Grupo I. Cotações 1. A Maria gravou nove CD, sete com música rock e dois com música popular, mas esqueceu-se 5 de identificar cada um deles.

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1 Exames Nacionais EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n. 74/004, de 6 de Março Prova Escrita de Matemática A. Ano de Escolaridade Prova 6/.ª Fase Duração da Prova: 0 minutos. Tolerância: 0 minutos 009 Grupo I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleccione a única alternativa correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a alternativa seleccionada. Não apresente cálculos nem justificações. Cotações. A Maria gravou nove CD, sete com música rock e dois com música popular, mas esqueceu-se de identificar cada um deles. Qual é a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, um ser de música rock e o outro ser de música popular? (A) 7 6 (B) 4 (C) 9 (D) 7 8. Admita que um estudante tem de realizar dois testes no mesmo dia. A probabilidade de ter classificação positiva no primeiro teste é 0,7, a de ter classificação positiva no segundo teste é 0,8, e a de ter classificação negativa em ambos os testes é 0,. Qual é a probabilidade de o estudante ter negativa no segundo teste, sabendo que teve negativa no primeiro teste? (A) 8 (B) 7 (C) (D)

2 .ª fase 009. Uma certa linha do Triângulo de Pascal é constituída por todos os elementos da forma 4 C p. Escolhido, ao acaso, um elemento dessa linha, qual é a probabilidade de ele ser o número 4? (A) (B) 4 (C) (D) 4 4. Seja a função f, de domínio R, definida por f (x) = e x +. Qual dos pontos seguintes pertence ao gráfico de f? (ln designa logaritmo de base e.) (A) (-, 0) (B) (ln, e) (C) (ln, 6) (D) (-, e). Na figura, estão representadas parte do gráfico de uma função f, de domínio [-, +?[, e parte da recta r, que é a única assimptota do gráfico de f. Fig. f (x) Qual é o valor de lim? x "+? x (A) - (B) 0 (C) (D)

3 Exames Nacionais 6. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função f ', derivada de f, ambas de domínio R, em que o eixo Ox é uma assimptota do gráfico de f '. Seja a função g, de domínio R, definida por g (x) = f (x) + x. Fig. Qual das figuras seguintes pode representar parte do gráfico da função g', derivada de g? (A) (B) (C) (D) 7. Seja k um número real, e z = (k - i) ( - i) um número complexo. Qual é o valor de k, para que z seja um número imaginário puro? (A) - (B) - (C) (D)

4 .ª fase Na figura, está representada uma região do plano complexo. O ponto A tem coordenadas (, - ). Fig. Qual das condições seguintes define em C, sombreada, incluindo a fronteira? conjunto dos números complexos, a região (A) \z - \z - ( - i) Re (z) Im (z) - (B) \z - \z - ( - i) Re (z) Im (z) - (C) \z + \z - ( + i) Re (z) Im (z) - (D) \z - \z - ( - i) Im (z) Re (z) - Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.. No conjunto dos números complexos, seja z = cis p ( + i) 4 cis p Determine z na forma algébrica, sem recorrer à calculadora.. Considere, em C, um número complexo w, cuja imagem geométrica no plano complexo é um ponto A, situado no. quadrante. Sejam os pontos B e C, respectivamente, as imagens geométricas de w (conjugado de w) e de (- w). Sabe-se que BC = 8 e que \w =. Determine a área do triângulo [ABC].

5 Exames Nacionais. Seja W o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos tais que A ƒ W, B ƒ W e P (B) 0 0. Mostre que - P (A B) * P (B) - P (A B) = P ( A). (P designa probabilidade, A designa o acontecimento contrário de A, e P (A B) designa a probabilidade de A dado B.) 4. Considere um baralho com cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros, Espadas e Paus). Em cada naipe, há um Ás, três figuras (uma Dama, um Valete, um Rei) e mais nove cartas (do Dois ao Dez). 4.. Retiram-se cinco cartas do baralho, que são colocadas lado a lado, em cima de uma mesa, segundo a ordem pela qual vão sendo retiradas. Quantas sequências se podem formar com as cinco cartas retiradas, caso a primeira carta e a última carta sejam ases, e as restantes sejam figuras? 4.. Admita que, num jogo, cada jogador recebe três cartas, por qualquer ordem. Qual é a probabilidade de um determinado jogador receber exactamente dois ases? 4 C * 48 Uma resposta correcta a esta questão é. C Numa pequena composição, justifique esta resposta, fazendo referência: à Regra de Laplace; ao número de casos possíveis; ao número de casos favoráveis.. Seja f a função, de domínio 0, p, definida por f (x) = sin (x) cos x. 4.. Determine, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa 0... No domínio indicado, determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, um valor, aproximado às décimas, da área do triângulo [ABC], em que: A é o ponto do gráfico da função f cuja ordenada é máxima; B e C são os pontos de intersecção do gráfico da função f com a recta de equação y = 0,. Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou gráficos, visualizado(s) na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial. Desenhe o triângulo [ABC], assinalando os pontos que representam os seus vértices. Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casas decimais.

