CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos.
|
|
- Luísa Mendonça Palma
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 02: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Listar as principais funções e seus grácos. 1 Funções Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa a cada elemento x A um único elemento y B. O conjunto A é chamado domínio da função f, às vezes denotado também por D f, e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar uma função pela seguinte notação: f : A B Para armarmos que a um determinado x A está associado certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f(x) e dizemos que este y é a imagem de x por f. Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f Im f = {y B y = f(x), x A}. Isto é, o conjunto imagem de f é o conjunto de todas as imagens de pontos do domínio por f. Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de echas, como ilustrado a seguir Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de echas Observe que a cada elemento do domínio está associado um (e apenas um) elemento do contradomínio. Por exemplo, seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e considere que f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 4 f(4) = 5 f(5) = 6 1
2 Note que Im f = {2, 3, 4, 5, 6}. A representação dessa função pelo diagrama de echas é feita da seguinte forma: Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de echas Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte tabela: Dia Valor da Compra 02 2, , , , , , , , , , 2460 Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto D = {02, 03, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 13} em R, uma vez que para cada dia t D, existe um único valor correspondente de V (t) = valor do dólar no dia t. Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela. Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores, não são ecientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráca de uma função é a melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E, para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a denição de gráco de uma função. Denição 1. Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f(x)) A B x A} O gráco de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função pois, uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) pertencente ao gráco, é da forma y = f(x), podemos ler o valor f(x) como sendo a "altura"do ponto no gráco acima de x. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 2
3 Figura 3: Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no gráco de f. Observe que cada ponto do gráco equivale a uma echa associando a um elemento do domínio um elemento do contradomínio como na gura abaixo: Figura 4: Gráco e Diagrama de Flechas Note que a representação do gráco da função como este equivale a representar "innitas echas"de forma sintética. Essa talvez seja a característica mais genial da representação gráca de uma função. O gráco também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y. Figura 5: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráco. Assim como no diagrama de echas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano xy é o gráco de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo: Uma curva no plano xy é o gráco de uma função de x se, e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 3
4 Como exemplo, temos que o gráco abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto. Figura 6: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que é gráco de uma função A seguinte curva não é gráco de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um ponto da curva. Figura 7: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que não é gráco de uma função. 1.1 Restrições no domínio Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo, Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) = 1 x 2. Determine o seu domínio. 1 Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja denida. Para isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não pode ser 0, pois não existe divisão por 0. Logo, os pontos onde a função não está denida são os valores que zeram a função x 2 1. Dessa forma, fazemos x x 2 1 x 1 e x 1 Logo, o domínio de f é o conjunto A = {x R x 1 e x 1} Exemplo 2. Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 4
