CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos."

Transcrição

1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 02: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Listar as principais funções e seus grácos. 1 Funções Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa a cada elemento x A um único elemento y B. O conjunto A é chamado domínio da função f, às vezes denotado também por D f, e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar uma função pela seguinte notação: f : A B Para armarmos que a um determinado x A está associado certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f(x) e dizemos que este y é a imagem de x por f. Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f Im f = {y B y = f(x), x A}. Isto é, o conjunto imagem de f é o conjunto de todas as imagens de pontos do domínio por f. Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de echas, como ilustrado a seguir Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de echas Observe que a cada elemento do domínio está associado um (e apenas um) elemento do contradomínio. Por exemplo, seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e considere que f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 4 f(4) = 5 f(5) = 6 1

2 Note que Im f = {2, 3, 4, 5, 6}. A representação dessa função pelo diagrama de echas é feita da seguinte forma: Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de echas Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte tabela: Dia Valor da Compra 02 2, , , , , , , , , , 2460 Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto D = {02, 03, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 13} em R, uma vez que para cada dia t D, existe um único valor correspondente de V (t) = valor do dólar no dia t. Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela. Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores, não são ecientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráca de uma função é a melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E, para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a denição de gráco de uma função. Denição 1. Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f(x)) A B x A} O gráco de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função pois, uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) pertencente ao gráco, é da forma y = f(x), podemos ler o valor f(x) como sendo a "altura"do ponto no gráco acima de x. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 2

3 Figura 3: Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no gráco de f. Observe que cada ponto do gráco equivale a uma echa associando a um elemento do domínio um elemento do contradomínio como na gura abaixo: Figura 4: Gráco e Diagrama de Flechas Note que a representação do gráco da função como este equivale a representar "innitas echas"de forma sintética. Essa talvez seja a característica mais genial da representação gráca de uma função. O gráco também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y. Figura 5: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráco. Assim como no diagrama de echas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano xy é o gráco de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo: Uma curva no plano xy é o gráco de uma função de x se, e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 3

4 Como exemplo, temos que o gráco abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto. Figura 6: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que é gráco de uma função A seguinte curva não é gráco de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um ponto da curva. Figura 7: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que não é gráco de uma função. 1.1 Restrições no domínio Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo, Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) = 1 x 2. Determine o seu domínio. 1 Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja denida. Para isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não pode ser 0, pois não existe divisão por 0. Logo, os pontos onde a função não está denida são os valores que zeram a função x 2 1. Dessa forma, fazemos x x 2 1 x 1 e x 1 Logo, o domínio de f é o conjunto A = {x R x 1 e x 1} Exemplo 2. Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 4

5 Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de g devem ser os números reais tais que x 2 2x 0. Logo, x 2 2x 0 x(x 2) 0 Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que Figura 8: Estudo do Sinal de x(x 2). Logo, o domínio de g é o conjunto A = {x R x 0 ou x 2} = (, 0] [2, + ) Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) = 2x 4 x 3 8. Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou que tornam a função x 3 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos x 3 8 > 0 x 3 > 8 x > 3 8 x > 2 Assim, o domínio de h é o conjunto D h = {x R x > 2}. 2 Funções Elementares Existem vários tipos de funções que podem modelar problemas e situações do cotidiano. Apresentaremos, a seguir, algumas funções elementares e que serão muito utilizadas ao longo deste curso. 2.1 Funções Polinomiais Denição 2 (Função Polinomial). Uma função f cuja regra é dada por: f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 onde n é um número inteiro não negativo e a n, a n 1, a n 2,..., a 2, a 1, a 0 são números reais (ou constantes) chamados de coecientes do polinômio, é chamada polinomial. O número inteiro n é chamado grau do polinômio. Dependendo do grau do polinômio, temos algumas classes de funções polinomiais que são muito conhecidas e que já foram amplamente discutidas no ensino médio. A seguir, mostraremos algumas dessas funções e seus respectivos grácos. Exemplo 4 (Função Polinomial do 1 o Grau ou Função Am). A função polinomial do 1 o grau (ou simplesmente função do 1 o grau) é toda função que associa a cada número real x o valor numérico do polinômio ax + b, com a 0. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeciente angular e coeciente linear. Simbolicamente: f : R R x ax + b Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 5

