EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos PROVA 435/11 Págs. Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE ª CHAMADA VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1

2 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2

3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra seleccionar para responder a cada questão. correspondente à alternativa que Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Seja 0 uma função de domínio. Sabe-se que a primeira e a segunda derivadas de 0 são negativas em. Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função 0? (A) () (C) (D) V.S.F.F. 435.V1/3

4 2. Considere uma função 1, de domínio Ò!ß Ò, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que : O gráfico de 1 tem uma única assimptota lim Ä 1ÐÑ " œ Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o. n. SC, parte do gráfico da função 1 e, a tracejado, a sua assimptota? (A) () (C) (D) 3. Na figura está representada parte do gráfico de uma função 2, de domínio Ò!ß &Ò Ó&ß Ò As rectas de equações œ& e Cœ$ são as únicas assimptotas do gráfico de 2. Indique o valor de lim Ä 2ÐÑ $ / (A)! () " (C) & (D) 435.V1/4

5 4. Na figura está representado um cubo, em referencial o. n. SCD. Três das arestas do cubo estão contidas nos eixos do referencial. Os pontos T e U são dois dos vértices do cubo, pertencentes ao plano CSD. Admita que um ponto V, partindo da origem do referencial, se desloca ao longo do semieixo positivo S. Seja 1 a função que faz corresponder, à abcissa do ponto V, a área da secção produzida no cubo pelo plano TUV. Qual dos seguintes pode ser o gráfico da função 1? (A) () (C) (D) 5. Seja I o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam E e F dois acontecimentos ( E I e F I). Tem-se que: TÐEÑ œ!, $ e TÐFÑ œ!,& Qual dos números seguintes pode ser o valor de TÐE FÑ? (A)!", ()!%, (C)!', (D)!*, V.S.F.F. 435.V1/5

6 6. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa. Seja \ o maior dos números saídos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória \? (A) 3 $ TÐ\œÑ 3 " $ $ () 3 $ TÐ\œÑ 3 " " (C) 3 " $ TÐ\œÑ 3 " " " $ $ $ (D) 3 " $ TÐ\œÑ 3 " " " ' $ 7. Seja A um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares. A imagem geométrica de A % pertence a uma das rectas a seguir indicadas. A qual delas? (A) Eixo real () Eixo imaginário (C) issectriz dos quadrantes pares (D) issectriz dos quadrantes ímpares 435.V1/6

7 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Em, conjunto dos números complexos, considere & 1 % D œ 3, D œ È -3= e D œ " 3 " $ 1.1. Sem recorrer à calculadora, determine D D " apresentando o resultado na forma algébrica Escreva uma condição em que defina, no plano complexo, a circunferência que tem centro na imagem geométrica de e que passa na imagem geométrica de D " $ D 2. Num laboratório, foi colocado um purificador de ar. Num determinado dia, o purificador foi ligado às zero horas e desligado algum tempo depois. Ao longo desse dia, o nível de poluição do ar diminuiu, enquanto o purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar começou de imediato a aumentar. Admita que o nível de poluição do ar no laboratório, medido em 71Î6 de ar, às > horas desse dia, pode ser dado por ln Ð> "Ñ T Ð>Ñ œ " ß > " > Ò!ß %Ó ln designa logaritmo de base / Nas duas alíneas seguintes, sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais Qual é o nível de poluição à uma hora e trinta minutos da tarde? Apresente o resultado na unidade considerada, arredondado às décimas Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva o seguinte problema: Quanto tempo esteve o purificador de ar ligado? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). V.S.F.F. 435.V1/7

8 3. Na figura está representado a sombreado um polígono ÒEFIKÓ. Tem-se que: ÒEFJ KÓ é um quadrado de lado JH é um arco de circunferência de centro em F; o ponto I move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto G desloca-se sobre o segmento ÒFHÓ, de tal forma que se tem sempre ÒIGÓ¼ÒFHÓ designa a amplitude, em radianos, do ângulo GFI ˆ 1!ß 3.1. Mostre que a área do polígono ÒEFIKÓ é dada, em função de, por EÐÑ œ Ð" sen cos Ñ Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio ÒEGIKÓ 3.2. Determine EÐ!Ñ e E ˆ 1. Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de para os quais a área do polígono ÒEFIKÓ é %, $? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas. 4. Prove que, para qualquer função quadrática 1, existe um e um só ponto do gráfico onde a recta tangente é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares. 435.V1/8

9 5. No balcão de uma geladaria existe um recipiente com dez compartimentos, cinco à frente e cinco atrás, para colocar gelado. Em cada compartimento só é colocado um sabor, e nunca existem dois compartimentos com o mesmo sabor. Num certo dia, a geladaria tem sete sabores disponíveis: cinco são de fruta (morango, ananás, pêssego, manga e framboesa) e os outros dois são baunilha e chocolate De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente? 5.2. De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente, de tal forma que os cinco de fruta preencham a fila da frente? 6. Considere duas caixas: caixa A e caixa. A caixa A contém duas bolas verdes e cinco bolas amarelas. A caixa contém seis bolas verdes e uma bola amarela. Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair face 1, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa A. Caso contrário, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Considere os acontecimentos: \ : Sair face par no lançamento do dado ] : Sair bola verde Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de TÐ]l\Ñe, numa pequena composição (cinco a dez linhas), justifique a sua resposta. Nota: comece por indicar o significado de TÐ]l\Ñ, no contexto da situação descrita. FIM V.S.F.F. 435.V1/9

10 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V1/10

11 Áreas de figuras planas Losango: H < H /89< Formulário Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Trapézio: F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? @ œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " œ" ln Ð "Ñ œ" / : œ Ð: Ñ 435.V1/11