica no Plano Cartesiano: P é o ponto de coordenadas a e b. O número a é chamado abscissa de P. O número b é chamado ordenada de P. A origem do sistema é o ponto O(0,0). 0

11 Eemplo: Represente os pontos: M(,), N(-,), P(-,-), Q(,-), R(,0), S(-,0), T(0,) e V(0,-). y M(, ) Eercícios ) Complete usando os símbolos ou : 9 a) 7 N b) Q c) ½ I d) Q e) 0, Q f) 6 R g), Q h) 7 Z ) Determine, por etensão, os seguintes conjuntos: a) { N / } b) { Z / - < } c) { Z / 0 < 5} d) { N / -} e) { Z / > }..5 Intervalos Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos: intervalo aberto ]a, b[ { R a < < b } intervalo fechado [a, b] { R a b } intervalo semi-aberto à direita ]a, b] { R a < b }

12 intervalo semi-aberto à esquerda [a, b[ { R a < b } intervalos infinitos ]a, + [ { R > a} [a, + [ { R a} ], a[ { R < a} ], a] { R a} Observação: ], + [ R Eemplo: Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos: a) [6, 0] { R 6 0 } b) ]-, 5] { R - < b } c) ]-, [ { R < } Operações com intervalos Intersecção () A B { U A e B } União () A B { U A ou B } Diferença ( ) A B { U A e B } Eercício: a) Se A { R < 5} e B { R < 8}, determine A B, A B, e A B. b) Se A { R - 0} e B { R < }, determine A B, A B, e A B.. Funções As funções desempenham um papel importante na ciência e na engenharia. A observação mostra que há certos fenômenos que apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico, desde que as condições iniciais sejam as mesmas. A busca de uma função que representa uma determinada situação é chamada modelagem matemática. Suponhamos, por eemplo, que queremos estudar uma variação de espaço e tempo no fenômeno da queda de corpos no vácuo (ou seja, sem influência da resistência do ar). Procuramos a regularidade do fenômeno (a lei). Quanto menores forem os intervalos de tempo em que fizermos as medições, melhor se conhecerá a variação. Suponhamos que se fizeram as medições de segundo em segundo e que encontramos:

13 Tempos (em segundos) Distâncias (em metros) 0,9 9,6, 78,,5... Esta tabela dá a primeira ideia da lei: d ½ gt. Se t é a variável do conjunto dos tempos e d a variável do conjunto das distâncias, a lei é a correspondência entre t e d. Dizemos que d é função da variável t e escrevemos simbolicamente d f(t), onde t é a variável independente e d a variável dependente. Dizemos que uma variável y é função de uma variável, se e somente se, a cada valor de (variável independente) corresponde um único valor de y f() (variável dependente). Outros eemplos ) Se uma torneira despeja 0 de água por minuto, o volume de água despejada dependerá do tempo que a torneira ficar aberta: Após minuto será de 0 ; Após minutos será de 0 60 ; Após 5 minutos será de ; Após 0 minutos será de Indicando o tempo por e o volume por y, temos y0. A cada valor de tem um único valor para y. Dizemos que y é função de. ) A tarifa do tái é uma função do número de quilômetros rodados, ou seja, para cada número de quilômetros rodados equivale um único valor a ser pago. ) A cota de contribuição do imposto de renda é função do rendimento do indivíduo. ) A receita total é função da quantidade vendida. 5) O custo total depende da quantidade produzida. A maioria das funções pode ser epressa através de uma relação (ou lei) matemática, como os eemplos anteriores. Entretanto, eistem funções que não podem ser epressas por uma lei matemática. Neste caso a relação entre as variáveis é feita através de tabelas, conjunto de pares ordenados, etc. Eemplo: a temperatura máima no mês de fevereiro de 00, de certa cidade, é função da data, pois cada dia tem uma única temperatura máima... Definição Uma função f de um conjunto A num conjunto B é uma regra que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Diz-se neste caso que a função f está definida em A com valores em B. Indica-se que é uma função de A em B pela notação: f : A B (lê-se: função f de A em B) y (lê-se: a cada valor de A associa-se um só valor y de B) O domínio de uma função f é o conjunto dos possíveis valores da variável independente. Indica-se por Dom f ou D(f ), assim, Dom A; Chamamos o conjunto B de contradomínio da função. Indica-se por C(), logo, C()B; Chamamos o elemento y de B, associado ao elemento de A de imagem de pela função. Indica-se y ();