6 Cálculo I Aula n o 02 O grá co da funçãof (x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. A depender do valor de a, a função f pode ser dita crescente (para a > 0) ou decrescente (para a < 0). Observe, a seguir, o grá co da função do 1o grau. Figura 9: Grá cos da Função A m. À esquerda, temos o grá co de uma função crescente e à direita, o grá co de uma função decrescente. Exemplo 5 (Função Polinomial do 2 Grau ou Função Quadrática). A função polinomial do 2o grau (ou o simplesmente função do 2o grau) é de nida por: f: R R x 7 ax2 + bx + c, com a 6= 0. O grá co desta função é uma parábola, com eixo de simetria paralelo ao eixo y. Se o coe ciente de x2 for positivo (a > 0), a parábola tem concavidade voltada para cima, enquanto que, se o coe ciente de x2 for negativo (a < 0), a parábola tem concavidade voltada para baixo. Observe, a seguir o grá co da função do 2o grau: Figura 10: Grá cos da Função Quadrática. À esqueda, temos o grá co de uma função quadrática com a > 0 e à direita, o grá co de uma função quadrática com a < 0. Na função quadrática, a interseção do grá co com o eixo de simetria é um ponto chamado vértice. Este ponto pode ser considerado máximo (quando a parábola tem concavidade voltada para baixo) ou mínimo (quando a parábola tem concavidade voltada para cima). Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 6

7 Exemplo 6 (Função Polinomial do 3 o Grau ou Função Cúbica). A função polinomial do 3 o grau (ou simplesmente função do 3 o grau) é denida por: com a 0. f : R R x ax 3 + bx 2 + cx + d, O gráco de uma função cúbica será apresentado a seguir. Figura 11: Gráco de uma função polinomial do 3 o grau. 2.2 Funções Racionais Denição 3 (Função Racional). Uma função racional f é a razão de dois polinômios: f(x) = P (x) Q(x), em que P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) 0. Exemplo 7. A função f(x) = x 1 x + 1 é uma função racional, cujo domínio R { 1}. Observe o gráco: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 7

8 Figura 12: Gráco da Função f(x) = x 1 x + 1 Exemplo 8. A função f(x) = (x2 + 3x 4)(x 2 9) (x 2 + x 12)((x + 3) o gráco: é racional e seu domínio é R { 4, 3, 3}. Observe Figura 13: Gráco da Função f(x) = (x2 + 3x 4)(x 2 9) (x 2 + x 12)((x + 3) 2.3 Função Potência Denição 4 (Função Potência). Uma função da forma: f(x) = x α, onde α é uma constante, é chamada função potência. Observe que, se α = 1, 2, 3,... a função potência é uma função polinomial. Se α = 1/n, com n positivo, dizemos que a função é do tipo raiz e se n é negativo note que a função é do tipo racional. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 8

9 Cálculo I Aula n o 02 Exemplo 9. A função f (x) = x é uma função raiz, onde α = 1/2. Observe o grá co: Figura 14: Grá co da Função f (x) = x Observe que essa função só está de nida para x 0. Exemplo 10. A função f (x) = hipérbole. 1 é uma função potência. Seu grá co é um tipo de curva denominada x Figura 15: Grá co da Função f (x) = 1 x Observação 1. Uma função f é dita algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (soma, multiplicação, divisão e extração de raízes) envolvendo a função identidade e funções constantes. As funções não algébricas são chamadas de transcendentes. Como exemplo de funções transcendentes, podemos citar as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, que serão apresentadas a seguir. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 9

10 Cálculo I Aula n o Funções De nidas por Partes As funções de nidas por expressões algébricas distintas em diferentes partes de seus domínios são chamadas funções de nidas por partes. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 11. Seja a função de nida por: f (x) = x2, se, x 1 1 x, se, x < 1 O domínio desta função é R e como imagem, o intervalo [0, + ). Gra camente: Figura 16: Grá co de f (x). O próximo importante exemplo pode ser visto como uma função de nida por partes: é a função modular. Exemplo 12 (Função Modular). Seja: f (x) = x = x, se, x 0 x, se, x < 0 O grá co da função modular é: Figura 17: Grá co de f (x) = x. Observe que o domínio da função modular é o conjunto R e a imagem desta função é o conjunto R+. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 10

