1.ª FASE 2018 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A ª FASE PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

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1 EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A 08.ª FASE PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Site: Facebook: EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A.ª FASE 08 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

2 CADERNO... Seja X a variável aleatória: X: «número de vezes que a face com o número fica voltada para baio em dez lançamentos do dado» Assim, X é uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros n 0 (dez provas repetidas) e (probabilidade de ocorrer sucesso: no lançamento deste dado, a probabilidade da face com o número ficar voltada para baio é 4 p 4 ), ou seja, X ~ Bin0, 4. Pretende-se determinar o valor de P X 6. Assim: P X 6 C C 0, Resposta: B.. Como f é diferenciável em 0,, vem que f é contínua em 0, e diferenciável em 0,. Assim, pelo teorema de Lagrange, tem-se que: f f 0 f c0, : f c c0, : f c 0 Como para todo o 0, se tem 0 f 9, em particular, vem que fc 0 9 pelo que: f 0 f c f 8 f 9 Resposta: B... As bases do prisma são heágonos regulares, pelo que a amplitude dos seus ângulos internos é 0º. Assim, como PQ 4, vem que QR 4 e portanto: ˆ 6 QP QR QP QR cos PQR PQ QR cos 0º 44 8 Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

3 .. Tem-se que: as faces laterais do prisma são rectângulos, pelo que a sua área lateral é dada por: um vector normal ao plano PQR : y z PQ PS 64 PS 4PS, é,, plano PQR, um vector director da recta PS é n,, e portanto: n pelo que, como a recta PS é perpendicular ao PS :, y, z 4,5,0 k,,, 4 k k y 5 k, k z k o ponto P pertence à recta PS, pelo que as suas coordenadas são da forma 4 k,5 k, k, k. Assim, como P também pertence ao plano PQS, substituindo as suas coordenadas na equação de PQS, vem: 4 k 5 k k k 5 9k k 5 0 4k 8 k Logo, as coordenadas de P são 4,5, 0,, e portanto: PS a medida da área lateral do prisma é 4PS ,6... O número de casos possíveis é 6 C 6 C. Escolhem-se dois vértices de uma das bases do prisma. O número de maneiras de o fazer é 6 C. Para cada uma destas maneiras, eistem 6 C maneiras distintas de escolher dois vértices da outra base do prisma. O número de casos favoráveis é 6. Cada uma das seis faces do prisma tem eactamente quatro vértices, sendo que eactamente dois pertencem a uma das bases e os outros dois pertencem à outra base. 6 Assim, pela Lei de Laplace, a probabilidade pedida é 6 6 0,0 C C 75. Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

4 ... Agrupando num bloco os quatro alunos de Espanhol e noutro bloco os oito alunos de Inglês, estes dois blocos permutam entre si de! maneiras distintas. Para cada uma destas maneiras, os quatro alunos do bloco de Espanhol permutam entre si de 4! maneiras distintas e os oito alunos do bloco de Inglês permutam entre si de 8! maneiras distintas. Logo, o número de maneiras de dispor os doze alunos nas condições do enunciado é! 4! 8! Resposta: D.. Sejam E e I os acontecimentos: E: «o aluno escolhido estuda Espanhol» e I: «o aluno escolhido estuda Inglês» Assim, pelo enunciado tem-se que: PE PI PE I 4PE I Pretende-se PI E P I E. P E Assim, como PE I 4PE I e PE PI, vem que: PE P E I 4P E I P E P I P E I 4P E I P E 5P E I P E I P E 5 Logo, PI E P I E P E 5 P E P E 0, 4 40% 5 Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 4

5 4. Tem-se que: R I L Assim, como 6 L I R e, fazendo as devidas substituições, vem que: I I 6 L I R e R I L 6 6 e e Recorrendo ao editor de funções da calculadora, define-se 6 y e e y na janela 0, 0, : y y y 6 e O a 0,075 Assim, 6 e a, com a 0,075. Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 5

