EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 PROVA 435/9 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Duração da prova: 120 minutos Época Especial 2001 Setembro PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, subdivididas em alíneas, num total de dez. Na página 9 deste enunciado encontra-se um formulário. 435/1

2 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Seja 0 uma função de domínio, estritamente crescente. Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A) A função 0 não pode ter mais do que um zero. () A função 0 tem contradomínio. (C) O gráfico da função 0 tem a concavidade voltada para cima. (D) O gráfico da função 0 é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. 2. Para um certo número real +, o gráfico da função 1, definida por 1ÐÑ œ + $, tem, no ponto de abcissa 1, uma recta tangente com declive. Qual é o valor de +? " $ (A) () (C) (D) 3. Considere uma função 2, contínua em Ï $, tal que: lim 2ÐÑ œ & lim 2ÐÑ œ lim 2ÐÑ œ! Ä Ä 3 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? Ä (A) O gráfico da função 2 não tem assimptotas verticais. () O gráfico da função 2 não tem assimptotas horizontais. (C) A função 2 tem mínimo absoluto. (D) A equação 2ÐÑ œ tem pelo menos uma solução. 435/2

3 4. Num referencial o. n. SCD, considere a superfície esférica de equação C D œ ". Um ponto T desloca-se sobre o diâmetro que está contido no eixo SD. Para cada posição do ponto T, considere o cone, inscrito na superfície esférica, que tem por base o círculo cujo centro é o ponto T e que tem por vértice o ponto Ð!ß!ß"Ñ. Seja 0 a função que faz corresponder, à cota - do ponto T, o volume Z do referido cone. Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função 0? (A) () (C) (D) 435/3

4 5. Uma estante tem oito prateleiras. Pretende-se expor, nessa estante, seis peças de porcelana: duas jarras iguais e quatro pratos diferentes. De quantas maneiras podem ser expostas as seis peças nas oito prateleiras, de tal modo que não fique mais do que uma peça em cada prateleira? (A) (C) ) G ' E () ) E x ) G ) E (D) ) E ' G 6. Uma turma M tem sete rapazes e cinco raparigas. Uma turma N tem seis rapazes e seis raparigas. Escolhe-se, ao acaso, uma turma e, seguidamente, um elemento dessa turma. Considere os acontecimentos: \ : «a turma escolhida é a turma M»; ] : «o elemento escolhido é rapariga». Indique o valor da probabilidade condicionada TÐ] l\ñ. " & ( "" (A) () " (C) " (D) 7. Considere, no plano complexo, o conjunto representado na figura. A circunferência tem raio 2 e é tangente aos eixos. A recta < contém a origem do referencial e o centro da circunferência. Qual das condições seguintes, definidas em fronteira?, define a região sombreada, incluindo a $ 1 (A) ld 3l Ÿ Ÿ +<1ÐDÑ Ÿ1 $ () ld " 3l 1 Ÿ Ÿ +<1ÐDÑ Ÿ1 (C) ld 3l 1 $ " Ÿ Ÿ +<1ÐDÑ 1 Ÿ 1 $ 1 (D) ld 3l Ÿ Ÿ +<1ÐDÑ Ÿ 435/4

5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Em, conjunto dos números complexos, considere D " œ"'-3= 1 Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes: 1.1. Mostre que D " é solução da equação 3D œ ( 3 designa a unidade imaginária e designa o conjugado de ). D D D 1.2. Determine a área do polígono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes quartas de. D " 2. Um saco contém sete bolas, numeradas de 1 a 7, indistinguíveis ao tacto. Retiram-se sucessivamente, de forma aleatória, duas bolas do saco, repondo-se a primeira bola antes de se retirar a segundaþ Qual é a probabilidade de saírem dois números cuja soma seja igual a quatro? Apresente o resultado na forma de fracção. 3. Seja W o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam E e F dois acontecimentos ( E W e F W ). Sabendo que E e F são independentes, prove que TÐE FÑ œ TÐEÑ TÐFÑ TÐEÑ ( T designa probabilidade e E designa o acontecimento contrário de E). 435/5

6 4. Considere a função, de domínio, definida por 0ÐÑ œ ln ( ln designa logaritmo de base / ) 4.1. Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes: Estude a função 0 quanto à existência de assimptotas verticais Investigue se a função 0 tem máximo e, em caso afirmativo, determine-o A equação 0ÐÑ œ " tem exactamente duas soluções. Recorrendo à sua calculadora, resolva graficamente esta equação. Apresente as soluções com aproximação às décimas. Explique como procedeu, apresentando o gráfico, ou gráficos, em que se baseou para dar a sua resposta. 5. Na figura ÒEFGHÓ é um quadrado de lado ". ÒELFÓ, ÒFKGÓ, ÒGJ HÓ e ÒHIEÓ são triângulos rectângulos iguais. designa a amplitude do ângulo LFE Mostre que a área da superfície sombreada é dada, em função de, por 1 0ÐÑ œ " sen cos!ß Calcule 0 e interprete geometricamente o valor obtido (deve incluir, na sua interpretação, a figura que se obtém para œ 1 ). Ó Ó 435/6

7 6. Uma criança, sentada num baloiço, é largada de uma certa altura. Suponha que a criança não dá balanço, apenas aguarda que o baloiço pare. De entre os gráficos seguintes, apenas um deles corresponde à função que dá a distância do baloiço ao chão, > segundos após o início do movimento. Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4 Qual é o gráfico correcto? Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique as razões que o levam a rejeitar os outros três. Note bem: Não necessita de explicar por que razão considera adequado o gráfico por si escolhido como correcto. Deve limitar-se a explicar o que o leva a afirmar que os outros estão incorrectos, indicando três razões diferentes (uma por cada gráfico rejeitado). Mais precisamente: para cada um dos gráficos que considera incorrecto, deve explicitar uma (e só uma) razão pela qual o rejeita, explicando a sua inadequação, relativamente à situação descrita. FIM 435/7

8 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL /8

9 Formulário Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: < ( < raio) Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ 8 3 ) 8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " ln Ð "Ñ / œ" œ" : œ Ð: Ñ 435.V1/9