11 Exemplo 13 (Função Heaviside). A Função Heaviside, muito utilizada na eletricidade para representar chaves que ligam e desligam, é denida por: H(t) = { 0, se, t < 0 1, se, t 0 Note que o domínio desta função é R e a imagem é o conjunto {0, 1}, formado apenas de dois elementos. Representamos gracamente esta função a seguir. Figura 18: Gráco de H(t). Exemplo 14 (Função Maior Inteiro ou Função Escada). A função maior inteiro denotada entre colchetes e denida por: f(x) = [x], x R representa o maior inteiro que é menor que ou igual a x. Atribuindo alguns valores para x, ela tem como imagem números inteiros. Por exemplo: [0, 8] = 0, [1, 5] = 1, [ 1, 75] = 2, [ 0, 4] = 1, [π] = 3, etc. Gracamente, temos: Figura 19: Gráco da Função Maior Inteiro. Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 11

12 Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 1.1, 1.2 e 1.6 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das seções 1.1 e 1.2 do livro texto. Dica importante Utilize algum software matemático, como por exemplo o Geogebra, para plotar grácos de funções e vericar os conceitos geométricos apresentados nessa aula, como o teste da reta vertical. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 12

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares,

Leia mais

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Operações com funções. Funções Polinominais, Racionais e Trigonométricas Objetivos da Aula Denir operações com funções; Apresentar algumas

Leia mais

CÁLCULO I Aula 01: Funções.

CÁLCULO I Aula 01: Funções. Inversa CÁLCULO I Aula 01: Funções. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará Inversa 1 Funções e seus 2 Inversa 3 Funções Funções e seus Inversa Consideremos A e B dois

Leia mais

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos.

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos. CÁLCULO I Prf. Marcs Diniz Prf. André Almeida Prf. Edilsn Neri Júnir Prf. Emersn Veiga Prf. Tiag Celh Aula n 02: Funções. Objetivs da Aula Denir funçã e cnhecer s seus elements; Recnhecer grác de uma funçã;

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão;

Leia mais

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula no 04: Funções Trigonométricas, Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos

Leia mais

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula no 05: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula De nir as funções trigonométricas, trigonométricas

Leia mais

Capítulo 1. Funções e grácos

Capítulo 1. Funções e grácos Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 17: Crescimento e Decrescimento de funções. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Exponenciais e Logarítmicas

CÁLCULO I. 1 Funções Exponenciais e Logarítmicas CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 05: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula Denir as funções logarítmica, exponencial e hiperbólicas;

Leia mais

CÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que

CÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 03: Funções Inversas e Compostas.Transformações no Gráco de uma Função. Objetivos da Aula Denir função bijetora e função

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e decrescentes; Determinar os intervalos

Leia mais

Conjuntos Numéricos. I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... }

Conjuntos Numéricos. I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } Conjuntos Numéricos I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } II) Números Inteiros Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z III) Números Racionais

Leia mais

CÁLCULO I. Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; Apresentar a derivada das funções elementares. f f(x + h) f(x) c c

CÁLCULO I. Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; Apresentar a derivada das funções elementares. f f(x + h) f(x) c c CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 11: Derivada de uma função. Continuidade e Derivabilidade. Derivada das Funções Elementares. Objetivos da Aula Denir

Leia mais

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral

Leia mais

CÁLCULO I. Calcular o limite de uma função composta;

CÁLCULO I. Calcular o limite de uma função composta; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 06: Limites Laterais. Limite da Função Composta. Objetivos da Aula Denir ites laterais de uma função em um ponto de seu

Leia mais

CÁLCULO FUNÇÕES DE UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab.

CÁLCULO FUNÇÕES DE UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab. Introdução Função é uma forma de estabelecer uma ligação entre dois conjuntos, sujeita a algumas condições. Antes, porém, será exposta uma forma de correspondência mais geral, chamada relação. Sejam dois

Leia mais

Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R.

Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R. Capítulo 2 Funções e grácos 2.1 Funções númericas Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R. Denição

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares

CÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Aula n o : Derivada das Funções Elementares. Regras de Derivação. Objetivos da Aula Apresentar a derivada das funções elementares; Apresentar

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 06: Continuidade de Funções Objetivos da Aula Definir função contínua; Reconhecer uma função contínua através do seu gráfico; Utilizar as

Leia mais

CÁLCULO I. Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto. y = f(x 2 ) f(x 1 ). y x = f(x 2) f(x 1 )

CÁLCULO I. Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto. y = f(x 2 ) f(x 1 ). y x = f(x 2) f(x 1 ) CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 0: Taxa de Variação. Derivadas. Reta Tangente. Objetivos da Aula Denir taxa de variação média e a derivada como a taxa

Leia mais

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 SUMÁRIO Apresentação -------------------------------------------------------2 Capítulo 3 ------------------------------------------------------

Leia mais

FUNÇÕES Parte 2 Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro. Autoria: Prof. Denise Candal

FUNÇÕES Parte 2 Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro. Autoria: Prof. Denise Candal FUNÇÕES Parte 2 Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro Autoria: Prof. Denise Candal Função Quadrática ou do 2 o grau Definição: Toda função do tipo y = ax 2 + bx + c, com {a, b, c} R e a

Leia mais

MATEMÁTICA. Conceito de Funções. Professor : Dêner Rocha

MATEMÁTICA. Conceito de Funções. Professor : Dêner Rocha MATEMÁTICA Conceito de Funções Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Noção de Função 1º) Dados A = {-, -1, 0, 1, } e B = {-8, -6, -4, -3, 0, 3, 6, 7} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula

Leia mais

Ana Carolina Boero. Página: Sala Bloco A - Campus Santo André

Ana Carolina Boero.   Página:  Sala Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores reais E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores

Leia mais

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 1. Funções : Definição Considere dois sub-conjuntos A e B do conjunto dos números reais. Uma função f: A B é uma regra que define uma relação entre os elementos de A e B, de tal forma que a cada elemento

Leia mais

MÉTODOS MATEMÁTICOS. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta

MÉTODOS MATEMÁTICOS. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta MÉTODOS MATEMÁTICOS Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta 1 Métodos Matemáticos Aulas: De 03/11 a 08/11-8:30 as 11:00h Ementa: 1. Funções 2. Eq. Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem 3. Sistemas de Equações

Leia mais

CÁLCULO I Aula 17: Grácos.

CÁLCULO I Aula 17: Grácos. CÁLCULO I Aula 17: Grácos. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 Grácos (1) Domínio - vericar sempre em que pontos a função está denida ou não está denida; (1) Domínio

Leia mais

grau) é de nida por:

grau) é de nida por: CÁLCULO I Prf. Edilsn Neri Júnir Prf. André Almeida : Funções Elementares e Transfrmações n Grác de uma Funçã. Objetivs da Aula Denir perações cm funções; Apresentar algumas funções essenciais; Recnhecer,

Leia mais

E. S. JERÓNIMO EMILIANO DE ANDRADE DE ANGRA DO HEROISMO. Conteúdo Programáticos / Matemática e a Realidade. Curso de Nível III Técnico de Laboratório

E. S. JERÓNIMO EMILIANO DE ANDRADE DE ANGRA DO HEROISMO. Conteúdo Programáticos / Matemática e a Realidade. Curso de Nível III Técnico de Laboratório E. S. JERÓNIMO EMILIANO DE ANDRADE DE ANGRA DO HEROISMO Curso de Nível III Técnico de Laboratório Técnico Administrativo PROFIJ Conteúdo Programáticos / Matemática e a Realidade 2º Ano Ano Lectivo de 2008/2009

Leia mais

Plano Cartesiano. Relação Binária

Plano Cartesiano. Relação Binária Plano Cartesiano O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é

Leia mais

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão) R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a

Leia mais

CÁLCULO I Aula 15: Concavidade. Teste da Segunda Derivada.

CÁLCULO I Aula 15: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. CÁLCULO I Aula 15: Concavidade.. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 Concavidade 2 Considere um intervalo I e uma função f : I R derivável cujo gráco é dado abaixo.

