Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

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1 Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 0 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Temos que P A B) P A) + P B) P A B) P A B) P A) + P B) P A B) Como A e B são independentes, então P A) P B) P A B), pelo que, podemos escrever que P A) + P B) P A B) P A) P B) ) Como P A) P A ) , substituindo os valores conhecidos na igualdade ), 0 vem: 0 + P B) 4 0 P B) 6 0P B) + 5 6P B) P B) 5 6P B) Resposta: Opção B 0P B) 6P B) 5 6 4P B) 9 P B) 9 4. Calculando a probabilidade do acontecimento contrário, ou seja, a probabilidade de que o João e a Margarida fiquem sentados ao lado um do outro, vem: O cálculo dos casos possíveis, pode resultar de considerar as trocas de todos os 7 amigos pelas 7 posições, ou seja, 7 A 7 P 7 7! Relativamente aos casos favoráveis, podemos considerar o par de amigos como um elemento único, resultando assim, nas trocas de 6 elementos o par de amigos mais as restantes 5 pessoas), em 6 posições possíveis, ou seja, 6 A 6 P 6 6!, multiplicado por, porque o João pode ficar à direita ou à esquerda da Margarida. Assim, recorrendo à probabilidade do acontecimento contrário, a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro é Resposta: Opção D 6! 7! 6! 7 6! Selecionando 7 dos compartimentos para colocar os copos brancos, que por serem iguais, a ordem da seleção não é relevante, temos C 7 formas de arrumar os copos brancos. Por cada arrumação diferente dos copos brancos, devemos considerar 5 A hipóteses diferentes para colocar os copos de outras cores, que correspondem a selecionar dos 5 compartimentos ainda) vazios, e em que a ordem da seleção é relevante por se destinarem a copos de cor diferente. Assim o número de arrumações diferentes é C 7 5 A Resposta: Opção C Página de 8

2 4. Como fx) x ex x ex + x + 0 ex + x ex + x 0 afirmar que a equação fx) x tem, pelo menos, uma solução, é equivalente a afirmar que a função g, também de domínio R, definida por gx) e x + x tem, pelo menos, um zero. Desta forma, como a função g é contínua em R, por ser resultar de operações entre funções contínuas em R, e recorrendo ao corolário do Teorema de Bolzano, podemos analisar cada uma das hipóteses apresentadadas: Como g0) e ), ou seja g0) < 0 e g e ,08, ou seja, ) ) g > 0, temos que, g0) g > 0, e por isso, não é garantida a existência de um zero da 5 ] 5 função g no intervalo 0, [ 5 ) Como g e ) ) 0,08, ou seja, g < 0 e g e ,0, ou seja, ) ) ) g > 0, temos que, g g < 0, e por isso, é garantida a existência de um zero da função 4 ] 5 4 g no intervalo 5, [ 4 ) Como g e ) ) 0,0, ou seja, g > 0 e g e + 4 0,, ou seja, ) ) ) g > 0,temos que, g g > 0, e por isso, não é garantida a existência de um zero da ] 4 4 função g no intervalo 4, [ ) Como g e + ) 0,, ou seja, g > 0 e g) e +,, ou seja, g) > 0, ) temos que, g g) > 0, e por isso, não é garantida a existência de um zero da função g no ] intervalo 4, [ Resposta: Opção B 5. Como a função é contínua em R, também é contínua em x a, pelo que Pela observação do gráfico da função g, temos que E calculando x a fx), vem fa) x a fx) x a +fx) fa) ga) x a +fx) x a +gx) x a fx) log x a x ) log a ) Como fx) fa), temos que x a log a ) a a 9 + a 7 + Resposta: Opção A a 8 a 8 Página de 8

3 6. As retas tangentes ao gráfico nos pontos de abcissas x e x têm declive negativo, ou seja, em x e x a função é decrescente, pelo que f ) < 0 e também f ) < 0. Relativamente ao sentido das concavidades, em x, o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo, pelo que f ) < 0. Em x, o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima, pelo que f ) > 0 Resposta: Opção C 7. As operações dividir por i e dividir por correspondem geometricamente a fazer uma rotação de centro em O e amplitude π radianos e dividir a distância ao centro por, respetivamente. w Imz) z Assim, podemos fazer as operações por qualquer ordem e, por isso, temos duas alternativas: w i z w z Resposta: Opção A e e z z, ou então z i z z z 4 π 0 z Rez) 8. A coroa circular representada é o conjunto dos pontos que distam da origem entre e 6 unidades, ou seja a representação dos números complexos z, tais que z 6 Imz) Os pontos assinalados devem ainda satisfazer a condição de que o ângulo medido a partir da representação geométrica do complexo + i está compreendido entre π rad e π 4 rad. R Ou seja: π arg z + i)) π 4 π arg z + i) π 4 P π Q 0 π 4 Rez) Resposta: Opção C Página de 8