5 Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de g devem ser os números reais tais que x 2 2x 0. Logo, x 2 2x 0 x(x 2) 0 Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que Figura 8: Estudo do Sinal de x(x 2). Logo, o domínio de g é o conjunto A = {x R x 0 ou x 2} = (, 0] [2, + ) Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) = 2x 4 x 3 8. Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou que tornam a função x 3 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos x 3 8 > 0 x 3 > 8 x > 3 8 x > 2 Assim, o domínio de h é o conjunto D h = {x R x > 2}. 2 Funções Elementares Existem vários tipos de funções que podem modelar problemas e situações do cotidiano. Apresentaremos, a seguir, algumas funções elementares e que serão muito utilizadas ao longo deste curso. 2.1 Funções Polinomiais Denição 2 (Função Polinomial). Uma função f cuja regra é dada por: f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 onde n é um número inteiro não negativo e a n, a n 1, a n 2,..., a 2, a 1, a 0 são números reais (ou constantes) chamados de coecientes do polinômio, é chamada polinomial. O número inteiro n é chamado grau do polinômio. Dependendo do grau do polinômio, temos algumas classes de funções polinomiais que são muito conhecidas e que já foram amplamente discutidas no ensino médio. A seguir, mostraremos algumas dessas funções e seus respectivos grácos. Exemplo 4 (Função Polinomial do 1 o Grau ou Função Am). A função polinomial do 1 o grau (ou simplesmente função do 1 o grau) é toda função que associa a cada número real x o valor numérico do polinômio ax + b, com a 0. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeciente angular e coeciente linear. Simbolicamente: f : R R x ax + b Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 5
6 Cálculo I Aula n o 02 O grá co da funçãof (x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. A depender do valor de a, a função f pode ser dita crescente (para a > 0) ou decrescente (para a < 0). Observe, a seguir, o grá co da função do 1o grau. Figura 9: Grá cos da Função A m. À esquerda, temos o grá co de uma função crescente e à direita, o grá co de uma função decrescente. Exemplo 5 (Função Polinomial do 2 Grau ou Função Quadrática). A função polinomial do 2o grau (ou o simplesmente função do 2o grau) é de nida por: f: R R x 7 ax2 + bx + c, com a 6= 0. O grá co desta função é uma parábola, com eixo de simetria paralelo ao eixo y. Se o coe ciente de x2 for positivo (a > 0), a parábola tem concavidade voltada para cima, enquanto que, se o coe ciente de x2 for negativo (a < 0), a parábola tem concavidade voltada para baixo. Observe, a seguir o grá co da função do 2o grau: Figura 10: Grá cos da Função Quadrática. À esqueda, temos o grá co de uma função quadrática com a > 0 e à direita, o grá co de uma função quadrática com a < 0. Na função quadrática, a interseção do grá co com o eixo de simetria é um ponto chamado vértice. Este ponto pode ser considerado máximo (quando a parábola tem concavidade voltada para baixo) ou mínimo (quando a parábola tem concavidade voltada para cima). Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 6
7 Exemplo 6 (Função Polinomial do 3 o Grau ou Função Cúbica). A função polinomial do 3 o grau (ou simplesmente função do 3 o grau) é denida por: com a 0. f : R R x ax 3 + bx 2 + cx + d, O gráco de uma função cúbica será apresentado a seguir. Figura 11: Gráco de uma função polinomial do 3 o grau. 2.2 Funções Racionais Denição 3 (Função Racional). Uma função racional f é a razão de dois polinômios: f(x) = P (x) Q(x), em que P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) 0. Exemplo 7. A função f(x) = x 1 x + 1 é uma função racional, cujo domínio R { 1}. Observe o gráco: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 7
8 Figura 12: Gráco da Função f(x) = x 1 x + 1 Exemplo 8. A função f(x) = (x2 + 3x 4)(x 2 9) (x 2 + x 12)((x + 3) o gráco: é racional e seu domínio é R { 4, 3, 3}. Observe Figura 13: Gráco da Função f(x) = (x2 + 3x 4)(x 2 9) (x 2 + x 12)((x + 3) 2.3 Função Potência Denição 4 (Função Potência). Uma função da forma: f(x) = x α, onde α é uma constante, é chamada função potência. Observe que, se α = 1, 2, 3,... a função potência é uma função polinomial. Se α = 1/n, com n positivo, dizemos que a função é do tipo raiz e se n é negativo note que a função é do tipo racional. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 8
9 Cálculo I Aula n o 02 Exemplo 9. A função f (x) = x é uma função raiz, onde α = 1/2. Observe o grá co: Figura 14: Grá co da Função f (x) = x Observe que essa função só está de nida para x 0. Exemplo 10. A função f (x) = hipérbole. 1 é uma função potência. Seu grá co é um tipo de curva denominada x Figura 15: Grá co da Função f (x) = 1 x Observação 1. Uma função f é dita algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (soma, multiplicação, divisão e extração de raízes) envolvendo a função identidade e funções constantes. As funções não algébricas são chamadas de transcendentes. Como exemplo de funções transcendentes, podemos citar as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, que serão apresentadas a seguir. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 9
