ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A. Tema III Trigonometria e Números Complexos

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº 14 (entregar até à aula do dia /05/009) 1. Seja g uma função de domínio IR + Sabe-se que a recta de equação y = + é assímptota do gráfico de g. Indique o valor de + ( ) g lim ( g( ) ) (A) 0 (B) 5 (C) 6 (D) +. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico. Considere que um ponto P parte de A ( 1,0 ) e se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa, em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é a semi-recta O i A etremidade é a semi-recta OP i ( [ 0, ]) π. e cujo lado Seja g a função que, a cada valor de, faz corresponder a área da região sombreada (região limitada pelos segmentos de recta [ OP ],[ PA ] e[ AO ] ). Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função g?. Seja g uma função, de domínio, tal que a sua segunda derivada é definida por Professora: Rosa Canelas 1

2 g () = 1 Em qual das figuras seguintes poderá estar parte da representação gráfica da função g? 4. Seja f a função de domínio [,] definida por: ( ) f e 1+ se < 0 = + ln( 1 + ) se 0 Na figura está representado o gráfico da função f. Tal como a figura sugere: A é o ponto do gráfico de f de ordenada máima a abcissa do ponto A é positiva 4.1. Utilizando métodos eclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: Determine a abcissa do ponto A Mostre que tal como a figura sugere, f é contínua no ponto Na figura está novamente o gráfico de f, no qual se assinalou um ponto B, no segundo quadrante. A recta r é tangente ao gráfico de f, no ponto B. Considere o seguinte problema: Determinar a abcissa do ponto B, sabendo que a recta r tem declive 0,. Professora: Rosa Canelas

3 Traduza este problema por meio de uma equação e, recorrendo à calculadora, resolva-a graficamente, encontrando assim um valor aproimado da abcissa do ponto B. Pode realizar algum trabalho analítico antes de recorrer à calculadora. Reproduza na sua folha de prova o(s) gráfico(s) obtido(s) na calculadora e apresente o valor pedido arredondado às centésimas. 5. Na figura 1 está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio IR + 0. Em cada uma das figuras abaio está representada parte do gráfico de uma função de domínio IR + 0. Uma das funções representadas é h, primeira derivada de h, e a outra é h, segunda derivada de h. Numa pequena composição, eplique em qual das figuras está representado o gráfico da primeira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada. Na sua composição, deve referir-se à variação de sinal das funções h e h, relacionando-a com características da função h (monotonia e sentido das concavidades do seu gráfico). 6. Sejam os números compleos do tipo z = + yi;,y IR 6.1. Determine e y de modo que: z seja o conjugado do número compleo representado por 1 i ; o afio do número compleo, representado por iz, pertença ao semieio real positivo; i ( i ) z = 6.. Verifique se eiste algum z que seja solução da equação w = iw +. Professora: Rosa Canelas

4 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº 14 Proposta de resolução (entregar até à aula do dia /05/009) 1. (C) Seja g uma função de domínio IR + Sabe-se que a recta de equação y = + é assímptota do gráfico de g. ( ) g O valor de lim ( g( ) ) é 6. + Esta resposta resulta da aplicação das fórmulas para a determinação da equação de uma ( ) g assímptota oblíqua: m = lim ± e b = lim ( g( ) m) ± Como da equação y = + da assímptota concluímos ser o declive da recta m = e a ordenada na origem da recta b= o valor pedido é o produto do declive pela ordenada na origem.. (A) Na figura junta está representado o círculo trigonométrico. Considere que um ponto P parte de A ( 1,0 ) e se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa, em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é a semi-recta O i A etremidade é a semi-recta OP i ( [ 0, ]) π. Seja g a função que, a cada valor de, faz corresponder a área da região sombreada (região limitada pelos segmentos de recta [ OP ],[ PA ] e[ AO ] ). e cujo lado Só o gráfico seguinte pode ser o da função g? Porque quando é zero ou π a área do triângulo é zero por a altura ser zero, (eclui as respostas (C) e (D)) além disso a área do triângulo não pode ser negativa (eclui a resposta (B)). (C) Seja g uma função, de domínio, tal que a sua segunda derivada é definida por g () = 1 Em qual das figuras seguintes poderá estar parte da representação gráfica da função g? Professora: Rosa Canelas 4

5 A segunda derivada indica-nos os pontos de infleão e o sentido das concavidades. Atendendo a que g () = 1 tem dois zeros e por ter o coeficiente de negativo é positiva entre os zeros e negativa fora. Assim vamos ecluir as respostas (A) e (B) por serem gráficos só com um ponto de infleão e vamos escolher (C) em vez de (D) porque se a segunda derivada é positiva entre os zeros nesse intervalo a concavidade está voltada para cima. 4. Seja f a função de domínio [,] definida por: ( ) f e 1+ se < 0 = + ln( 1 + ) se 0 Na figura está representado o gráfico da função f. Tal como a figura sugere: A é o ponto do gráfico de f de ordenada máima a abcissa do ponto A é positiva 4.1. Utilizando métodos eclusivamente analíticos, resolvamos as duas alíneas seguintes: Determinemos a abcissa do ponto A, estudando o sinal da função derivada no intervalo ] 0, ] 1 + ln 1+ = 1+ = + = ( ( ) ) f ( ) = 0 ] 0,] = 0 = 1+ 0 ( ( ) ) + ln ln( 1+ ) M 7 10 A abcissa do ponto A é então Mostremos que tal como a figura sugere, f é contínua no ponto 0. Calculemos: f( 0) = 0+ ln1= Professora: Rosa Canelas 5

