EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

Transcrição

1 PROVA 435/11 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Duração da prova: 120 minutos ª FASE VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1

2 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2

3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. Para um certo valor de 5, é contínua em a função 0 definida por! =/ Ÿ! 0ÐÑ œ ln Ð 5Ñ =/! ( ln designa logaritmo de base / ) Qual é o valor de 5? (A) " ()! (C) " (D) 2. Na figura está parte da representação gráfica de uma função 1, polinomial do terceiro grau. A função 1 admite máximo relativo igual a $ para œ " e admite mínimo relativo igual a para œ". Qual é o conjunto dos valores de, para os quais a equação 1ÐÑ œ, tem três soluções distintas? (A) Ó ß$Ò () Ó ß Ò (C) Ò ß$Ó (D) Ó ß$Ò V.S.F.F. 435.V1/3

4 3. Seja 0 uma função tal que a sua derivada, no ponto $, é igual a %. Indique o valor de lim Ä$ 0ÐÑ 0Ð$Ñ * $ (A) $ () (C) % (D)! 4. Na figura estão representados, em referencial o.n. SCD: uma circunferência de raio ", centrada no ponto Ð!ß"ß"Ñ e contida no plano CSD o ponto EÐ!ß ß "Ñ o ponto F, pertencente ao semieixo positivo S Considere que um ponto T, partindo de E, se desloca sobre essa circunferência, dando uma volta completa, no sentido indicado na figura. Para cada posição do ponto T, seja ) a amplitude, em radianos, do arco () Ò!ß 1Ó ) e seja.ð) Ñ a distância de T ao ponto F. ET Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função.? (A) () (C) (D) 435.V1/4

5 5. Num certo país existem três empresas operadoras de telecomunicações móveis: A, e C. Independentemente do operador, os números de telemóvel têm nove algarismos. Os números do operador A começam por 51, os do por 52 e os do C por 53. Quantos números de telemóvel constituídos só por algarismos ímpares podem ser atribuídos nesse país? (A) "$* '$! () "%$ '! (C) "&' &! (D) "'& $%! 6. Considere: uma caixa com nove bolas, indistinguíveis ao tacto, numeradas de 1 a 9; um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Lança-se o dado e tira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Qual é a probabilidade de os números saídos serem ambos menores que %? " " & & (A) * () ' (C) ( (D) &% 7. Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as imagens geométricas das raízes quadradas de $ %3? (A) () (C) (D) V.S.F.F. 435.V1/5

6 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Em, conjunto dos números complexos, considere Aœ 3 ( 3 designa a unidade imaginária ). "" 1.1. Determine ÐA Ñ Ð" $ 3 Ñ na forma algébrica Averigúe se o inverso de A é, ou não, $ 1-3= % 2. Um petroleiro, que navegava no oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso, começou a derramar crude. Admita que, às > horas do dia a seguir ao do acidente, a área, em 57, de crude espalhado sobre o oceano é dada por EÐ>Ñ œ "' /!", > ß > Ò!ß %Ó EÐ> "Ñ 2.1. Verifique que, para qualquer valor de >, é constante. EÐ>Ñ Determine um valor aproximado dessa constante (arredondado às décimas) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita Admita que a mancha de crude é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a sete quilómetros da costa, determine a que horas, do dia a seguir ao do acidente, a mancha de crude atingirá a costa. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 435.V1/6

7 3. Considere a função 0, de domínio Ó 1ß 1Ò, definida por 0ÐÑ œ cos " cos Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes Estude a função quanto à existência de assimptotas do seu gráfico Mostre que a função 0 tem um máximo e determine-o Na figura está representada, em referencial o.n. SC, uma parte do gráfico da função 0. Na mesma figura está também representado um trapézio ÒST UVÓ. O ponto S é a origem do referencial, e os pontos T e V pertencem aos eixos S e SC, respectivamente. Os pontos T e U pertencem ao gráfico de 0. " Sabendo que o ponto V tem ordenada, determine a área do trapézio. $ 4. De uma função 1, contínua em, sabe-se que: " é zero de 1; 1Ð$Ñ!. Prove que a equação 1Ð$Ñ 1ÐÑ œ tem, pelo menos, uma solução no intervalo Ó"ß $Ò V.S.F.F. 435.V1/7

8 5. Uma turma do 12.º ano é constituída por vinte e cinco alunos (quinze raparigas e dez rapazes). Nessa turma, vai ser escolhida uma comissão para organizar uma viagem de finalistas. A comissão será formada por três pessoas: um presidente, um tesoureiro e um responsável pelas relações públicas Se o delegado de turma tivesse obrigatoriamente de fazer parte da comissão, podendo ocupar qualquer um dos três cargos, quantas comissões distintas poderiam ser formadas? 5.2. Admita agora que o delegado de turma pode, ou não, fazer parte da comissão Quantas comissões mistas distintas podem ser formadas? Nota: Entenda-se por comissão mista uma comissão constituída por jovens que não são todos do mesmo sexo Suponha que a escolha dos três elementos vai ser feita por sorteio, da seguinte forma: Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As vinte e cinco folhas são dobradas e introduzidas num saco. Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, três folhas de papel. O primeiro nome a sair corresponde ao do presidente, o segundo, ao do tesoureiro, e o terceiro, ao do responsável pelas relações públicas. Sejam EF, e G os acontecimentos: E: «o presidente é uma rapariga»; F: «o tesoureiro é uma rapariga»; G: «a comissão é formada só por raparigas». TÐGlÐE FÑÑ Indique o valor da probabilidade condicionada e, numa pequena composição, com cerca de dez linhas, justifique a sua resposta. Nota: Não aplique a fórmula da probabilidade condicionada. O valor pedido deverá resultar exclusivamente da interpretação de TÐGlÐE FÑÑ, no contexto do problema. FIM 435.V1/8

9 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V.S.F.F. 435.V1/9

10 435.V1/10

11 Formulário Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ 8 3 ) 8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " ln Ð "Ñ / œ" œ" : œ Ð: Ñ 435.V1/11