Fundamentos de Matemática

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1 Fundamentos de Matemática Aula 1 Antonio Nascimento

2 Plano de Ensino Conteúdos Teoria dos Conjuntos; Noções de Potenciação, Radiciação; Intervalos Numéricos; Fatoração, Equações e Inequações; Razão, Proporção, Porcentagem; Funções (1º. e 2º. grau) Função Exponencial Função Logarítmica

3 Teoria dos Conjuntos Conceito Primitivo A ideia de conjunto é a mesma de coleção; Coleção de elementos. Exemplo: Um time de futebol é um conjunto; onde cada jogador do time é um elemento desse conjunto.

4 Teoria dos Conjuntos Representação de um Conjunto Representação Tabular; Através de Propriedade Caraterística; Representação Gráfica (Diagrama de Venn).

5 Teoria dos Conjuntos Representação Tabular Podemos representar um conjunto sob forma de tabela, escrevendo seus elementos entre chaves { } e separados por vírgula. É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D,... A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}

6 Teoria dos Conjuntos Propriedade Característica 1/2 Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = { x x tem a propriedade p }. "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p".

7 Teoria dos Conjuntos Propriedade Característica 2/2 Exemplos: A = {x x é país da Europa} - o conjunto A é formado por todos os países da Europa. B = {x x é cor da bandeira Brasileira} - o conjunto B é formado por verde, amarelo, azul e branco.

8 Teoria dos Conjuntos Representação Gráfica (Diagrama de Venn) Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça.

9 Teoria dos Conjuntos Relação de pertinência Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, i}. Note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. u A (lê-se "u pertence a A ) u B (lê-se "u não pertence a B")

10 Teoria dos Conjuntos Relação de continência Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, i}. Note que A contém todos os elementos do conjunto B, mas B não contém os elementos de A. A B (o conjunto A contém o conjunto B) B A (o conjunto B está contido em A) A B (o conjunto A não está contido em B) B A (o conjunto B não contém A)

11 Tipos de Conjuntos Conjunto unitário Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto infinito Conjuntos iguais Conjunto universo Conjuntos disjuntos Tipos de Conjuntos

12 Tipos de Conjuntos Conjunto Unitário Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. Exemplos: C = { 5 } B = { x x N x<1 } = { 0 }

13 Tipos de Conjuntos Conjunto Vazio Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por Ø ou { }. Exemplo: D = {x x é um número ímpar múltiplo de 4} = Ø

14 Tipos de Conjuntos Conjunto Finito Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao "fim" da contagem de seus elementos. Exemplos: B = {1, 2, 3, 4} H = {x x é estado brasileiro}

15 Tipos de Conjuntos Conjunto Infinito Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao "fim" da contagem. Exemplos: N = { 0, 1, 2, 3, 4,... } A = { x N x é par } = { 2, 4, 6,... }

16 Tipos de Conjuntos Conjuntos Iguais Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Exemplo: A = {a, r, t, e} e B = {r, e, t, a}, temos A = B Pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos.

17 Tipos de Conjuntos Conjunto Universo É um conjunto ao qual pertencem todos os elementos de um estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. Exemplo: Quais são os números menores que 5? Se o conjunto universo for N = {0, 1, 2, 3, 4} Se o conjunto universo for Z = {..., -1, 0, 1, 2, 3, 4}

18 Tipos de Conjuntos Conjuntos Disjuntos São conjuntos que não possuem nenhum elemento em comum. Exemplo: Sendo os conjuntos A = {x x é par} e B = {x x é ímpar} A e B são conjuntos disjuntos.

19 Subconjuntos Subconjuntos Sendo A e B, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. A B (lê-se "A está contido em B") B A (lê-se "B contém A ) Exemplos: {2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9} {6, 9, 8, 5} {9, 6}

20 Subconjuntos Conjunto das Partes Sendo A = {a, b}. Vamos determinar os subconjuntos de A: P(A) = { Ø, {a}, {b}, {a, b} } Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Notação: P(A) (lê-se P de A)

21 Subconjuntos Número de elementos de P(A) De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, os números de elementos (subconjuntos) de P(A) = 2 n. Exemplos: A = {a, b} P(A) = 2 2 = 4 subconjuntos. B = {a, b, c} P(B) = 2 3 = 8 subconjuntos.