Leia mais

RESUMO - GRÁFICOS. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação da reta

RESUMO - GRÁFICOS. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação da reta RESUMO - GRÁFICOS Função do Primeiro Grau - f(x) = ax + b O gráfico de uma função do 1 o grau, y = ax + b, é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação

Leia mais

Modelos Matemáticos: Uma Lista de Funções Essenciais

Modelos Matemáticos: Uma Lista de Funções Essenciais Modelos Matemáticos: Uma Lista de Funções Essenciais Campus Francisco Beltrão Disciplina: Professor: Jonas Joacir Radtke Um modelo matemático é a descrição matemática de um fenômeno do mundo real, como

Leia mais

A = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.

A = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A. Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 1. Função Afim Uma função f: R R definida por uma expressão do tipo f x = a. x + b com a e b números reais constantes é denominada função afim ou função polinomial do primeiro grau. A função afim está

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 12: Extremos relativos e absolutos. Método do Intervalo Fechado Objetivos da Aula Definir e determinar Extremos Absolutos e Relativos de

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função;

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 04: Limites e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades operatórias do

Leia mais

AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES

AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Conjuntos numéricos A reta real Intervalos Numéricos Valor absoluto de um número

Leia mais

9º Ano do Ensino Fundamental II:

9º Ano do Ensino Fundamental II: Conteúdos para III Simulado SDP/Outubro/2010 MATEMÁTICA 9º Ano do Ensino Fundamental II: CAPÍTULO I - NOÇÕES ELEMENTARES DE ESTATÍSTICA 1. Organizando os dados 2. Estudando gráficos 3. Estudando médias

Leia mais

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo Gênesis Soares Jaboatão, de de 2016. Estudante: PAR ORDENADO: Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, em substituição às chaves,

Leia mais

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE: Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO

Leia mais

Funções Reais a uma Variável Real

Funções Reais a uma Variável Real Funções Reais a uma Variável Real 1 Introdução As funções são utilizadas para descrever o mundo real em termos matemáticos, é o que se chama de modelagem matemática para as diversas situações. Podem, por

Leia mais

Curvas Planas em Coordenadas Polares

Curvas Planas em Coordenadas Polares Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................

Leia mais

ALUNO(A): Prof.: Andre Luiz 04/06/2012

ALUNO(A): Prof.: Andre Luiz  04/06/2012 1. FUNÇÃO 1.1 Definição A função dada por ( ), com a, b, c reais e a 0. Vejamos alguns exemplos: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) Vamos a outro exemplo: Ex2.: Um objeto que se desloca

Leia mais

Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares

Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares 1 Parábolas 11 Conceito e Elementos Definição 1 Sejam l uma reta e F um ponto não pertencente a l Chamamos parábola de diretriz l e foco F o conjunto dos

Leia mais

Capítulo 2- Funções. Dado dois conjuntos não vazios e e uma lei que associa a cada elemento de um único elemento de, dizemos que é uma função de em.

Capítulo 2- Funções. Dado dois conjuntos não vazios e e uma lei que associa a cada elemento de um único elemento de, dizemos que é uma função de em. Conceitos Capítulo 2- Funções O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra,,,... Definição: Dado dois

Leia mais

1. Considere os conjuntos A = {0; 2} e B = {1; 2; 3}. A respeito de produto cartesiano entre dois conjuntos, assinale a alternativa correta:

1. Considere os conjuntos A = {0; 2} e B = {1; 2; 3}. A respeito de produto cartesiano entre dois conjuntos, assinale a alternativa correta: . Considere os conjuntos A = {0; 2} e B = {; 2; 3}. A respeito de produto cartesiano entre dois conjuntos, assinale a alternativa correta: a. AxB = {(0; ); (0; 2); (0; 3); (2; ); (2; 2); (2; 3)} b. BxA

Leia mais

Função de 1º Grau. Como construir um Gráfico. Função constante. Matemática Básica I. RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE:

Função de 1º Grau. Como construir um Gráfico. Função constante. Matemática Básica I. RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: Matemática Básica Como construir um Gráfico Unidade 5. Gráficos de Funções Reais RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: https://ueedgartito.wordpress.com x y = f(x) x y x x 3 y x 4 y 3 y 4 x 5