10 Cálculo I Aula n o Funções De nidas por Partes As funções de nidas por expressões algébricas distintas em diferentes partes de seus domínios são chamadas funções de nidas por partes. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 11. Seja a função de nida por: f (x) = x2, se, x 1 1 x, se, x < 1 O domínio desta função é R e como imagem, o intervalo [0, + ). Gra camente: Figura 16: Grá co de f (x). O próximo importante exemplo pode ser visto como uma função de nida por partes: é a função modular. Exemplo 12 (Função Modular). Seja: f (x) = x = x, se, x 0 x, se, x < 0 O grá co da função modular é: Figura 17: Grá co de f (x) = x. Observe que o domínio da função modular é o conjunto R e a imagem desta função é o conjunto R+. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 10
11 Exemplo 13 (Função Heaviside). A Função Heaviside, muito utilizada na eletricidade para representar chaves que ligam e desligam, é denida por: H(t) = { 0, se, t < 0 1, se, t 0 Note que o domínio desta função é R e a imagem é o conjunto {0, 1}, formado apenas de dois elementos. Representamos gracamente esta função a seguir. Figura 18: Gráco de H(t). Exemplo 14 (Função Maior Inteiro ou Função Escada). A função maior inteiro denotada entre colchetes e denida por: f(x) = [x], x R representa o maior inteiro que é menor que ou igual a x. Atribuindo alguns valores para x, ela tem como imagem números inteiros. Por exemplo: [0, 8] = 0, [1, 5] = 1, [ 1, 75] = 2, [ 0, 4] = 1, [π] = 3, etc. Gracamente, temos: Figura 19: Gráco da Função Maior Inteiro. Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 11
12 Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 1.1, 1.2 e 1.6 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das seções 1.1 e 1.2 do livro texto. Dica importante Utilize algum software matemático, como por exemplo o Geogebra, para plotar grácos de funções e vericar os conceitos geométricos apresentados nessa aula, como o teste da reta vertical. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 12
CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares,
Leia maisCÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Operações com funções. Funções Polinominais, Racionais e Trigonométricas Objetivos da Aula Denir operações com funções; Apresentar algumas
Leia maisCÁLCULO I Aula 01: Funções.
Inversa CÁLCULO I Aula 01: Funções. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará Inversa 1 Funções e seus 2 Inversa 3 Funções Funções e seus Inversa Consideremos A e B dois
Leia maisCÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos.
CÁLCULO I Prf. Marcs Diniz Prf. André Almeida Prf. Edilsn Neri Júnir Prf. Emersn Veiga Prf. Tiag Celh Aula n 02: Funções. Objetivs da Aula Denir funçã e cnhecer s seus elements; Recnhecer grác de uma funçã;
Leia maisCÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão;
Leia maisCÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula no 04: Funções Trigonométricas, Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos
Leia maisCÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula no 05: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula De nir as funções trigonométricas, trigonométricas
Leia maisCapítulo 1. Funções e grácos
Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa
Leia maisCÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 17: Crescimento e Decrescimento de funções. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e
Leia maisCÁLCULO I. 1 Funções Exponenciais e Logarítmicas
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 05: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula Denir as funções logarítmica, exponencial e hiperbólicas;
Leia maisCÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 03: Funções Inversas e Compostas.Transformações no Gráco de uma Função. Objetivos da Aula Denir função bijetora e função
Leia maisCÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e decrescentes; Determinar os intervalos
Leia maisConjuntos Numéricos. I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... }
Conjuntos Numéricos I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } II) Números Inteiros Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z III) Números Racionais
Leia maisCÁLCULO I. Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; Apresentar a derivada das funções elementares. f f(x + h) f(x) c c
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 11: Derivada de uma função. Continuidade e Derivabilidade. Derivada das Funções Elementares. Objetivos da Aula Denir
Leia maisCÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função
Leia maisCÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral
Leia maisCÁLCULO I. Calcular o limite de uma função composta;
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 06: Limites Laterais. Limite da Função Composta. Objetivos da Aula Denir ites laterais de uma função em um ponto de seu
Leia maisCÁLCULO FUNÇÕES DE UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab.
Introdução Função é uma forma de estabelecer uma ligação entre dois conjuntos, sujeita a algumas condições. Antes, porém, será exposta uma forma de correspondência mais geral, chamada relação. Sejam dois
Leia maisChamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R.
