Nas respostas aos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações

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1 PREPARAR EXAME NACINAL NACINAL PRVA-MDEL Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva na folha de respostas o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Nas respostas aos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. Caderno 1 Duração: 50 minutos. Tolerância: 10 minutos. (É permitido o uso de calculadora.) 1. Usando os algarismos,, 5 e 7, quantos números pares com seis algarismos e inferiores a meio milhão existem? (A) 56 (B) 51 (C) 768 (D) 104. Num certo teste existem duas questões de escolha múltipla, ambas com quatro alternativas de resposta. No entanto, na primeira questão há apenas uma resposta certa e na segunda existem duas certas. Higino não estudou o que devia, de modo que vai responder ao acaso a ambas as questões. Qual é a probabilidade de ele acertar nessas duas questões? (A) 1 8 (B) 1 16 (C) 1 4 (D) 1. Lucindo tem algumas moedas num saco: duas moedas de 50 cêntimos, 4 de um euro e n de euros, todas de países diferentes da União Europeia. 0.1 Suponha que n 5. Lucindo vai retirar todas as moedas do saco, uma de cada vez. Qual é a probabilidade de as moedas da mesma quantia saírem juntas? Apresente o resultado na forma de percentagem, com três casas decimais.. Admita que, ao tirar duas moedas ao acaso do saco, a probabilidade de ambas serem de 1 euro é igual a Quantas moedas de euros tem o Lucindo? A Nazaré responde: «Como o Lucindo tira duas moedas ao acaso, é necessário resolver a equação 4 * 1 C 1.» A Magda responde: «Não, a equação a resolver é 4 * 1 A 1.» Numa breve composição, explique porque é a Magda quem tem razão e determine o número de moedas de euros que o Lucindo tem. 1 1.

2 PRVA-MDEL 1 4. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função v definida por: v(t) 50 sen ( pt 5 ) + 1t onde t designa o tempo (em minutos) contado a partir do início da experiência e v(t) designa a velocidade de rotação do eixo do motor (em centenas de rotações por minuto). Durante quanto tempo, aproximadamente, o número de rotações do eixo do motor foi superior a 7000 por minuto? Explique como procedeu. Apresente o tempo pedido em minutos e segundos, com segundos arredondados às unidades. Nota: nos cálculos intermédios, use aproximações às milésimas. Adaptado do Teste Intermédio de Matemática A, 11. ano, maio de Considere, num referencial o.n. x, a representação do gráfico da função f, de domínio [-1, ], definida por f(x) 5e x - e x. Seja P um ponto que se desloca ao longo do gráfico de f. Recorrendo à calculadora gráfica, determine a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) P quando a sua distância à origem é igual a. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) P com arredondamento às centésimas. 6. Dados os vetores a e b num referencial o.n., sabe-se que a b a b 5. Qual é o valor aproximado da amplitude do ângulo formado por a e b? (A) 5 o (B) 8 o (C) 65 o (D) 78 o Fim do caderno 1 0

3 PREPARAR EXAME NACINAL Caderno Duração: 100 minutos. Tolerância: 0 minutos. (Não é permitido o uso de calculadora.) 17. No conjunto C, considere o número complexo w 1 + ( - )i. 16z Considere a equação ( 4-6 ) i 90. ( e i _ 11p 48 ) Sabendo que w ( 6 )e i _ p 1, determine, na forma algébrica, a solução da equação anterior. 8. Para um certo valor positivo de k, é contínua em R a função g definida por: g(x) { se x k log (x - 8x + 5) se x > k Qual é o valor de k? (A) 1 (B) (C) (D) 4 9. Seja f função, de domínio R +, tal que a sua derivada é dada por: + x - ln (x) f '(x) _, x å R x Admita que o ponto de coordenadas (1, ln ) pertence ao gráfico de f. Seja r a reta tangente ao gráfico da função f nesse ponto. Determine a abcissa do ponto de interseção de r com o eixo x. 9. Mostre que o gráfico da função f ' tem uma assíntota horizontal e escreva uma equação que a defina. 9. Estude o gráfico da função f quanto ao sentido das concavidades. 10. Na Figura 1 está representado graficamente, no intervalo [0, 6], o movimento do oscilador harmónico h. Em qual das opções pode estar a expressão analítica h(t) da função repre- h sentada? (A) cos ( p t ) (B) cos ( p t + p ) 1,5 4,5 6 t (C) cos ( p t + p ) (D) cos ( p t + p ) - Figura 1 04

