EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

Transcrição

1 PROVA 435/11 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE ª CHAMADA VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1

2 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2

3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. De uma função 0, de domínio, sabe-se que: 0Ð&Ñ œ! 0 é uma função par Seja 1 a função, de domínio, definida por 1ÐÑ œ 0Ð $Ñ. Qual dos seguintes pode ser o conjunto dos zeros de 1? (A) Ö!ß $ () Ö$ß & (C) Ö )ß (D) Öß ) 2. Na figura estão representados, em referencial o. n. SC, o círculo trigonométrico e um triângulo ÒSEFÓ. Os pontos E e F pertencem à circunferência. O segmento ÒEFÓ é perpendicular ao semieixo positivo S. O ponto G é o ponto de intersecção da circunferência com o semieixo positivo S. 1 Seja α a amplitude do ângulo GSE. Š α Ó!ß Ò Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo ÒSEFÓ, em função de α? (A) (C) sen αþ cos α tg αþ sen α () (D) tg αþ cos α tg αþ sen α V.S.F.F. 435.V1/3

4 3. De uma função 2, de domínio, sabe-se que a recta de equação C œ é assimptota do seu gráfico. 2ÐÑ Qual é o valor de lim? Ä / (A) () (C)! (D) 4. Na figura está representado, em referencial o. n. SCD, um cilindro de revolução. Tem-se que: a altura do cilindro é $ uma das bases está contida no plano SC, sendo o seu centro o ponto Ð!ß"ß!Ñ e o seu raio igual a " Seja, Ó!ßÒ e seja 0 a função que, a cada valor de,, faz corresponder o perímetro da secção produzida no cilindro pelo plano de equação Cœ,. Qual é o máximo da função 0? (A) * () "! (C) "" (D) " 5. Na figura estão representados os gráficos de duas distribuições normais. Uma das distribuições tem valor médio + e desvio padrão,. A outra distribuição tem valor médio - e desvio padrão.. Os gráficos são simétricos em relação à mesma recta <. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) (C) +œ- e,. () +œ- e,. + - e,œ. (D) + - e,œ. 435.V1/4

5 6. O João utiliza, por vezes, o autocarro para ir de casa para a escola. Seja Seja E F o acontecimento: «O João vai de autocarro para a escola». o acontecimento: «O João chega atrasado à escola». Uma das igualdades abaixo indicadas traduz a seguinte afirmação: «Metade dos dias em que vai de autocarro para a escola, o João chega atrasado». Qual é essa igualdade? (A) (C) TÐE FÑ œ!,& () TÐE FÑ œ!,& TÐElFÑ œ!,& (D) TÐFlEÑ œ!,& 7. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do conjunto ÖD ÀlD "lœld 3l ŸM7ÐDÑŸ%? (A) () (C) (D) V.S.F.F. 435.V1/5

6 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. De dois números complexos D e D sabe-se que: um argumento de 1 D " é $ " o módulo de D é % 1.1. Seja A œ " 3 3 Justifique que A é diferente de e de D D " 1.2. D D ão duas das raízes quartas de um certo número complexo D e s. " Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de segundo quadrante, determine D na forma algébrica. D pertence ao 2. O nível R de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade M, medida em att por metro quadrado, de acordo com a igualdade " R œ "! log "! "! M, para M! Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes Verifique que R œ "! "! log "! M 2.2. Admita que o nível de ruído de um avião a jacto, ouvido por uma pessoa que se encontra na varanda de um aeroporto, é de "%! decibéis. Determine a intensidade desse som, em att por metro quadrado. 435.V1/6

7 3. De uma função 0, de domínio Ò 11 ß Ó, sabe-se que a sua derivada 0 está definida igualmente no intervalo Ò 11 ß Ó e é dada por 0 ÐÑ œ cos 3.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: Determine o valor de lim Ä! 0ÐÑ 0Ð!Ñ Estude a função 0 quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de inflexão O gráfico de 0 contém um único ponto onde a recta tangente é paralela ao eixo S. Recorrendo à sua calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a abcissa desse ponto. Explique como procedeu. 4. Seja 0 uma função contínua, de domínio Ò!ß &Ó e contradomínio Ò$ß %Ó. Seja 1 a função, de domínio Ò!ß &Ó, definida por 1ÐÑ œ 0ÐÑ. Prove que a função 1 tem, pelo menos, um zero. V.S.F.F. 435.V1/7

8 5. Considere todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a Escolhe-se, ao acaso, um desses números Determine a probabilidade de o número escolhido ter exactamente dois algarismos iguais a 1. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades Determine a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior do que * )!!. Apresente o resultado na forma de dízima, com três casas decimais Considere o seguinte problema: «De todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as três condições seguintes: começam por 9; têm os algarismos todos diferentes; a soma dos quatro algarismos é par. Quantos são esses números?» % % Uma resposta correcta a este problema é $ % E E$ Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique porquê. FIM 435.V1/8

9 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V.S.F.F. 435.V1/9

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11 Áreas de figuras planas Losango: H < H /89< Formulário Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Trapézio: F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? @ œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " œ" ln Ð "Ñ œ" / : œ Ð: Ñ 435.V1/11