4 GRUPO II... Começamos por simplificar as expressões de z e de z : Recorrendo aos coeficientes da linha do Triângulo de Pascal ), temos que: z +i) ) + ) i)+ )i) +i) 8+i 6i i 8+6+i i +i z + 8i + i + 8i) i) + i) i) i + 56i 8i 8 ) + 55i i i 6 + i 4 ) 5 Assim, temos que z + z z z + + i) 6 + i z + i 6 + i z 8 z 8 z 8 cis 0 z 8 cis 0 + kπ, k {0,,} z cis kπ, k {0,,} Ou seja, temos raízes de índice, que são as soluções da equação: k 0 z cis 0 k z cis π k z cis 4π.. Se w e w são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então wn z e Logo temos que: w n w ) n z w ) n w n w n w n w n w n ) w n ± w n ± Como w n z temos que w n ± z ± z z... Considerando a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, um aluno dessa escola, e os acontecimentos: R: O aluno é um rapaz E: O aluno tem excesso de peso Temos que P R ) 0,55, P E R ) 0, e P E R ) 0,4 Assim, organizando os dados numa tabela obtemos: P E R ) P R ) P E R ) 0,55 0, 0,65 P R) P R ) 0,55 0,45 P E R ) P R) P E R ) 0,45 0,4 0,8 P R E) P R) P E R ) 0,45 0,8 0,7 P E) P R E) + P R E ) 0,7 + 0,65 0,45 R R E 0,7 0,65 0,45 E 0,8 0,45 0,55 Assim, calculando a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz, sabendo que tem excesso de peso, e escrevendo o resultado na forma de fração irredutível, temos P R E) P R E) P E) 0,5 0, Página 4 de 8

5 .. Como 55% dos alunos são raparigas e existem 00 alunos, podemos calcular o número de raparigas como 00 0,55 0 e o número de rapazes é O número de conjuntos de alunos que podem ser escolhidos o número de casos possíveis) é 00 C. O número de conjuntos com raparigas e rapaz o número de casos favoráveis) pode ser calculado considerando que se escolhe de entre os 90 rapazes, e de entre as 0 raparigas, ou seja 90 0 C Assim, calculando a probabilidade de serem escolhidos duas raparigas e um rapaz e arredondando o resultado às centésimas, temos 90 0 C 00 C 0,4. Como no saco estão 5 bolas e extraímos 4, temos apenas 5 conjuntos de bolas que podem ser extraídos: bolas com os números {,,0,}, produto correspondente: ) bolas com os números {,,0,}, produto correspondente: ) bolas com os números {,,,}, produto correspondente: ) 4 bolas com os números {,0,,}, produto correspondente: bolas com os números {,0,,}, produto correspondente: Ou seja, os produtos possíveis são apenas 0 e 4. Quando a bola com o número 0 é extraída, o que acontece 4 em cada 5 vezes, o produto é 0, ou seja, P X 0) 4 5 Quando a bola com o número 0 não é extraída, o que acontece em cada 5 vezes, o produto é 4, ou seja, P X 4) Resolvendo a equação fx) 0, temos que e x 4e x + 4 e 0 e e x e 4e x + 4 e 0 e e x e 4e x + 4 e 0 ex e 4e x + 4 e 0 ex e 4e x + 4 e 0 ex 4e x 4 e 0 ex 4e x 4 0 e 0 e x 4 e x 4 0 ex e x e x 4 e x 4ex e x 0 e x 0 ex ) 4e x 4 0 Fazendo a substituição de variável y e x, e usando a fórmula resolvente, vem: y 4y 4 0 y 4 ± 4) 4) 4) y 4 ± y 4 ± Como y e x, temos que: y 4 ± 4 y + y e x + e x E como < 0, a equação e x é impossível, pelo que podemos determinar o valor do único zero da função f: e x + x ln + ) Página 5 de 8