6 0 i i0 5. Tem-se que 0 z cos isen e e cos 0 isen 0. i e. Como Im z Re z, vem que sen 0 cos0 Assim, para cos0 0 e 0, tem-se: arctg sen 0 sen 0 cos0 tg0 0 arctg 0, 0 cos 0 0 Nota: se arctg 0, então cos 0 0, Outra resolução: Tem-se que Im z Re z sen 0 cos0 Recorrendo ao editor de funções da calculadora, define-se y 0,, : sen 0 e cos 0 y na janela y y sen 0 O a 0,0 cos 0 y a, com a 0,0. Assim, sen 0 cos0 Resposta B Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 6

7 6. Seja u n a progressão geométrica onde três dos seus termos consecutivos são a, a 6 e a 8, com a. Assim tem-se que a8 a6 a 6 a, com a 0, a 6 e 8 a, pelo que, para \ 8, 6,0 a, vem: a8 a6 a a a a a 6 a a a a 6 6a 6 a 6 a Sendo r a razão da progressão geométrica u n, tem-se r. Portanto, como a soma dos sete a a 6 6 primeiros termos desta progressão geométrica é 8, vem que: S 8 u 8 u 8 7u 8 u u 7 u n Outra resolução: Seja u a progressão geométrica onde três dos seus termos consecutivos são a, a 6 e a 8, com a e r a sua razão. Tem-se que a 6 ar () e que a 8 ra 6 (). De (), vem que a 8 r a 6 a 8 ar 6r ar a 8 6r, pelo que, substituindo em (), tem-se: a 6 ar a 6 a 8 6r 6r 8 6 6r r ara8 6r Portanto, como a soma dos sete primeiros termos desta progressão geométrica é 8, vem que: S 8 u 8 u 8 7u 8 u u 7 u Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 7

8 7. Tem-se que: a circunferência está centrada na origem em contém o ponto A, que pertence ao semi-eio positivo O e tem abcissa, pelo que uma equação da circunferência é y y 4; os pontos B e F têm abcissa, pelo que uma equação da recta BF é ; os pontos C e E têm abcissa, pois são os simétricos, respectivamente, de B e F em relação ao eio Oy, pelo que uma equação da recta CE é. C y B y sen 0 D O A E F Assim, uma condição que define a região sombreada da figura é y 4. Mas como a condição é equivalente à condição, vem que outra condição que define a região sombreada da figura é y 4. Resposta C Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 8

9 CADERNO Tem-se que: k k k y y r : z k y k y k, k z z 0k z 0k Portanto, um vector director da recta r é r,,0. Todos os pontos da recta r têm cota, pelo que sendo r,,0 um seu vector director, só a equação vectorial da opção A pode representar a recta r. De facto, o ponto de coordenadas,0, pertence à recta r, pois, substituindo as suas coordenadas na condição cartesiana que define a recta r, obtém-se uma proposição verdadeira: 0 Proposição verdadeira Uma equação cartesiana da recta r é, y, z,0, k,,0, k. Resposta A 8.. Tem-se que: para,, sen se e somente se, pelo que arcsen ; para 0,, cos se e somente se, pelo que arccos 7 arcsen arccos 6 Resposta A Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 9

10 9. Tem-se que: 5 i i i 4 i i i w 5 i i i i i i 5 i 4i 5 i i 5 Escrevendo então w na forma trigonométrica vem: w i 4 sendo um argumento de w, tem-se tg, com 4.º Q, pelo que. i Logo, w e. Como w é uma raiz quarta de z, as restantes raízes quartas de z são: i i 4 6 e e, i i 6 4 e e e i 7 i 4 6 e e 6 Como se pretende a raiz quarta de z cujo afio pertence ao primeiro quadrante, o número compleo pedido é e. i Recorrendo a uma tabela de dupla entrada tem-se: Assim, tem-se que X 0,,,6 e P X 0, P X, P X 6, pelo que k 0. 6 P X e 6 Resposta: D Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 0

11 0.. Tem-se que u n n n n k n k k k lim n lim lim lim e. n n n n Como o limite da sucessão u n é solução da equação ln, vem que: e e e k k ln ln e k k 4 Resposta: D. Tem-se que ln 4ln ln ln b a b a b a 4 4, pelo que: a b a a a a 0 0 a Cálculo auiliar: Recorrendo a uma tabela: n.d. 0 Logo, o conjunto solução da equação dada é,0,. Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