6 .ª fase Considere a função h, de domínio R, definida por a d h(x) = b d c œx x se x > 0 se x = 0 e x - x se x < 0 Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, os dois itens seguintes. 6.. Estude a continuidade de h no domínio R. 6.. Estude a função h quanto à existência de assimptotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva as suas equações. 7. Numa certa zona de cultivo, foi detectada uma doença que atinge as culturas. A área afectada pela doença começou por alastrar durante algum tempo, tendo depois começado a diminuir. Admita que a área, em hectares, afectada pela doença, é dada, em função de t, por A (t) = - t + ln (t + ) sendo t (0 t < 6) o tempo, em semanas, decorrido após ter sido detectada essa doença. Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, os dois itens seguintes. 7.. Quando a doença foi detectada, já uma parte da área de cultivo estava afectada. Passada uma semana, a área de cultivo afectada pela doença aumentou. 0 De quanto foi esse aumento? Apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas. 7.. Determine a área máxima afectada pela doença. Apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais. FIM

7 Sugestão de resolução. Número de casos possíveis: Grupo I 9 C = 6 (número de subconjuntos de dois CD que é possível definir no conjunto dos nove CD.) CAESMA Porto Editora Número de casos favoráveis: 7 * = 4 (número de maneiras de escolher um CD com música rock, em sete, e outro de música popular, em dois.) 4 Probabilidade pedida: P =. 6 = 7 8 Resposta: (D).. Sejam A e B os acontecimentos: A : o estudante tem classificação positiva no primeiro teste ; B : o estudante tem classificação positiva no segundo teste. É dado que P (A) = 0,7 ; P (B) = 0,8 e P ( ) = 0,. Pretende-se determinar P ( \ ) que é igual a. A Como P ( ) = - P (A) = - 0,7 = 0,, B A vem P ( \ ) = =. Resposta: (C). B P (A B ) P (A ) A 0, 0, = A B P (B A ) P (A ). No Triângulo de Pascal, a linha formada por elementos da forma 4 C p tem elementos, pois p é um número inteiro que varia entre 0 e 4. Entre estes elementos existem dois iguais a 4 que são 4 C e 4 C. Portando, a probabilidade pedida é igual a. Resposta: (C). 4. f (x) = e x + f (- ) = e - + = e 0 = Como f (- ) 0 0, o ponto de coordenadas (-, 0) não pertence ao gráfico de f. f (ln ) = e ln + = e ln * e = e O ponto de coordenadas (ln, e) pertence ao gráfico de f. Resposta: (B).

8 .ª fase 009. A recta r é assimptota do gráfico de f quando x "+?. Dado que a recta r passa nos pontos de coordenadas (0, - ) e (, 0) o seu declive, m, é dado por = f (x) Portanto, lim = m =. x "+? x Resposta: (C). 6. g (x) = f (x) + x g'(x) = (f (x) + x)' = f'(x) + O gráfico de g' é obtido deslocando uma unidade o gráfico de f' na direcção do eixo Oy e no sentido positivo, ou seja, por uma translação associada ao vector de coordenadas (0, ). Então, se a recta de equação y = 0 é uma assimptota do gráfico de f', a recta de equação y = é uma assimptota do gráfico de g'. Resposta: (D). 7. z = (k - i) ( - i) = k - k i - i +i = k - k i - i - = k - - k i - i = (k - ) - (k + ) i z é um imaginário puro se k - = 0. k - = 0 k = k = Resposta: (C). 8. A região sombreada é definida pela condição \z - \z - ( - i) Re (z) Im (z) - Resposta: (A). cis p ( + i) Grupo II cis 7p 7 + ( + i) ( + i) cis p + (4 + 4i + i. z = = = ) ( + i) = 4 cis p CAESMA Porto Editora - + (4 + 4i - ) ( + i) - + ( + 4i) ( + i) i + 8i + 4i = = = + i - 4 = = ( + i) * (4i) 4i + 44i i = = = = + = () * (4i) - 6i i 4 i