6 4.. Assim, traçando, na calculadora gráfica, os gráficos das funções f e g, numa janela que permita visualizar a interseção dos dois gráficos, bem como a interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas, obtemos o gráfico reproduzido na figura ao lado. Determinando um valor aproximado às centésimas do zero da função f, com a opção de determinar o valor dos zeros de uma função, obtemos as coordenadas do ponto A,57; 0), belo que podemos assumir o valor,57 para a medida da base do triângulo. y,8 B f g Usando a opção da calculadora para determinar as coordenadas do ponto de interseção de dois gráficos, obtemos os valores, aproximados às centésimas, para as coordenadas do ponto B,;,8). Logo podemos considerar o valor da ordenada,8) como a medida da altura do triângulo. 0 A,57, x Assim, calculando o valor da área do triângulo [OAB], arredondado às décimas, vem: A [OAB],57,8, Página 6 de 8

7 Como o domínio da função f é R, poderão existir assíntotas não verticais quando x e quando x +. Assim, vamos averiguar em primeiro lugar a existência de uma assíntota de equação y mx + b, quando x : m fx) x x xe x x x x e x ) e ) e + + fx) Pelo que, como m não é constante, podemos afirmar que não existe uma assínta não x x vertical do gráfico de f, quando x Averiguando a existência de uma assíntota de equação y mx + b, quando x +, vem: m m fx) x x lnx + ) x lnx) + x x ) lnx+) lnx)+ fx) x ln + x )) + ln + + ) lnx+) lnx)+ + Indeterminação) ln x + ) + x ) lnx+) lnx) + ) + ln + 0 +) + ln) b ) ) fx) mx fx) x ) x lnx+) lnx) )) x ln x + x fazendo y x, temos x y e se x +, então y 0+ ) b x ln + )) x y 0 + y 0 + x lnx + ) x lnx) + x x ) y ln + y 0 + y ) ) ln + y) lny + ) y y 0 + y }{{} Lim. Notável x ln + )) + 0 Indeterminação) x ) ln + y) y Assim temos que a reta de equação y x + é uma assíntota do gráfico de f e não existem outras assíntotas não verticais). 5.. Como o declive m), da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa - é f ), começamos por determinar a expressão da derivada, para x < 0: f x) xe x) x) e x +x e x) e x +x x) e x e x +x )e x e x xe x Calculando o declive da reta tangente temos: m f ) e ) )e ) e + e e Calculando as coordenadas do ponto de tangência, temos: f ) )e ) e, ou seja, o ponto P, e ) é um ponto do gráfico de f que também pertence à reta tangente. Substituindo o valor do declive na equação da reta, vem y e x + b Substituindo as coordenadas do ponto na equação da reta, calculamos o valor da ordenada na origem: e e ) + b e e + b e + e b e b Logo, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa x é: y e x + e Página 7 de 8

8 Considerando um ponto P, sobre o lado [AB] do trapézio, tal que o segmento [DP ] seja perpendicular ao lado [AB], consideramos o ângulo ADP com amplitude π α Como DP, recorrendo à definição de cosseno, temos: cos α π ) DP DA DA cos ) α π e como cos ) α π, temos que: DA A Da definição de tangente de um ângulo, e como tg ) α π tg α temos: tg Logo, o perímetro do trapézio é: α π ) AP α DP tg π ) AP AP tg α P [ABCD] P B + BC + CD + DA + AP D α π P ) tg α α C B + cos α Ou seja, para cada valor de α + cos α + cos α ] π,π [, o perímetro do trapézio [ABCD] é P α) + cos α 6.. Começando por determinar a expressão da derivada, temos: P α) + cos α ) ) cos α ) cos α) ) cos α)) ) 0 )) cos α)cos α) sen α cos α + cos α sen α Como tg θ + cos θ 8) + cos θ + cos α cos α sen α e tg θ 8, vem: 8 + cos θ Como π < θ < π, cos θ < 0, logo cos θ E também: sen θ + cos θ sen θ ) Assim, P + 4 θ) cos α cos α) sen α cos α sen α cos θ 9 cos θ ± 9 cos θ ± ) sen θ 9 sen θ 8 9 Página 8 de 8