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas Definir as funções logarítmica, exponencial e hiperbólicas; Enunciar

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º Grau. Alex Oliveira Engenharia Civil

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º Grau. Alex Oliveira Engenharia Civil CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2 Função do 2º Grau Alex Oliveira Engenharia Civil Função do Segundo Grau Chama-se função do segundo grau ou função quadrática a função f: R R que

Leia mais

Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática

Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Valor Absoluto: O valor absoluto de a, representa-se por a e é a distância do número a a

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 09: Regras de Derivação Objetivos da Aula Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação; Derivar funções utilizando diferentes

Leia mais

FUNÇÕES CONSTANTE, DE PRIMEIRO E DE SEGUNDO GRAUS. DEFINIÇÕES:

FUNÇÕES CONSTANTE, DE PRIMEIRO E DE SEGUNDO GRAUS. DEFINIÇÕES: FUNÇÕES CONSTANTE, DE PRIMEIRO E DE SEGUNDO GRAUS. DEFINIÇÕES: FUNÇÃO CONSTANTE: Uma função é chamada constante se puder ser escrita na forma, onde a é um número real fixo. Como exemplos, podemos escrever,,.

Leia mais

SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS

SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS PET FÍSICA SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS Aula 6 TATIANA MIRANDA DE SOUZA VICTOR ABATH DA SILVA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento

Leia mais

Função do 2 o Grau. 11.Sinal da função quadrática 12.Inequação do 2 o grau

Função do 2 o Grau. 11.Sinal da função quadrática 12.Inequação do 2 o grau UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função do o Grau Prof.: Rogério

Leia mais

MATRIZ DE REFERÊNCIA - SPAECE MATEMÁTICA 5 o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL TEMAS E SEUS DESCRITORES

MATRIZ DE REFERÊNCIA - SPAECE MATEMÁTICA 5 o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL TEMAS E SEUS DESCRITORES MATEMÁTICA 5 o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL I INTERAGINDO COM OS NÚMEROS E FUNÇÕES D1 Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal. Utilizar procedimentos de cálculo para obtenção

Leia mais

Aula 13 de Bases Matemáticas

Aula 13 de Bases Matemáticas Aula 3 de Bases Matemáticas Rodrigo Hausen Versão: 8 de julho de 206 Catálogo de Funções Reais No estudo de unções é extremamente útil conhecer as propriedades e gráicos de algumas unções reais. Função

Leia mais

Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016

Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016 Questão 1: (2 pontos) x (a) (0.4 ponto) Calcule o ite: 2 + 3 2. x 1 x 1 ( πx + 5 ) (b) (0.4 ponto) Calcule o ite:

Leia mais

21 e 22. Superfícies Quádricas. Sumário

21 e 22. Superfícies Quádricas. Sumário 21 e 22 Superfícies uádricas Sumário 21.1 Introdução....................... 2 21.2 Elipsoide........................ 3 21.3 Hiperboloide de uma Folha.............. 4 21.4 Hiperboloide de duas folhas..............

Leia mais

Observe na imagem a seguir, a trajetória realizada por uma bola no momento em que um jogador a chutou em direção ao gol.

Observe na imagem a seguir, a trajetória realizada por uma bola no momento em que um jogador a chutou em direção ao gol. FUNÇÃO QUADRÁTICA CONTEÚDOS Função quadrática Raízes da função quadrática Gráfico de função Ponto de máximo e de mínimo de uma função AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe na imagem a seguir, a trajetória

Leia mais

Unidade II MATEMÁTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix

Unidade II MATEMÁTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix Unidade II MATEMÁTICA APLICADA Prof. Luiz Felix Equações do 1º grau Resolver uma equação do 1º grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja,

Leia mais

Esboço de Plano de Aula. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau.