Capítulo 2 Funções e grácos 2.1 Funções númericas Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R. Denição
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos
Leia maisCÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Aula n o : Derivada das Funções Elementares. Regras de Derivação. Objetivos da Aula Apresentar a derivada das funções elementares; Apresentar
Leia maisCÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 06: Continuidade de Funções Objetivos da Aula Definir função contínua; Reconhecer uma função contínua através do seu gráfico; Utilizar as
Leia maisCÁLCULO I. Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto. y = f(x 2 ) f(x 1 ). y x = f(x 2) f(x 1 )
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 0: Taxa de Variação. Derivadas. Reta Tangente. Objetivos da Aula Denir taxa de variação média e a derivada como a taxa
Leia maisE-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES
E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 SUMÁRIO Apresentação -------------------------------------------------------2 Capítulo 3 ------------------------------------------------------
Leia maisFUNÇÕES Parte 2 Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro. Autoria: Prof. Denise Candal
FUNÇÕES Parte 2 Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro Autoria: Prof. Denise Candal Função Quadrática ou do 2 o grau Definição: Toda função do tipo y = ax 2 + bx + c, com {a, b, c} R e a
Leia maisMATEMÁTICA. Conceito de Funções. Professor : Dêner Rocha
MATEMÁTICA Conceito de Funções Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1 Noção de Função 1º) Dados A = {-, -1, 0, 1, } e B = {-8, -6, -4, -3, 0, 3, 6, 7} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula
Leia maisAna Carolina Boero. Página: Sala Bloco A - Campus Santo André
Funções de uma variável real a valores reais E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores
Leia mais1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.
MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
1. Funções : Definição Considere dois sub-conjuntos A e B do conjunto dos números reais. Uma função f: A B é uma regra que define uma relação entre os elementos de A e B, de tal forma que a cada elemento
Leia maisMÉTODOS MATEMÁTICOS. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta
MÉTODOS MATEMÁTICOS Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta 1 Métodos Matemáticos Aulas: De 03/11 a 08/11-8:30 as 11:00h Ementa: 1. Funções 2. Eq. Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem 3. Sistemas de Equações
Leia maisCÁLCULO I Aula 17: Grácos.
CÁLCULO I Aula 17: Grácos. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 Grácos (1) Domínio - vericar sempre em que pontos a função está denida ou não está denida; (1) Domínio
Leia maisgrau) é de nida por:
CÁLCULO I Prf. Edilsn Neri Júnir Prf. André Almeida : Funções Elementares e Transfrmações n Grác de uma Funçã. Objetivs da Aula Denir perações cm funções; Apresentar algumas funções essenciais; Recnhecer,
Leia maisE. S. JERÓNIMO EMILIANO DE ANDRADE DE ANGRA DO HEROISMO. Conteúdo Programáticos / Matemática e a Realidade. Curso de Nível III Técnico de Laboratório
E. S. JERÓNIMO EMILIANO DE ANDRADE DE ANGRA DO HEROISMO Curso de Nível III Técnico de Laboratório Técnico Administrativo PROFIJ Conteúdo Programáticos / Matemática e a Realidade 2º Ano Ano Lectivo de 2008/2009
Leia maisPlano Cartesiano. Relação Binária
Plano Cartesiano O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é
Leia maisResolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)
R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a
Leia maisCÁLCULO I Aula 15: Concavidade. Teste da Segunda Derivada.
CÁLCULO I Aula 15: Concavidade.. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 Concavidade 2 Considere um intervalo I e uma função f : I R derivável cujo gráco é dado abaixo.
Leia maisRESUMO - GRÁFICOS. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação da reta
RESUMO - GRÁFICOS Função do Primeiro Grau - f(x) = ax + b O gráfico de uma função do 1 o grau, y = ax + b, é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação
Leia maisModelos Matemáticos: Uma Lista de Funções Essenciais
Modelos Matemáticos: Uma Lista de Funções Essenciais Campus Francisco Beltrão Disciplina: Professor: Jonas Joacir Radtke Um modelo matemático é a descrição matemática de um fenômeno do mundo real, como
Leia maisA = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
1. Função Afim Uma função f: R R definida por uma expressão do tipo f x = a. x + b com a e b números reais constantes é denominada função afim ou função polinomial do primeiro grau. A função afim está
Leia maisCÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 12: Extremos relativos e absolutos. Método do Intervalo Fechado Objetivos da Aula Definir e determinar Extremos Absolutos e Relativos de
Leia maisCÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 04: Limites e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades operatórias do
Leia maisAULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES
MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Conjuntos numéricos A reta real Intervalos Numéricos Valor absoluto de um número
Leia mais9º Ano do Ensino Fundamental II:
Conteúdos para III Simulado SDP/Outubro/2010 MATEMÁTICA 9º Ano do Ensino Fundamental II: CAPÍTULO I - NOÇÕES ELEMENTARES DE ESTATÍSTICA 1. Organizando os dados 2. Estudando gráficos 3. Estudando médias
Leia maisGênesis S. Araújo Pré-Cálculo
Gênesis Soares Jaboatão, de de 2016. Estudante: PAR ORDENADO: Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, em substituição às chaves,
Leia maisLTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:
Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO
Leia maisFunções Reais a uma Variável Real
Funções Reais a uma Variável Real 1 Introdução As funções são utilizadas para descrever o mundo real em termos matemáticos, é o que se chama de modelagem matemática para as diversas situações. Podem, por
Leia maisCurvas Planas em Coordenadas Polares
Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................
