Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)

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1 R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a > 0 e b > 0 então ab > 0 (o produto de dois números positivos é positivo) iv) se a < b e b < c então a < c (é válida a propriedade transitiva) v) se a < b então a + c < b + c (a desigualdade não se altera se somamos um número) vi) se a < b e c > 0 então ac < bc (a desigualdade não se altera se multiplicamos um número positivo) vii) se a < b e c < 0 então ac > bc (a desigualdade se altera se multiplicamos um número negativo) viii) se a < b e c < d então a + c < b + d (podemos somar os membros de duas desigualdades) Intervalos: subconjuntos dos R (a, b) = {x R/ a < x < b } (números reais entre a e b, a e b não pertencem ao conjunto ) [a, b] = {x R/ a x b } (números reais entre a e b, a e b pertencem ao conjunto ) (a, b] = {x R/ a < x b } (números reais entre a e b, a não pertence ao conjunto ) [a, b) = {x R/ a x < b } (números reais entre a e b, b não pertence ao conjunto ) Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão) Duas expressões lineares sem denominador: Expressões lineares no produto ou quociente: ax + b < cx + d (ax + b)(cx + d)> 0 ou < 0 (ou, ) Agrupamos os termos semelhantes, usando as Separamos cada fator para analisar o sinal, propriedades citadas acima e encontramos o representando a reta que ele representa: crescente ou intervalo solução. decrescente. Exemplo: 2 Exemplo: (multiplicamos por 2, um número positivo, logo não inverte a desigualdade) 5x >-12 (multiplicamos por -1,um número negativo logo inverteu a desigualdade) x >-12/5 (estes são os valores de x que satisfazem a inequação, ou seja é o intervalo solução que procurávamos) Se a expressão é de 2º grau: ou Fazer o esboço da parábola que ela representa: calcular as raízes por Báskara e desenhar uma parábola com concavidade para cima ( se a > 0) ou para baixo (se a < 0). Nesse desenho, analisar o sinal, onde ela é positiva (acima do eixo x) e onde é negativa (em que intervalo fica abaixo do eixo x). Primeiramente reescrever a inequação, para que no lado direito sempre fique zero, ou seja, sempre iremos analisar onde a expressão se torna positiva ou negativa (deixar os denominadores iguais) ( ) ( ) 0 0 Separamos os dois termos para analisar: 1º) y =-5x + 10: reta decrescente; Calculamos onde intercepta o eixo x usando y=0-5x + 10 = 0 x = 2 2º) y = 2x - 3: reta crescente; Intercepta o eixo x em 2x - 3 = 0 x =3/ 2 3º) Reunir os resulta dos das duas retas e analisar o sinal, escrevendo o intervalo solução. 1

2 Valor Absoluto i) x = x, se x>0 ou x = - x, se x < 0. ii) x = (muito útil para substituir o módulo) iii) x < a -a < x < a, se a > 0 (se temos inequa ções que envolvem módulo, usamos esta propriedade para tirar o módulo e resolver a inequação) Exemplo: 3x x - 3 iv) x > a x > a ou x < -a (observe que aqui, o valor de x não fica entre a e a. Cuide isso ao resolver as inequações!!) Exemplo: 3x - > 3 3x - > 3 ou 3x - <-3 Ponto médio Sejam os pontos A( ) e B( ), as coordenadas do ponto médio entre A e B são calculadas por: e Equação Linear: o gráfico é uma reta Forma geral : Forma ponto-inclinação: ( ) m é a inclinação: se m>0 a reta é crescente se m<o a reta é decrescente ( ) é um ponto da reta. Forma reduzida: m é a inclinação. b é o intercepto no eixo y. Circunferência Todos os pontos numa circunferência estão a uma mesma distância R do centro C(h, k): ( ) ( ) ou seja, ( ) ( ) Distância entre dois pontos no plano Sejam os pontos A( ) e B( ), a distância entre A e B é calculada por: ( ) ( ) Essa definição decorre do Teo. de Pitágoras Inclinação de uma reta Dados os pontos A( ) e B( ), a inclinação da reta que passa por eles é calculada por m = Retas especiais Reta horizontal: Reta vertical: Reta passando na origem: Retas paralelas e perpendiculares Duas retas são paralelas se possuem a mesma inclinação, ou seja, Duas retas são perpendiculares se suas inclinações possuem sinal oposto e são recíprocas uma da outra, ou seja, Circunferência centrada na origem Nesse caso a equação fica mais simples, pois ficando na forma:. Uma forma equivalente e muito usada é: Completamento de quadrado Expressões do tipo ( ) ou ( ) podem ser completadas para que se tornem o produto notável ( ) ou ( ), para isso devemos descobrir o valor que está faltando. Para isso, geralmente é suficiente analisar o termo 2ab do produto notável. Exemplo: Como no produto notável temos 2ab, este deve ser o valor do segundo termo e já sabendo que a=x, observamos que 2ab=2xb=6 b =3 Então o número com que devemos completar é o 9: ( ) 2