Esboço de Plano de Aula. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau. Esboço de Plano de Aula Bolsista: Rafael de Oliveira. Duração: 120 minutos. Conteúdo: Equações do 1º Grau. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau. Objetivo geral: Permitir

Leia mais

Inequação do Segundo Grau

Inequação do Segundo Grau CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Inequação do Segundo Grau Iva Emanuelly Pereira Lima - Engenharia Civil Na aula de hoje... Introdução e Exemplos de Inequação do Segundo Grau; Solucionando

Leia mais

FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES

FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES 1- PRODUTO CARTESIANO 1.1- Par Ordenado - Ao par de números reais a e b, dispostos em uma certa ordem, denominamos par ordenado e indicamos por: (a,

Leia mais

Preliminares de Cálculo

Preliminares de Cálculo Preliminares de Cálculo Profs. Ulysses Sodré e Olivio Augusto Weber Londrina, 21 de Fevereiro de 2008, arquivo: precalc.tex... Conteúdo 1 Números reais 2 1.1 Algumas propriedades do corpo R dos números

Leia mais

CÁLCULO I Aula 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada.

CÁLCULO I Aula 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada. CÁLCULO I Aula 14:.. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 2 3 Denição Sejam f : A B uma função e x 1, x 2 D f. Denimos que f é uma (i) função crescente se x 1

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Funções e Modelos. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Funções e Modelos. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2 Funções e Modelos Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil Quatro maneiras de representar uma função Verbalmente (Descrevendo-a

Leia mais

Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0

Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0 Capítulo 3 Módulo e Função Módular A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. No entanto, antes de falarmos sobre funções modulares devemos definir o conceito de módulo,

Leia mais

2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução

2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução 7. ano PR 7.1. Dados dois conjuntos A e B fica definida uma função 1ou aplicação2 f de A em B, quando a cada elemento de A se associa um elemento único de B representado por f 1x2. Dada uma função numérica

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I e Aplicações

Cálculo Diferencial e Integral I e Aplicações Cálculo Diferencial e Integral I e Aplicações por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-CCTA 05 Conteúdo Revisão Pré-cálculo 6. Números reais................................... 6. Funções.......................................3

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 2: Aproximações Lineares e Diferenciais Objetivos da Aula Definir e calcular a aproximação linear de uma função derivável; Conhecer e determinar

Leia mais

TÓPICOS DE MATEMÁTICA II. O Curso está dividido em três unidades, temos que concluir todas.

TÓPICOS DE MATEMÁTICA II. O Curso está dividido em três unidades, temos que concluir todas. TÓPICOS DE MATEMÁTICA II Roosevelt Imperiano da Silva Palavras iniciais Caros alunos, vamos iniciar o curso da disciplina Tópicos de Matemática II. Neste curso estudaremos os conjuntos numéricos e suas

Leia mais

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.

Leia mais

(d) Quais das sentenças abaixo são verdadeiras? Explique sua resposta. (a) 3 IR (b) IN IR (c) Z IR. IR Q (i) 3 2

(d) Quais das sentenças abaixo são verdadeiras? Explique sua resposta. (a) 3 IR (b) IN IR (c) Z IR. IR Q (i) 3 2 LISTA - 1 1 Números Reais 1. Expresse cada número como decimal: (a) 7 10 (b) 2 5 (c) 9 15 (d) 7 8 (e) 17 20 (f) 4 11 (g) 8 7 (h) 56 14 2. Expresse cada número decimal como uma fração na forma mais reduzida

Leia mais

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º grau. Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º grau. Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.1 Função do 2º grau Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil Roteiro Função do Segundo Grau; Gráfico da Função Quadrática;

Leia mais

Planificação anual Curso Técnico Vocacional Ofícios e Multimédia 1/1. Ano letivo 2015/2016

Planificação anual Curso Técnico Vocacional Ofícios e Multimédia 1/1. Ano letivo 2015/2016 Planificação anual Curso Técnico Vocacional Ofícios e Multimédia 1/1. Ano letivo 2015/2016 Departamento: Matemática e Ciências Experimentais Disciplina: Matemática A Ano: VOC Docentes: Carlos Correia Conteúdos

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA TERCEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula introduziremos o conceito de derivada e a definição de uma reta tangente ao gráfico de uma função. Também apresentaremos

Leia mais

1 Teoria dos Conjuntos O conceito de conjunto Conjunto e estrutura elemento, subconjunto operações...

1 Teoria dos Conjuntos O conceito de conjunto Conjunto e estrutura elemento, subconjunto operações... Sumário Introdução.......................... 6 1 Teoria dos Conjuntos. 7 1.1 O conceito de conjunto........................... 7 1.2 Conjunto e estrutura............................ 11 1.3 elemento, subconjunto...........................

