P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 6

Transcrição

1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 6 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Tem-se, ( Assim,. Resposta: B 2. Considere-se a variável aleatória : «peso dos alunos do.º ano» ( e os acontecimentos : «o aluno escolhido pesa entre kg e kg» e : «o aluno escolhido pesa pelo menos kg». Assim: Observa a figura seguinte: e Pretende-se determinar (. Tem-se que e. Logo, (. Resposta: C 3. A superfície esférica de equação tem centro no ponto de coordenadas. O plano é tangente à superfície esférica no ponto de coordenadas, assim, vamos utilizar o produto escalar para determinar uma condição que defina. Seja um ponto do espaço pertencente ao plano. A condição define o plano. Assim: Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 1

2 Cálculos auxiliares: ; Portanto, é um vetor normal de. Para se concluir que uma reta está contida no plano, basta verificar que o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor e que um dos pontos de pertence ao plano, ou seja, tem de satisfazer a equação que define o plano (se um dos pontos de não pertencer a, então a reta não está contida no plano. Assim: A reta definida por, não está contida em pois o seu vetor diretor pode ser e. Portanto, e portanto não é perpendicular a. A reta definida por não está contida em pois o ponto de coordenadas pertence a esta reta mas pertence ao plano, visto que é uma proposição falsa. Portanto, o ponto de coordenadas não satisfaz a equação de. A reta definida por, não está contida em pois o ponto de coordenadas pertence a esta reta mas não pertence ao plano, visto que é uma proposição falsa. Portanto, o ponto de coordenadas não satisfaz a equação de (Além disso um vetor diretor desta reta pode ser e. Portanto, e portanto não é perpendicular a. Um vetor diretor da reta definida por pode ser e o ponto de coordenadas pertence a esta reta. O vetor é perpendicular ao vetor pois. O ponto de coordenadas pertence ao plano porque é uma proposição verdadeira. Portanto, o ponto de coordenadas satisfaz a equação de. Logo a condição pode definir a reta. Resposta: D 4. Tem-se. Portanto, pela definição de limite segundo Heine: Se então (limite notável Resposta: A Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 2

3 5. A afirmação é verdadeira pois:, se é ímpar e, se é par Logo, como a função é contínua em, pelo teorema de Bolzano pode-se concluir que e portanto para todo o, existe pelo menos um tal que, ou seja a equação é possível em,. A afirmação também é verdadeira. De facto, sendo um número natural, tem-se que é contínua em [ ], pois é contínua em. Como, para todo o, e têm sinais contrários, então pelo corolário do teorema de Bolzano, existe pelo menos um ] [ tal que, ou seja, a função tem pelo menos um zero em cada intervalo da forma ] [ e portanto tem infinitos zeros. Cálculos auxiliares: Se é par então é ímpar, então: e Se é ímpar então é par, então: e Portanto, para todo o, e têm sinais contrários. A afirmação é falsa. Considerando a função tem-se que é contínua em, logo é contínua em [ ]. e têm o mesmo sinal e portanto o teorema de Bolzano não permite concluir sobre a existência de zeros da função em [ ] e consequentemente não é possível concluir se a equação é possível ou impossível em [ ]. Assim, a afirmação não é necessariamente verdadeira. Cálculos auxiliares: e Resposta: D 6. A reta é tangente ao gráfico de no ponto de abcissa, onde, logo. Assim, vem: Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 3

4 Logo,. Assim, e portanto rad. Resposta: B 7. As raízes de índice 8 de são dadas por, { }. Como os pontos e são as imagens geométricas de duas raízes de índice 8 de vem que e que. Logo, (. Resposta: B 8. Fazendo e, vem: ( ( ( { { Para vem Para, vem Para, vem Para, vem Para, vem ( ( Para, vem ( Logo as soluções da equação ( são da forma, com { }, portanto a equação tem soluções (a partir de as soluções repetem-se. Resposta: D Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 4

5 GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA Tem-se: ( ( ( ( ( i Cálculo auxiliar: Para escrever na forma trigonométrica vem, (. Sendo um argumento de, tem-se e quadrante, pelo que. Assim,. Tem-se, assim:. Como ] [, vem. Logo: ( ( ( ( 1.2. Para tem-se. Assim vem: ( ( ( ( ( ( ( ( Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 5