3 Parábolas com eixo vertical (eixo paralelo ao y) Parábolas com eixo horizontal (eixo paralelo ao x) Se a > 0: concavidade para cima Se a < 0: concavidade para baixo Se a > 0: concavidade para direita Se a < 0: concavidade para esquerda Hipérbole Nesta figura, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y: para x e x, o valor de y é o mesmo Y = O gráfico é simétrico em relação à origem, pois se temos o ponto (a, b) o outro será (- a, - b). À medida que x cresce, y diminui, se aproximando de zero. Se x está próximo de zero, os valores de y crescem muito positivamente ou decrescem muito. Não existe um valor para y quando x=0. Cálculo com Funções Se ( ) é uma função representada por uma fórmula (expressão matemática envolvendo a variável ): i) calcular ( ), significa substituir, na fórmula de o pelo número. ii) calcular ( ), significa igualar toda a expressão de ao número e encontrar os valores de que satisfazem a equação. Cálculo da variação de uma função Tomando dois pontos da função ( ), podemos calcular o quociente que é a razão entre a variação ocorrida no eixo y, pela variação ocorrida no eixo x (inclinação da reta) Nesta figura, o gráfico é simétrico em relação ao eixo x: para y e y, o valor de x é o mesmo Função Uma função pode ser considerada como uma correspondência de um conjunto X de números reais x a um conjunto Y de números reais y, onde o número y é único para um valor específico de x. Domínio da função: todos os valores admissíveis de x Imagem da função: todos os valores resultantes de y Teste da reta vertical O gráfico de uma função pode ser interceptado por uma reta vertical em um único ponto. Exemplo: a equação de uma circunferência não é uma função, pois uma reta vertical intercepta o seu gráfico em dois pontos. Uma semi-circunferência é uma função. Para realizar o cálculo de f(x + h), fazemos a substituição de x por x + h e calculamos a expressão resultante. Exemplo: se ( ), então ( ) ( ) ( ) Observe que onde havia a variável, substituímos pelo parênteses ( ) Agora subtraímos essas duas expressões e dividimos por (que é a variação no ) ( ) ( ) ( ) ( ) = Cuide sempre o sinal negativo antes da expressão de ( ), pois todos os termos terão o sinal mudado!!! 3

4 Operações com funções a) ( )( ) ( ) ( ) b) ( )( ) ( ) ( ) c) ( )( ) ( ) ( ) d) ( )( ) ( ) ( ), para os valores ( ) e) ( )( ) ( ( )), função composta, onde a variável da função é substituída pela expressão da função ( ) Função polinomial É do tipo ( ). i) Se n=1: função linear, gráfico é uma reta. ii) Se n=2: função quadrática, gráfico é uma parábola iii) Se n=3: função cúbica Função par Uma função é par quando ( ) ( ), ou seja, é simétrica em relação ao eixo : os resultados são iguais, não modificam quando usamos positivo ou negativo. Exemplo: ( ) Função ímpar Uma função é ímpar quando ( ) ( ) ou seja, é simétrica em relação à origem: os resultados só diferem no sinal, quando usamos positivo ou negativo. Exemplo: ( ) Função raiz ( ) Se n é par, o domínio são os números positivos. Se n é ímpar, o domínio são todos os reais. Domínio: todos os reais/ Imagem: analisar Função valor absoluto ou função modular ( ) {. É um exemplo de função definida por partes, pois cada intervalo, tem sua própria expressão e representação gráfica. Função racional É do tipo ( ) ( ) ( ). Nas funções que envolvem quocientes, no domínio precisamos excluir os valores de que zeram o denominador: ( ). Esses valores de são assíntotas verticais da função (retas verticais que a função não intercepta, apenas se aproxima delas). Função maior inteiro O símbolo é usado para denotar o maior inteiro, menor ou igual a, onde n é um inteiro. Função raiz de índice par, composta Se temos uma função do tipo ( ) ( ), onde n é um índice par e ( ) é uma expressão, então devemos analisar o domínio da função: os números para os quais a expressão é positiva ou zero ( ) (Geralmente recaímos no estudo do sinal, realizados anteriormente nas inequações) 4

5 Ângulos e orientações Ângulo positivo: medido a partir do eixo no sentido anti-horário. Ângulo negativo: medido a partir do eixo no sentido horário. 180 Razões trigonométricas No triângulo retângulo, define-se as seguintes razões trigonométricas = Razões trigonométricas de alguns ângulos 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 2π seno 0 1/2 / cosseno 1 /2 /2 1/ Relação entre inclinação da reta e tangente Se α for o ângulo de inclinação da reta L, não-paralela ao eixo, então a inclinação de L é dada por Definição da função seno e cosseno no círculo trigonométrico Considerando a circunferência unitária, para um ângulo central t o valor do sen t e cos t são as coordenadas do ponto (x, y) sobre essa circunferência. Assim temos Relações trigonométricas e propriedades a) b) c) d) ( ) ( ), é uma função par e) ( ) ( ), é uma função ímpar f) ( ) ( ), é uma função ímpar g) se ( ) ou ( ) o período da função será. h) se ( ) o período da função será i) ( ) j) ( ) 5

6 Gráficos e propriedades da função seno Gráficos e propriedades da função cosseno É uma função par. Gráficos e propriedades da função tangente ( ) Gráficos e propriedades da função cotangente Gráficos e propriedades da função secante ( ) Gráficos e propriedades da função cossecante É uma função par. 6

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