EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

Transcrição

1 PROVA 435/11 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE ª CHAMADA VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1

2 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de dez. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2

3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Seja 2 a função, de domínio, definida por "/ =/! 2ÐÑ œ =/ œ! $ =/! Relativamente à continuidade da função 2, no ponto!, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) () (C) (D) É contínua É contínua à esquerda e descontínua à direita É contínua à direita e descontínua à esquerda É descontínua à esquerda e à direita 2. Na figura está representada parte do gráfico de uma função 0, polinomial do terceiro grau. é um máximo relativo da função 0. Seja 1 a função, de domínio, definida por 1ÐÑ œ 0ÐÑ Quantos são os zeros da função 1? (A) um () dois (C) três (D) quatro V.S.F.F. 435.V1/3

4 3. Na figura estão representados, em referencial o.n. : SC um quarto de círculo, de centro na origem e raio " uma semi-recta paralela ao eixo origem no ponto Ð"ß!Ñ SC, com um ponto E pertencente a esta semi-recta um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é o semieixo positivo S e cujo lado extremidade é a semi-recta SE Þ Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de α? (A) 1 tg α () 1 % % tg α (C) tg α 1 (D) 1 tg α 4. Considere as funções 0 e 1, de domínio, definidas por 0ÐÑ œ e 1ÐÑ œ $ Qual é o conjunto solução da inequação 0ÐÑ 1ÐÑ? (A) Conjunto vazio () (C) (D) 5. Num curso superior existem dez disciplinas de índole literária, das quais três são de literatura contemporânea. Um estudante pretende inscrever-se em seis disciplinas desse curso. Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas de literatura contemporânea? (A) (C) $ ( ( $ ( ( G G % G$ () G G% G$ $ ( ( $ ( ( G G % G$ (D) G G% G$ 435.V1/4

5 6. Seja I o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam E e F dois acontecimentos ( E I e F I). Tem-se que: TÐE FÑ œ "!% TÐEÑ œ '!% TÐE FÑ œ )!% Qual é o valor da probabilidade condicionada TÐElFÑ? " " " " (A) & () % (C) $ (D) 7. Na figura está representado, no plano complexo, um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro na origem e raio ". Um dos vértices do heptágono pertence ao eixo imaginário. Os vértices do heptágono são, para um certo número natural geométricas das raízes de índice 8 de um número complexo D. 8, as imagens Qual é o valor de D? (A) "3 () "3 (C) 3 (D) 3 V.S.F.F. 435.V1/5

6 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Em, conjunto dos números complexos, seja D " œ%3 ( 3 designa a unidade imaginária) No plano complexo, a imagem geométrica de D " é um dos quatro vértices de um losango de perímetro 20, centrado na origem do referencial. Determine os números complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do losango Sem recorrer à calculadora, resolva a equação 1-3= % Þ D œ D" Apresente o resultado na forma algébrica. 2. Considere que a altura E (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa, aproximadamente, em função do seu peso : (em quilogramas), por EÐ:Ñœ!&!&&,, ln Ð:Ñ ( ln designa logaritmo de base /) Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efectuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes O Ricardo tem "%m, de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estão de acordo com a igualdade referida, qual será o seu peso? Apresente o resultado em quilogramas, arredondado às unidades. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais Verifique que, para qualquer valor de :, a diferença EÐ:Ñ EÐ:Ñ é constante. Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais) e i nterprete esse valor, no contexto da situação descrita. 435.V1/6

7 3. Na figura está representado o gráfico da função 0, de domínio Ò!ß 1Ó, definida por 0ÐÑ œ cos E e F são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes. 1 ' $ Mostre que a ordenada do ponto E é e que a do ponto ' & 1 ' $ é ' F Qual é o contradomínio de 0? 3.2. Considere a recta tangente ao gráfico de 0 no ponto E. Esta recta intersecta o gráfico num outro ponto G. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa do ponto G (apresente o resultado arredondado às décimas). Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão). V.S.F.F. 435.V1/7

8 4. De uma função 1, de domínio, sabe-se que a bissectriz dos quadrantes ímpares é uma assimptota do seu gráfico. Seja 2 a função, de domínio 1ÐÑ, definida por 2ÐÑ œ Prove que o eixo S é uma assimptota do gráfico de Três casais, os Nunes, os Martins e os Santos, vão ao cinema Ficou decidido que uma mulher, escolhida ao acaso de entre as três mulheres, paga três bilhetes, e que um homem, escolhido igualmente ao acaso de entre os três homens, paga outros três bilhetes. Qual é a probabilidade de o casal Nunes pagar os seis bilhetes? Apresente o resultado na forma de fracção Considere o seguinte problema: Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesma fila e em lugares consecutivos, as seis pessoas distribuem-nos ao acaso entre si. Supondo que cada pessoa se senta no lugar correspondente ao bilhete que lhe saiu, qual é a probabilidade de os membros de cada casal ficarem juntos, com o casal Martins no meio? Numa pequena composição, com cerca de quinze linhas, explique por que razão % é uma resposta correcta a este problema. 'x Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos: referência à Regra de Laplace; explicação do número de casos possíveis; explicação do número de casos favoráveis. FIM 435.V1/8

9 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V.S.F.F. 435.V1/9

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11 Formulário Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 "< Prog. Geométrica:? " "< Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8" Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ 8 3 ) 8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" /" ln Ð"Ñ / œ" œ" : œ Ð: Ñ 435.V1/11