6 A condição representa o conjunto de pontos do plano complexo situados entre as circunferências centradas no ponto, afixo do número complexo, e raios e, fronteiras incluídas (a região representada pela condição é uma coroa circular. Fazendo, com, vem: ( ( (. A região do plano definida pela condição é: (z O (z y x 2. Sejam um número complexo não nulo e, a sucessão das raízes índice de, com. Assim, tem-se que:, { }. é uma progressão geométrica de razão, pois: ( Portanto, a soma das raízes índice de é dada por: Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 6

7 Para para ou para ímpar, o número de casos possíveis é (é o número de maneiras de escolher três entre os vértices do prisma. O plano é o plano de equação, pelo que, se é par existem planos estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma, e se é ímpar existem planos estritamente paralelos a que podem ser definidos com vértices do prisma. Como cada um desses planos contém quatro vértices do prisma, então para par o número de casos favoráveis e para ímpar é. Pela regra de Laplace a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, desde que estes sejam equiprováveis. Como qualquer um dos vértices do prisma tem igual probabilidade de ser escolhido, a regra de Laplace pode ser aplicada a este problema. Assim, probabilidade pedida é se é par e se é ímpar Considere-se a variável aleatória : «número de vezes que sai face pintada de azul em seis repetições da experiência». A variável aleatória segue uma distribuição binomial de parâmetros e, isto é, (como se pode ou não escolher a mesma face, em cada uma das seis repetições da experiência a probabilidade de se escolher uma face pintada de azul é sempre. Pretende-se determinar a probabilidade do acontecimento «escolher face pintada de azul» ocorrer no mínimo duas vezes e no máximo quatro vezes, isto é,. Assim: ( ( ( Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 7

8 4. Tem-se: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( independentes i ( ( Tem-se que { } { } Assíntotas verticais A reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função. Como a função é contínua em { }, o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais. Assíntotas não verticais Quando : Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 8

9 ( A reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de, quando. Quando : ( A reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de, quando Tem-se Fazendo vem: i Mudança de base:, com { } e 5.3. Tem-se: { } Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 9

10 Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: i n.d. n.d. p.i. n.d. i Observa que, { }, porque e, { }. O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em ] ], tem a concavidade voltada para cima em [ [ e em ] [ e tem ponto de inflexão em Seja o ponto de interseção do eixo com a reta que contém o ponto e é paralela ao eixo, como representado na figura. Tem-se: [ ] Tem-se e como são., vem que as coordenadas do ponto e Assim: ( Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 10

11 Portanto, [ ]. Tem-se ( ( Assim: ( Cálculos auxiliares: i ii Tem-se que, assim: ( Como ] [ vem Tem-se que, pelo que. Assim: 6.2. A amplitude, em radianos, do arco é, portanto o seu comprimento é igual a. Pretende-se determinar o valor de ] [ de modo que. Utilizando o editor de funções da calculadora, definem-se as funções e na janela de visualização [ ] [ ]. Logo,, com. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 11

12 7. A função é contínua em se e só se. Assim: ( ( ( ( ( ( limite notável i Mudança de variável: Se então. Seja,. Como, tem-se (obviamente que se fica a saber que. ii Mudança de variável: Se então. Seja,. iii Se (limite notável, então. Portanto, como, tem-se. 8. As coordenadas do ponto são do tipo. Como, substituindo as coordenadas de na equação vetorial de vem:, { { { { Portanto,. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 12

13 A reta é tangente á circunferência de centro em no ponto, logo: Além disso os pontos e pertencem à circunferência, assim: Formando um sistema com estas duas equações, determina-se as coordenadas do ponto Assim:, centro da circunferência. { { { { { { Logo as coordenadas do ponto são. O triângulo [ ] é retângulo em se e só se. Assim: [ ] Portanto, o triângulo [ ] é retângulo em. Como e, então: [ ] ( Cálculos auxiliares: ; ;. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 6 Página 13