Leia maisALUNO(A): Prof.: Andre Luiz 04/06/2012
1. FUNÇÃO 1.1 Definição A função dada por ( ), com a, b, c reais e a 0. Vejamos alguns exemplos: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) Vamos a outro exemplo: Ex2.: Um objeto que se desloca
Leia maisNotas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares
Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares 1 Parábolas 11 Conceito e Elementos Definição 1 Sejam l uma reta e F um ponto não pertencente a l Chamamos parábola de diretriz l e foco F o conjunto dos
Leia maisCapítulo 2- Funções. Dado dois conjuntos não vazios e e uma lei que associa a cada elemento de um único elemento de, dizemos que é uma função de em.
Conceitos Capítulo 2- Funções O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra,,,... Definição: Dado dois
Leia mais1. Considere os conjuntos A = {0; 2} e B = {1; 2; 3}. A respeito de produto cartesiano entre dois conjuntos, assinale a alternativa correta:
. Considere os conjuntos A = {0; 2} e B = {; 2; 3}. A respeito de produto cartesiano entre dois conjuntos, assinale a alternativa correta: a. AxB = {(0; ); (0; 2); (0; 3); (2; ); (2; 2); (2; 3)} b. BxA
Leia maisFunção de 1º Grau. Como construir um Gráfico. Função constante. Matemática Básica I. RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE:
Matemática Básica Como construir um Gráfico Unidade 5. Gráficos de Funções Reais RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: https://ueedgartito.wordpress.com x y = f(x) x y x x 3 y x 4 y 3 y 4 x 5
Leia maisCÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas Definir as funções logarítmica, exponencial e hiperbólicas; Enunciar
Leia maisCURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º Grau. Alex Oliveira Engenharia Civil
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2 Função do 2º Grau Alex Oliveira Engenharia Civil Função do Segundo Grau Chama-se função do segundo grau ou função quadrática a função f: R R que
Leia maisUniversidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática
Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Valor Absoluto: O valor absoluto de a, representa-se por a e é a distância do número a a
Leia maisCÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 09: Regras de Derivação Objetivos da Aula Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação; Derivar funções utilizando diferentes
Leia maisFUNÇÕES CONSTANTE, DE PRIMEIRO E DE SEGUNDO GRAUS. DEFINIÇÕES:
FUNÇÕES CONSTANTE, DE PRIMEIRO E DE SEGUNDO GRAUS. DEFINIÇÕES: FUNÇÃO CONSTANTE: Uma função é chamada constante se puder ser escrita na forma, onde a é um número real fixo. Como exemplos, podemos escrever,,.
Leia maisSISTEMA DE EIXOS COORDENADOS
PET FÍSICA SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS Aula 6 TATIANA MIRANDA DE SOUZA VICTOR ABATH DA SILVA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento
Leia maisFunção do 2 o Grau. 11.Sinal da função quadrática 12.Inequação do 2 o grau
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função do o Grau Prof.: Rogério
Leia maisMATRIZ DE REFERÊNCIA - SPAECE MATEMÁTICA 5 o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL TEMAS E SEUS DESCRITORES
MATEMÁTICA 5 o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL I INTERAGINDO COM OS NÚMEROS E FUNÇÕES D1 Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal. Utilizar procedimentos de cálculo para obtenção
Leia maisAula 13 de Bases Matemáticas
Aula 3 de Bases Matemáticas Rodrigo Hausen Versão: 8 de julho de 206 Catálogo de Funções Reais No estudo de unções é extremamente útil conhecer as propriedades e gráicos de algumas unções reais. Função
Leia maisInstituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016
Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016 Questão 1: (2 pontos) x (a) (0.4 ponto) Calcule o ite: 2 + 3 2. x 1 x 1 ( πx + 5 ) (b) (0.4 ponto) Calcule o ite:
Leia mais21 e 22. Superfícies Quádricas. Sumário
21 e 22 Superfícies uádricas Sumário 21.1 Introdução....................... 2 21.2 Elipsoide........................ 3 21.3 Hiperboloide de uma Folha.............. 4 21.4 Hiperboloide de duas folhas..............