6 e 1+ e 1 lim lim lim 1 1 = + = + = ( ( )) lim + ln 1+ = 0 + ln1= + 0 Concluímos então que lim f ( ) lim f ( ) f ( 0) contínua em = = = o que prova ser a função 4.. Na figura está novamente o gráfico de f, no qual se assinalou um ponto B, no segundo quadrante. A recta r é tangente ao gráfico de f, no ponto B. Considere o seguinte problema: Determinar a abcissa do ponto B, sabendo que a recta r tem declive 0,. Vamos traduzir este problema por meio de uma equação e, recorrendo à calculadora, resolve-la graficamente, encontrando assim um valor aproimado da abcissa do ponto B. e 1 + Dado que o ponto B tem abcissa negativa vamos considerar f( ) = [,0[ Podíamos realizar algum trabalho analítico antes de recorrer à calculadora que consistia em calcular a derivada, mas a calculadora também a pode representar sem que a calculemos. e 1+ O que se pretende é resolver a equação = 0, Reproduzimos em seguida, além do gráfico obtido na calculadora, a indicação de como temos de introduzir as funções para obtermos a representação da derivada e da janela que utilizámos e finalmente apresentamos o valor pedido arredondado às centésimas que é -1,. 5. Na figura 1 está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio IR + 0. Em cada uma das figuras abaio está representada parte do gráfico de uma função de domínio IR + 0. Professora: Rosa Canelas 6

7 Uma das funções representadas é h, primeira derivada de h, e a outra é h, segunda derivada de h. Numa pequena composição, epliquemos em qual das figuras está representado o gráfico da primeira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada. Composição: Da análise do gráfico da função h podemos concluir que ele apresenta um máimo em um mínimo em = a e que em = b tem um ponto de infleão. = ce Como entre o mínimo e o máimo a função é crescente terá de ser o gráfico da figura que representa a função h por ter dois zeros em = a e em = c e entre estes dois pontos a função derivada ser positiva. Fora do intervalo [ a,c ] a derivada é negativa e a função h decrescente. A figura dois vai representar a função h por apresentar um zero em = b e por ser positiva antes de b e negativa depois, está de acordo com a concavidade voltada para cima antes de b e voltada para baio depois de b que analisámos no gráfico da figura Sejam os números compleos do tipo z = + yi;,y IR 6.1. Determinemos e y de modo que: z seja o conjugado do número compleo representado por 1 i ; = = 1 + i 1 z yi yi i = + = + = i 1 1 y = y = o afio do número compleo, representado por iz, pertença ao semieio real positivo, isto só acontece se a parte real for positiva e o coeficiente da parte imaginária for zero. iz = i( + yi) = i y = y i y > 0 = 0 = 0 y < i 1 = i i = i i = 1 i z = z = z = + i z z z 1 i ( ) ( ) Professora: Rosa Canelas 7

8 = = 5 5 z = + i + yi= + i y = y = Verifiquemos se eiste algum z do tipo z = + yi;,y IR que seja solução da equação w = iw +. = y y = y + yi = i( + yi) + yi = ( y) i y = = y 0y = sistema impossível não há nenhum compleo que sendo da forma = y z = + yi;,y IR seja solução da equação w = iw +. Professora: Rosa Canelas 8

9 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS 1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Compleos CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DO TPC nº (C) 5 Pontos. (A) 5 Pontos. (C) 5 Pontos 4. 0 Pontos Pontos Calcular a derivada ( ( ) ) 1 + ln 1+ = 1+ = + = Calcular os zeros da derivada ( ) ] ] f = 0 0, = 0 = 1+ Pontos Pontos Fazer a tabela de sinal e variação Pontos Dar a resposta A abcissa do ponto A é então. Pontos f( 0) = 0+ ln1= 10 Pontos Pontos e 1+ e 1 lim lim lim 1 1 = + = + = Pontos ( ( )) lim + ln 1+ = 0 + ln1= Pontos + 0 Porque lim f ( ) lim f ( ) f ( 0) = = a função é contínua em = 0 Pontos Pontos Escrever a equação e 1+ = 0, Pontos Apresentação do gráfico com a derivada e a recta no intervalo [-,0] 5 Pontos Apresentar a resposta -1, devidamente arredondada Pontos 5. 0Pontos Escolha correcta dos gráficos 5 Pontos Justificação correcta para cada gráfico 10 Pontos Qualidade da redacção 5 Pontos Professora: Rosa Canelas 9

10 Pontos 8 Pontos Escrever z = 1 i Pontos Calcular 1 1 i i = Pontos Aplicar a igualdade 1 = = yi i + = 1 1 y = y = 9 Pontos Pontos Calcular iz = i( + yi) = i y = y i 4 Pontos Aplicar as condições para z pertencer ao eio ser real positivo y > 0 = 0 = 0 y < 0 4 Pontos Pontos Calcular ( ) i i = 1 i Pontos 1 1+ i 1 Calcular z = z = z = + i 1 i = = 5 5 Aplicar a igualdade z = + i + yi= + i y = y = 5 15 Pontos Pontos Pontos Substituir w por + yi Pontos Escrever ambos os membros da equação na forma yi= ( y) i Pontos = y y = y Aplicar a igualdade yi= ( y) i y = = y Pontos sistema impossível Reconhecer que não há nenhum z que verifique a equação Pontos Professora: Rosa Canelas 10