22 Operações com Conjuntos União Interseção Diferença Complementar Operações com Conjuntos

23 Operações com Conjuntos União de conjuntos ( ) A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. A B A B = { x x A ou x B }

24 Operações com Conjuntos Exemplos de União ( ) Dados os conjuntos A={ 2,3,5,6,8 } e B={ 3,5,8,9 } AUB = { 2, 3, 5, 6, 8, 9 } Dados os conjuntos A={ 3,5 } e B={ 2,3,4,5,6 } AUB = { 2, 3, 4, 5, 6 } = B

25 Operações com Conjuntos Interseção de conjuntos ( ) A interseção de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos de A que também são elementos de B. A B A B = { x x A e x B }

26 Operações com Conjuntos Exemplos de Interseção ( ) Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9} A B = {3, 5, 8} Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6} A B = {3,5} = A

27 Operações com Conjuntos Diferença de conjuntos ( ) A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, é um conjunto que contém os elementos de A que não pertencem a B. A B A B = { x x A e x B }

28 Operações com Conjuntos Exemplo de Diferença ( ) Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9} A B = {2, 6} B A = {9} Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6} A B = { } = Ø B A = {2, 4, 6}

29 Operações com Conjuntos Complementar de um conjunto O conjunto complementar de A (denotado por C A ) é o conjunto que contém todos os elementos do conjunto universo U que não pertencem a A. C A = U A = { x x U e x A } A U

30 Operações com Conjuntos Exemplo de Complementar Dados os conjuntos A={3, 5} e B={2,3,4,5,6}. Existe o complementar C " #, pois A B. C B A = B A = {2, 4, 6}.

31 Conjuntos Numéricos Números Naturais Números Inteiros Números Racionais Números Irracionais Números Reais Conjuntos Numéricos

32 Conjuntos Numéricos Números Naturais (N) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} Operações em N: Adição Multiplicação N

33 Conjuntos Numéricos Números Inteiros (Z) Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Z* = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} Operações em Z: Adição Multiplicação Divisão (* 1/3) N Z

34 Conjuntos Numéricos Números Racionais (Q) São todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração: Q = { a b, onde a Z e b Z* } N Z Q

35 Conjuntos Numéricos Números Irracionais (I) Conjunto de números que não podem ser expressos na forma de uma fração de dois inteiros. Decimais infinitos não-periódicos. p = 3, Raiz quadrada de números primos: 2 = 1,4142 N Z Q I

36 Conjuntos Numéricos Números Reais (R) Conjunto numérico que é a união do conjunto dos racionais (Q) com os irracionais (I) R = Q U I Operações em R: Adição e Subtração Multiplicação e Divisão N Z Q R I

37 Intervalos Numéricos Números Reais (R) Pode-se representar o conjunto dos números reais associando cada número x R a um ponto de uma reta r. N Z Q R I

38 Representação de Intervalos Intervalos Fechados Intervalo fechado pelos números reais a e b: [ a, b ] { x R a x b } Estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais que a e menores ou iguais que b.

39 Representação de Intervalos Intervalos Abertos Intervalo aberto pelos números reais a e b: ] a, b [ { x R a < x < b } Estão definidos todos os números reais que são maiores que a e menores que b.

40 Representação de Intervalos Intervalo Misto Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à direita) definido pelos números reais a e b: ] a, b ] { x R a < x b } Estão definidos todos os números reais que são maiores que a e menores ou iguais a b.

41 Representação de Intervalos Intervalo Misto Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à esquerda) definido pelos números reais a e b: [ a, b [ { x R a x < b } Estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a e menores que b.

42 Representação de Intervalos Intervalo envolvendo o infinito Intervalo fechado à esquerda, definido pelos número real a: [ a, [ { x R x a } Estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a.

43 Representação de Intervalos Intervalo envolvendo o infinito Intervalo fechado à direita, definido pelo número real b: ], a ] { x R x b } Estão definidos todos os números reais que são menores ou iguais a b.

44 Exemplos de Intervalos Numéricos Considere os conjuntos de números reais A={x R 0<x<2} e B={x R 3<x<1}. Usando a reta dos R, determine os conjuntos: AUB e A B. AUB = ] -3, 2 [ A B = ] 0, 1 [

45 Exemplos de Intervalos Numéricos Represente os seguintes subconjuntos de R na reta numérica: a) A = {x R x> 3/2} b) B = {x R 2<x<5}

46 Exemplo de aplicação Exemplo de problema envolvendo conjuntos 1) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de 3 embalagens A, B e C para o lançamento de um novo produto. O resultado está abaixo: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C;

47 Exemplo de aplicação 30 indicaram as embalagens A e B; 40 indicaram as embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C;? 10 indicaram as 3 embalagens. Pergunta-se: a) Dos funcionários entrevistados, quantos não tinham preferência por nenhuma das 3 embalagens? b) Quantos não indicaram somente a embalagem C?

48 Exemplo de aplicação A = 160 A B = 30 B = 120 A C = 40 A B U C = 90 B C = A B C = 10 C

49 Exemplo de aplicação 2) Dados os conjuntos A={1,2}, B={2,3}, C={1,3,4} e D={1,2,3,4}. Classifique as sentenças abaixo em V ou F: [ [ [ [ [ ] A Ì D ] A Ì B ] B Ì C ] D É B ] C = D

50 Exemplo de aplicação 3) Sendo o conjunto A={ a, b, c }. Determine P(A):

51 Exemplo de aplicação 4) Pinte no diagrama abaixo o resultado da seguinte sentença: C U A B A B U

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