Leia mais

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, = Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de

Leia mais

Matemática Básica Relações / Funções

Matemática Básica Relações / Funções Matemática Básica Relações / Funções 04 1. Relações (a) Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B, não vazios, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A B cujos elementos são todos os

Leia mais

Função Definida Por Várias Sentenças

Função Definida Por Várias Sentenças Ministrante Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi Material elaborado pela Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi SUMÁRIO Função Definida Por Várias Sentenças Lembrando... Dados dois conjuntos não vazios

Leia mais

CAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1. CAPÍTULO 2 Operações Fundamentais com Expressões Algébricas 12

CAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1. CAPÍTULO 2 Operações Fundamentais com Expressões Algébricas 12 Sumário CAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1 1.1 Quatro operações 1 1.2 O sistema dos números reais 1 1.3 Representação gráfica de números reais 2 1.4 Propriedades da adição e multiplicação

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. CONCEITO DE FUNÇÃO... 2 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO... 8 IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO... 12 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO... 15 DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO... 15 DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO... 17 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO...

Leia mais

Para mais exemplos veja o vídeo:

Para mais exemplos veja o vídeo: Resumo de matemática: Frente 1: Critério 01: Função: Função é uma relação do conjunto A para o conjunto B, em que os elementos do conjunto A sempre serão x e os elementos do conjunto B sempre serão y (ou

Leia mais

Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (2,0 pontos)

Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (2,0 pontos) Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (,0 pontos) 5x Considere a função f(x)=. Determine, se existirem: x +7 (i) os pontos de descontinuidade de f; (ii) as assíntotas horizontais e verticais

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar os problemas clássicos da tangente e da área;

CÁLCULO I. Apresentar os problemas clássicos da tangente e da área; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Uma Breve Introdução aos Problemas do Cálculo. Objetivos da Aula Apresentar os problemas clássicos da tangente e da área; Comentar intuitivamente

Leia mais

Matemática para contabilidade/mário INTRODUÇÃO. Vejamos os problemas.

Matemática para contabilidade/mário INTRODUÇÃO. Vejamos os problemas. INTRODUÇÃO Vejamos os problemas. 1- Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por: S = -20 + 2p, com p R$270,00. Poderíamos querer saber: a) A partir de que preço haverá oferta? b) Qual o valor da

Leia mais

2. Generalidade Sobre Funções 2.1. O Plano Cartesiano

2. Generalidade Sobre Funções 2.1. O Plano Cartesiano 2. Generalidade Sobre Funções 2.1. O Plano Cartesiano Assim como podemos representar números reais por pontos numa recta de números reais, podemos também representar pares ordenados de números reais por

Leia mais

( x) = +. Qual dos seguintes. x = (B) o contradomínio é ],2] f é uma função par

( x) = +. Qual dos seguintes. x = (B) o contradomínio é ],2] f é uma função par Ficha de Trabalho n.º 7 página 5. Indique quantos são os pontos comuns aos gráficos das funções f e g definidas por f ( x) = x e g( x) = x (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 6. Pretende-se desenhar um retângulo com

Leia mais

Matemática Aplicada à Informática

Matemática Aplicada à Informática Matemática Aplicada à Informática Unidade 9.0 Construindo Gráfico de uma Função Curso Técnico em Informática Aline Maciel Zenker SUMÁRIO SUMÁRIO... 2 GRÁFICOS DE FUNÇÃO DE 1º GRAU... 3 1 CARACTERÍSTICAS

Leia mais

Aula 2: Funções. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE. Aula 2 p.1/57

Aula 2: Funções. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE. Aula 2 p.1/57 Aula 2 p.1/57 Aula 2: Funções. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Definição e representação Aula 2 p.2/57 Aula 2 p.3/57 Função Definição: Uma função de um conjunto em um conjunto, é uma correspondência

Leia mais

Função de 2º Grau. Parábola: formas geométricas no cotidiano

Função de 2º Grau. Parábola: formas geométricas no cotidiano 1 Função de 2º Grau Parábola: formas geométricas no cotidiano Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando

Leia mais