Leia maisObserve na imagem a seguir, a trajetória realizada por uma bola no momento em que um jogador a chutou em direção ao gol.
FUNÇÃO QUADRÁTICA CONTEÚDOS Função quadrática Raízes da função quadrática Gráfico de função Ponto de máximo e de mínimo de uma função AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe na imagem a seguir, a trajetória
Leia maisUnidade II MATEMÁTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix
Unidade II MATEMÁTICA APLICADA Prof. Luiz Felix Equações do 1º grau Resolver uma equação do 1º grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja,
Leia maisEsboço de Plano de Aula. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau.
Esboço de Plano de Aula Bolsista: Rafael de Oliveira. Duração: 120 minutos. Conteúdo: Equações do 1º Grau. Conteúdo específico: O uso do software WXMaxima nas equações do 1º Grau. Objetivo geral: Permitir
Leia maisInequação do Segundo Grau
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Inequação do Segundo Grau Iva Emanuelly Pereira Lima - Engenharia Civil Na aula de hoje... Introdução e Exemplos de Inequação do Segundo Grau; Solucionando
Leia maisFUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES
FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES 1- PRODUTO CARTESIANO 1.1- Par Ordenado - Ao par de números reais a e b, dispostos em uma certa ordem, denominamos par ordenado e indicamos por: (a,
Leia maisPreliminares de Cálculo
Preliminares de Cálculo Profs. Ulysses Sodré e Olivio Augusto Weber Londrina, 21 de Fevereiro de 2008, arquivo: precalc.tex... Conteúdo 1 Números reais 2 1.1 Algumas propriedades do corpo R dos números
Leia maisCÁLCULO I Aula 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada.
CÁLCULO I Aula 14:.. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 2 3 Denição Sejam f : A B uma função e x 1, x 2 D f. Denimos que f é uma (i) função crescente se x 1
Leia maisCURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Funções e Modelos. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2 Funções e Modelos Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil Quatro maneiras de representar uma função Verbalmente (Descrevendo-a
Leia maisDefinição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0
Capítulo 3 Módulo e Função Módular A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. No entanto, antes de falarmos sobre funções modulares devemos definir o conceito de módulo,
Leia mais2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução
7. ano PR 7.1. Dados dois conjuntos A e B fica definida uma função 1ou aplicação2 f de A em B, quando a cada elemento de A se associa um elemento único de B representado por f 1x2. Dada uma função numérica
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I e Aplicações
Cálculo Diferencial e Integral I e Aplicações por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-CCTA 05 Conteúdo Revisão Pré-cálculo 6. Números reais................................... 6. Funções.......................................3
Leia maisCÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 2: Aproximações Lineares e Diferenciais Objetivos da Aula Definir e calcular a aproximação linear de uma função derivável; Conhecer e determinar
Leia maisTÓPICOS DE MATEMÁTICA II. O Curso está dividido em três unidades, temos que concluir todas.
TÓPICOS DE MATEMÁTICA II Roosevelt Imperiano da Silva Palavras iniciais Caros alunos, vamos iniciar o curso da disciplina Tópicos de Matemática II. Neste curso estudaremos os conjuntos numéricos e suas
Leia maisCálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo
Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.