9 Exames Nacionais. A é a imagem geométrica de w e A é um ponto do. quadrante; Se B é a imagem geométrica de w, então B é o simétrico de A relativamente ao eixo real; Se C é a imagem geométrica de (-w), então C é o simétrico de A relativamente à origem do referencial. Atendendo a que \w = vem que OA = e, portanto, AC = 0. Dado que o triângulo [ABC] é rectângulo em B, AC = 0 e BC = 8, vem AC = BC + AB 0 = 8 + AB Então, como CAESMA Porto Editora AB > 0, AB = œ0-8 AB = œ6 AB = 6 BC * AB A [ABC] = = 8 * 6 = 4 A área do triângulo [ABC] é igual a 4 unidades de área.. - P (A \B) * P (B) - P (A B) = P (A B) = - * P (B) - P (A B) = P (B) = - P (A B) - P (A B) = = - (P (A B) + P (A B)) = = - P ((A B) (A B)) = = - P (A (B B)) = = - P (A W) = = - P (A) = A = P ( ) c.q.d. Os conjuntos A B e A B são disjuntos Propriedade distributiva da intersecção de conjuntos relativamente à reunião O número pedido é dado por: 4 A * A = 840 fl fl " Número de maneiras de escolher ordenadamente três figuras entre as doze existentes no baralho. fl " Número de maneiras de escolher ordenadamente dois ases entre os quatro existentes no baralho. Em alternativa, o número de sequências que é possível obter também podia ser expresso por: 4 * * * 0 * = Segundo a Regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis, se estes forem todos equiprováveis. O número de casos possíveis é dado por C que corresponde ao número de subconjuntos de três cartas que é possível definir no conjunto das cartas do baralho.

10 .ª fase 009 Há 4 C hipóteses de escolher dois ases entre os quatro existentes no baralho. Como se pretende que a terceira carta não seja um ás, esta pode ser escolhida de 48 maneiras diferentes. Assim, o número de casos favoráveis é dado por 4 C * C Aplicando a Regra de Laplace, a probabilidade pedida é dada por * 48. C. f (x) = sin (x) cos x, D f =.. f'(x) = (sin (x))' cos x + sin (x) (cos x)' = = (x)' cos (x) cos x + sin (x) (- sin x) = cos (x) cos x - sin (x) sin x Seja y = mx + b a equação pedida. Ponto de tangência: f (0) = sin ( * 0) * cos 0 = 0 P (0, 0) Declive: m = f' (0) = cos ( * 0) * cos 0 - sin ( * 0) * sin 0 m = Sendo m = e a ordenada na origem igual a zero, a equação pretendida é y = x... Recorrendo à calculadora gráfica determinou-se o máximo de f, bem como os pontos de intersecção do gráfico da função com a recta de equação y = 0,. Foram obtidos os seguintes gráficos e valores: Altura do triângulo [ABC] : 0,77-0, = 0,47 Base do triângulo [ABC] :, - 0, = * 0,47 A [ABC] = ) 0, 0, p 4 A área do triângulo é igual a 0,. CAESMA Porto Editora 6. a œx x se x > 0 d h (x) = b se x = 0 d e x - c se x < 0 x 6.. No intervalo ]-?, 0[, a função é contínua, pois é o quociente de duas funções contínuas: uma, que é a diferença entre a composta de uma função exponencial com uma função polinomial e uma função constante, e outra, que é uma função polinomial. No intervalo ]0, +?[, a função é contínua, pois é a diferença de duas funções contínuas: uma, que é a raiz quadrada de uma função polinomial e outra que é, também, uma função polinomial. No ponto x = 0 : lim h (x) = lim e x - = lim e x - = * = ; x " 0 - x " 0 - x x " 0 - x

11 Exames Nacionais lim h (x) = lim = œ4 = ; x " 0 + h (0) =. Como lim h (x) = lim h (x) = h (0), a função h é contínua no ponto 0. x " 0 - x " 0 + (œx x) x " 0 + CAESMA Porto Editora Assim, a função h é contínua em R. 6.. Não existem assimptotas verticais, porque a função é contínua em R. Assimptotas horizontais: lim x "-? h (x) = lim e x - = 0 - = 0 x "-? x -? A recta de equação y = 0 é assimptota do gráfico de h quando x "-?. lim x "+? h (x) = lim = x "+? (œx x) lim x "+? (œx x) * (œx x) œx x x = x 4 4 lim = lim = = 0 x "+? x "+? +? œx x œx x A recta de equação y = 0 é também assimptota do gráfico de h quando x " +?. Esta recta é, assim, a única assimptota do gráfico de h. 7. A (t) = - t + ln (t + ), 0 t < A (0) = ln (0 + ) = + ln () = + * 0 = A () = - + ln ( + ) = + ln A () - A (0) = + ln - ),47 Passada uma semana, a área de cultivo afectada pela doença aumentou, aproximadamente,,47 hectares. (t + )' 7.. A'(t) = ( - t + ln (t + ))' = =- + t + t + - t - + A' (t) = = 0 = 0 t + t + - t + 4 = 0 - t + 4 = 0 t t = 4 t + Sinal de A'(t) e variação de A : t A'(t) A (t) Máx. A (4) = ln (4 + ) = - + ln ) 6,0 A área máxima afectada pela doença é de, aproximadamente, 6,0 hectares.