4 PRVA-MDEL 11. Na Figura está representado o poliedro [VABCDEFGH], que se pode decompor numa pirâmide quadrangular regular e num paralelepípedo. V 11.1 Suponha que: M é o ponto médio do segmento de reta [BC] ; VM CG cm ; α designa a amplitude do ângulo VMP, com α π, π. D A C M B P Mostre que volume do poliedro [VABCDEFGH] é dado, em centímetros cúbicos e em função de α, por: E F V(α) 6 cos α ( + sen α) H G Figura Considere um ângulo de amplitude q, com θ π, π. Determine, em centímetros cúbicos, o volume do poliedro se cos ( q + p ) Admita agora que o poliedro anterior se encontra representado num referencial o.n. xz. Sabe-se que: a reta VC está definida por (x,, z) ( 10, 0, 0 ) + k(5, 5, - 8), k å R ; 1x + 5-5z 0 define o plano β que contém a reta VB. Justifique que a reta VC é concorrente mas não perpendicular ao plano β e determine as coordenadas do ponto V. 1. Na Figura estão representadas, num referencial o.n. x, as retas perpendiculares r e AB. Tal como a figura sugere: o ponto A pertence ao eixo e à reta r e a sua ordenada é ; o ponto B pertence ao eixo x e a sua abcissa é 1. Qual das equações seguintes define a reta r? (A) x + (B) 1 6 x + (C) (x, ) (0, ) + k(1, 6), k IR (D) (x, ) ( 1, 0 ) + k(6, 1), k IR A B Figura r x 1. Qual é o valor de lim ( n n + + 7? n + 4) (A) e e (B) e e (C) 1 (D) + 05

5 PREPARAR EXAME NACINAL 14. Considere a sucessão (a n ) definida por: a n n (n - 1)! Considere ainda a sucessão (S n ) que dá a soma dos n primeiros termos de (a n ). Usando o método de indução matemática, prove que n IN, S n (n + 1)! _ terreno circular representado na Figura 4 tem raio r e área igual a 5 16 p centímetros quadrados. Qual é, em centímetros, o valor de r? _ (A) 5 4 (B) 5 16 (C) 10 4 (D) 10 5 Área 5 16 cm r Figura 4 Fim da prova Caderno 1 Item Cotação (em pontos) Total Caderno Item Cotação (em pontos) Total TTAL (Caderno 1 + Caderno ) 00 06