14 Chamamos de Conjunto Imagem o conjunto dos elementos y de B que são imagens dos elementos de A. Indica-se por Im ou Im(). Observação: Im(). Função real de variável real é aquela cujo domínio e contradomínio são os reais. Nas funções reais quando o domínio não está especificado considera-se que o domínio será de todos os reais para os quais y f() tem significado nos reais. Eercícios ) Epresse por meio de uma fórmula matemática a função f : R R que a cada real associa: a) o seu quadrado b) a sua terça parte c) a sua metade somada com três ) Se A { -, -, 0, } e f : A Z definida por f() calcule Im(f). ) Dada a função f : R R, definida por f()-7 pede-se: a) f(-) b) f c) f d) f 0 5 ) Dada a função f : R R definida por f() -9+, determine: a) f(-) b) f(0) c) f(7) 5) Na função f : R R definida por f ( ), determine para que f() 0. 6) Determine o domínio das seguintes funções de variável real: a) f ( ) 5 b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f( ) g) f ( ) 5 h) f ( ) 6.. Estudo do gráfico no Plano Cartesiano Analise os gráficos a seguir e identifique quais representam e quais não representam funções. Em seguida, determine o domínio e a imagem das funções:

15 Observações O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eio das abscissas (eio ). A imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eio das ordenadas (eio y)... Estudo do sinal de uma Função Os valores de para os quais f()0 chamam-se zeros ou raízes da função. Geometricamente os zeros de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eio. f é positiva para um elemento, Dom f se, e somente se f() > 0; f é negativa para um elemento, Dom f se, e somente se f() < 0. Eemplo: Observando o gráfico acima, temos: f() 0 e f(5) 0, logo, os números e 5 são os zeros da função; f é positiva quando ( ; ) ou (5; + ); f é negativa quando (; 5). Observação: nota que o sinal da função para um elemento, Dom f é o sinal de f() e não o sinal de... Crescimento e Decrescimento de uma Função 5

16 Observamos que: De forma geral: no intervalo A, aumentando o valor de, aumenta também o valor de y. Dizemos então que a função é crescente no intervalo A. no intervalo B, aumentando o valor de, o valor y diminui. Dizemos então que a função é decrescente no intervalo B. Sendo e elementos de um conjunto A Dom f, com, dizse que a função é crescente em A se f ) f ( ) e decrescente se f ( ) f ( ). ( Eercício: Dada a função representada pelo gráfico abaio, determine: a) os zeros da função; b) o(s) intervalo(s) onde a função é crescente e o(s) intervalo(s) onde ela é decrescente; c) o(s) intervalo(s) onde a função é positiva e o intervalo onde ela é negativa. LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS ) Determine, por etensão, os seguintes conjuntos: a) / c) / 7 e) / 0 * * b) / d) / 0 f) / y ) Os conjuntos A / e e B / são iguais? Justifique. 6

17 ) Dados A(-,], B[-5,5] e E(-,), calcule: a) A E b) E c) ( ) Dados os conjuntos A {a,b,c}, B {b,c,d} e C {a,c,d,e}, então qual é o conjunto P C) (C B) C). 5) Qual é a intersecção dos conjuntos Q e Q? 6) Sendo f : uma função definida por f() --0, calcule: a) f(-) b) f(-) c) f(0) d) f(/) 7) Dada a função f : definida por f() 5 + 6, calcule os valores reais de para que se tenha: a) f()0 b) f() c) f()6 8) Sejam as funções definidas por f() + a e g() 5 b. Calcule o valor de a e b de modo que se tenha f() 9 e g(). 9) Dada a função f : definida por f(), determine k para que f(k + ) 0. 0)Dada a função f ( ), a) Qual o valor de f(-) e f(0)? b) Encontre m de modo que m f ( ) f (0) c) Calcule para que f(). )Calcule o domínio das funções: a) ( f ) g) f ( ) 9 b) f ( ) h) f ( ) c) f ( ) i) f( ) d) y 5 j) y e) y 5 k) y f) - y l) y - )(PUC/Campinas-SP) Em certa cidade, os taímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia inicial de UT (Unidade Taimétrica) e mais 0, UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taímetro registrava 8, UT, qual foi o total de quilômetros percorridos? 7

18 ) Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções. Respostas ) a){0,,,,}; b){,,}; c){}; d){}; e){-,}; f){, } ) Sim. A B {,} ) a) (-,); b) (,5]; c)[-5,) ) {a,b,c,e} 5) 6) a) 0; b) -6; c) -0; d) -5/ 7) a){,}; b){-,6}, c){0,5} 8) a e b 9) k - ou k 0) a) -7/, -5/; b) - 7/; c) {, 7/} ) a) { / e e } ou IR {-,, }; b) [½ ; +); c) (; +); d) ; e) ; f) ; g) [; +); h) ; i ) ; j ) { / / } ou IR {¾} ; k) ; l ) { / e } ou IR {, } ) ; Dom f [,) Dom f (,) ) a) b) Im f [,) Im f (,) Dom f [0,5] c) Im f [0,] Dom f [,] {} e) Im f (,] Dom f (,) d) Im f [,] Dom f (,) {} f) Im f (,) 8