12 ... Tem-se que: para, g e, pelo que: 4 e g 0 0 e e 0 0 e e e Condição impossível Logo, a função g não tem zeros em. para 0,, g sen, pelo que g Logo, a função g não tem zeros em 0, sen 0 sen Condição universal em A função g não tem zeros. Resposta: A.. A função g é contínua em 0 se lim g lim g g Assim: 0 0 y e e e e lim g lim lim lim lim 4 y y y Limite notável lim g lim 0 0 sen sen 0 sen 0 0 g 0 sen 0 sen 0 0 Portanto, lim g lim g g 0 0 0, pelo que g é contínua em 0. Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

13 .. Para 0,, tem-se que g sen, pelo que: 0 sen sen 0 sen cos cos g sen sen sen cos g 0 0 cos 0 sen 0 cos 0 sen Condição universal em k, k k, k 4 Assim, se k 0, então ; 0, se k, então 4 4 ; 0, se k, então 5 5 ; 0, se k, então ; 0, Portanto, os zeros de g que pertencem ao intervalo 0, Recorrendo a uma tabela de variação do sinal de g, vem: são e cos 0 0 sen g 0 0 g má. mín. má. Logo, para 0,, a função g é decrescente em, 4 4 e é crescente em 0, 4 e em, 4. Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

14 A função g tem: um mínimo relativo em que é 4 g ; 4 sen sen 4 um máimo relativo em que é 4 g 4 sen sen ; 4 um máimo relativo em que é g sen 0. * Nota: tem-se que 5, 6 4 e cos cos cos 0 ; 6 6 tem-se que, 4 4 cos cos cos 0 ; e tem-se que 0, 6 4 e cos cos cos A função f é contínua em 0, pois é o quociente entre duas funções contínuas no seu domínio (uma polinomial e outra trigonométrica). Portanto, se o gráfico de f tiver assimptotas verticais será nos pontos 0 e, que são os únicos pontos aderentes ao seu domínio e que não lhe pertencem. Assim: lim f lim, pelo que a recta de equação 0 não é assimptota vertical do sen sen lim 0 gráfico de f ; Limite notável lim lim f sen sen, pelo que a recta de equação é assimptota vertical do 0 gráfico de f. A recta de equação é a única assimptota vertical do gráfico de f. Resposta: B Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 4

15 4. Tem-se que: as coordenadas do ponto P são a, ha, pelo que como ha ln a, vem que a ln a Pa, a ; as coordenadas do ponto Q são a, ha, pelo que como ha ln a a, vem que ln a Q a,. a Portanto, declive da recta PQ é dado por: m PQ ln a ln a ln a ln a a ln y ln a ln Q yp h a h a a a a a a ln a a a a a a a a a a a Q P Sejam A e B os pontos de intersecção da recta PQ com o eio O e com o eio Oy, respectivamente, sendo então AOB o triângulo rectângulo definido pela recta PQ e os eios coordenadas (na figura não está representado o gráfico de h): y y O A Q P B O triângulo AOB é isósceles se OA OB, pelo que a recta PQ terá de ser paralela à bissectriz dos quadrantes ln a ímpares e portanto o seu declive terá de ser igual a, isto é,. a Assim, seja g a função definida em, g a por Cauchy, que a equação ga tem pelo menos uma solução em ln a e vamos provar, utilizando o teorema de Bolzano- a,. Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 5

16 Tem-se que: a função g é contínua em, pois é a composição e o quociente entre funções contínuas no seu domínio (funções racionais, polinomiais e logarítmicas). ln ln 4 ln 4 ln 4 4 g Como 4 e, vem que 4 e ln4 ln e ln4 ln4 ln4, pelo que g. ln ln ln g Como e, vem que ln ln e ln ln e ln g., pelo que Logo, como g g g a, pelo teorema de Bolzano-Cauchy a equação ln a tem pelo menos a uma solução em, e consequentemente tem pelo menos uma solução em,, pois,,. Assim, conclui-se que eiste pelo menos um é isósceles. a, tal que o triângulo rectângulo AOB (referido no enunciado) F I M Eame Nacional Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 6