6 RESLUÇÕES Prova-modelo págs. 0 a (B) Como são pares, o algarismo das unidades só pode ser o e o das centenas de milhar pode ser o ou o. Existem * 4 * 4 * 4 * 4 * (C) A probabilidade de o Higino acertar na primeira questão é 1 4 C e na segunda é 4 1 C 6. Como os acontecimentos são independentes, a probabilidade pedida é o produto das duas acima, isto é, 1 4 * pontos! * 4! * 5! *! P _ ! P ) 0,087% pontos Segundo o raciocínio da Nazaré, como se tiram duas moedas ao acaso do saco, o número de casos possíveis é C, mas o número de casos favoráveis é 4 C (as duas moedas são de 1 ) e não 4 * (pelo que a Nazaré está errada). A Magda, por sua vez, considerou a extração de moedas sequencial, pelo que o número de casos possíveis é A e o número de casos favoráveis é 4 A 4 *. Raciocínio da Nazaré... Raciocínio da Magda... 4 * 1 A 1 4 * n n + 11n n + 11n n 7 n Resposta: Lucindo tem 7 moedas pontos Saber que se tem de resolver a equação v(t) Representação gráfica da(s) função(ões) v 1,85 4,76 8 t ) 1,85... t ) 4,76... Dos 1,85 ao 4,76 min:,874 min ,874 * 60 ) 5 R.: minutos e 5 segundos t pontos Equacionar o problema: x + [f(x)]... 4 Gráficos.... Abcissa de A : - 0, Abcissa de B : - 0, Abcissa de C : 0, (D) cos ( a ^ b ) 5 5 * a ^ b 78,4604 A B C pontos ( e i _ 11p 4 48 ) 16 e i _ 11p 1... i 90 i ( - 6 ) i Resolução da equação: _ 16z e i _ 11p 1 z ( 6 - ) e i _ 11p z ( - ) i... (pois z w e Arg (z) p - Arg (w) ) (D) Se a função é contínua, então: lim g(x) lim g(x) g(k) log - x " k x " k + (k - 8k + 5) k - 8k + 5 k - 8k (k - 4) k pontos A reta tangente é da forma mx + b. m f'(1)... f'(1) 5 - ln... b -... Equação de r : (5 - In )x -... (5 In )x 0... x 5 - ln pontos lim f '(x) lim _ + x - ln (x)... x " + x " + x 1 lim x " + x + - lim ln (x)... x " + x lim ln (x) *... x " + x Limite notável - 0 *... Concluir que a reta de equação é assíntota horizontal ao gráfico de f' g x 77

7 PREPARAR EXAME NACINAL pontos f''(x)... 1 ( - x) x - - x + ln (x) _ x... 4 ln (x) - x... f''(x) 0 ln (x) x e... Quadro de sinal e concavidades... x 0 e + ln (x) Concavidades do gráfico de f : Voltada para baixo em ] x f'' f P.I. ].... 0, e Voltada para cima em [ e, + [ (D) A função de um oscilador harmónico é da forma h(t) A cos (ωt + φ). Assim: A (pois o máximo de h é e o mínimo - ); período T de h é 6, logo p w 6 w p. h(t) cos ( p t + j ), j? h(0) 0 cos j 0 cos j 0 j p j p φ [0, p[ Atendendo às opções, h(t) cos ( p t + p ) pontos Seja a o valor da aresta da base da pirâmide e h a sua altura. sen (p - a) h h sen a... 5 a cos (p - a) a -6 cos a... 6 V(a) a + a h cos a + 6 cos a * sen a cos a ( + sen a) pontos cos ( q + p ) sen q cos q V(q) 6 * 11 6 ( + 5 6)... 5 _ pontos Referir que (5, 5, - 8) e (1, 5, - 5) não são colineares.... Concluir que VC não é perpendicular a b Reconhecer que V é o ponto de interseção da reta VC com o plano b Determinar um ponto da reta VC : ( k, 5k, - 8k )... Substituir as coordenadas desse ponto na equação do plano b : 1 10 ( + 5k ) + 5 (5k) - 5(- 8k) bter o valor de k : _ k + 5k + 40k 0 _ k 0 k Determinar as coordenadas do ponto V : 10 ( + 5 ( - 1 ), 5 ( - ) 1, - 8 ( - ) 1 ) ( 5, - 5, 8 ) (B) Um vetor diretor da reta AB é 1 (, 0 ) - (0, ) ( 1, - ) ou (1, -6) ; o declive da reta AB é -6, pelo que o declive de r é 1 6 (pois r é perpendicular a AB ). 1. (B) lim ( n + n lim n + 4) ( 1 + n + n + 7 n ) lim n + [( 1 + n + 4) 4] ( e ) lim _ n n e n + n + 4 e e e n + [ lim ( 1 + n + 4) 4] lim n + n pontos Verificar que a igualdade é verdadeira para n S 1! * 0! a 1 (P.V.) Provar que a propriedade é hereditária Escrever a hipótese de indução: S n (n + 1)! Escrever a tese de indução: S n + 1 (n + )! Demonstrar a tese de indução: S n + 1 S n + a n + 1 (n + 1)! - 1+ (n + 1) n! (n + 1)! [1+ (n + 1)] - 1 (n + )! Conclusão (A) pr p " r 4 ( 4 )