Leia mais(d) Quais das sentenças abaixo são verdadeiras? Explique sua resposta. (a) 3 IR (b) IN IR (c) Z IR. IR Q (i) 3 2
LISTA - 1 1 Números Reais 1. Expresse cada número como decimal: (a) 7 10 (b) 2 5 (c) 9 15 (d) 7 8 (e) 17 20 (f) 4 11 (g) 8 7 (h) 56 14 2. Expresse cada número decimal como uma fração na forma mais reduzida
Leia maisREVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES
REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO
Leia maisCURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 2º grau. Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.1 Função do 2º grau Lucas Araújo Engenharia de Produção Rafael Carvalho Engenharia Civil Roteiro Função do Segundo Grau; Gráfico da Função Quadrática;
Leia maisPlanificação anual Curso Técnico Vocacional Ofícios e Multimédia 1/1. Ano letivo 2015/2016
Planificação anual Curso Técnico Vocacional Ofícios e Multimédia 1/1. Ano letivo 2015/2016 Departamento: Matemática e Ciências Experimentais Disciplina: Matemática A Ano: VOC Docentes: Carlos Correia Conteúdos
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CÁLCULO L1 NOTAS DA TERCEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula introduziremos o conceito de derivada e a definição de uma reta tangente ao gráfico de uma função. Também apresentaremos
Leia mais1 Teoria dos Conjuntos O conceito de conjunto Conjunto e estrutura elemento, subconjunto operações...
Sumário Introdução.......................... 6 1 Teoria dos Conjuntos. 7 1.1 O conceito de conjunto........................... 7 1.2 Conjunto e estrutura............................ 11 1.3 elemento, subconjunto...........................
Leia maisMatemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =
Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de
Leia maisMatemática Básica Relações / Funções
Matemática Básica Relações / Funções 04 1. Relações (a) Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B, não vazios, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A B cujos elementos são todos os
Leia maisFunção Definida Por Várias Sentenças
Ministrante Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi Material elaborado pela Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi SUMÁRIO Função Definida Por Várias Sentenças Lembrando... Dados dois conjuntos não vazios
Leia maisCAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1. CAPÍTULO 2 Operações Fundamentais com Expressões Algébricas 12
Sumário CAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1 1.1 Quatro operações 1 1.2 O sistema dos números reais 1 1.3 Representação gráfica de números reais 2 1.4 Propriedades da adição e multiplicação
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.
CONCEITO DE FUNÇÃO... 2 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO... 8 IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO... 12 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO... 15 DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO... 15 DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO... 17 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO...
Leia maisPara mais exemplos veja o vídeo:
Resumo de matemática: Frente 1: Critério 01: Função: Função é uma relação do conjunto A para o conjunto B, em que os elementos do conjunto A sempre serão x e os elementos do conjunto B sempre serão y (ou
Leia maisProva de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (2,0 pontos)
Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (,0 pontos) 5x Considere a função f(x)=. Determine, se existirem: x +7 (i) os pontos de descontinuidade de f; (ii) as assíntotas horizontais e verticais
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar os problemas clássicos da tangente e da área;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Uma Breve Introdução aos Problemas do Cálculo. Objetivos da Aula Apresentar os problemas clássicos da tangente e da área; Comentar intuitivamente
Leia maisMatemática para contabilidade/mário INTRODUÇÃO. Vejamos os problemas.
INTRODUÇÃO Vejamos os problemas. 1- Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por: S = -20 + 2p, com p R$270,00. Poderíamos querer saber: a) A partir de que preço haverá oferta? b) Qual o valor da
Leia mais2. Generalidade Sobre Funções 2.1. O Plano Cartesiano
2. Generalidade Sobre Funções 2.1. O Plano Cartesiano Assim como podemos representar números reais por pontos numa recta de números reais, podemos também representar pares ordenados de números reais por
Leia mais( x) = +. Qual dos seguintes. x = (B) o contradomínio é ],2] f é uma função par
Ficha de Trabalho n.º 7 página 5. Indique quantos são os pontos comuns aos gráficos das funções f e g definidas por f ( x) = x e g( x) = x (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 6. Pretende-se desenhar um retângulo com
Leia maisMatemática Aplicada à Informática
Matemática Aplicada à Informática Unidade 9.0 Construindo Gráfico de uma Função Curso Técnico em Informática Aline Maciel Zenker SUMÁRIO SUMÁRIO... 2 GRÁFICOS DE FUNÇÃO DE 1º GRAU... 3 1 CARACTERÍSTICAS
Leia maisAula 2: Funções. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE. Aula 2 p.1/57
Aula 2 p.1/57 Aula 2: Funções. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Definição e representação Aula 2 p.2/57 Aula 2 p.3/57 Função Definição: Uma função de um conjunto em um conjunto, é uma correspondência
Leia maisFunção de 2º Grau. Parábola: formas geométricas no cotidiano
1 Função de 2º Grau Parábola: formas geométricas no cotidiano Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando
Leia mais