Matemática A. Teste Intermédio Matemática A. Versão 2. Teste Intermédio. Versão 2. Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade

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1 Teste Intermédio Matemática A Versão 2 Teste Intermédio Matemática A Versão 2 Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Na folha de respostas, indique claramente a versão do teste. A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas aos itens de escolha múltipla com zero pontos. Teste Intermédio de Matemática A 12.º Ano Versão 2 Página 1

2 Formulário Comprimento de um arco de circunferência α< ( α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /9< F+=/ 7+39< F+=/ 7/9< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema α < Sector circular: (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Pirâmide: " $ Cone: " $ Esfera: % Área da base Altura Área da base Altura $ $ 1 < ( < raio ) Trigonometria sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ tg + tg, " tg + Þ tg, Complexos 3-3= ) œ 3-3= Ð ) Ñ Probabilidades. œ ":" ÞÞÞÞ : " " 5 œ É. : ÞÞÞÞ. : Se \ é RÐ.5 ß Ñ, então: T Ð. 5 \. 5 Ñ!,')( T Ð. 5 \. 5 Ñ!,*&%& T Ð. $ 5 \. $ 5 Ñ!,**($ Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? @ œ " Ð? Ñ œ Þ? Þ? Ð Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Ð cos?ñ œ?þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis " Š " œ/ Ä! Ä! Ä! Ä sen œ" / " œ" ln Ð "Ñ œ" ln œ! È 3 ) È ) 5 1-3= œ 3-3= ß 5 Ö!ß ÞÞÞß " Ä / : œ Ð: Ñ Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão - Página 2

3 GRUPO I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta. Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que seleccionar para responder a esse item. Não apresente cálculos, nem justificações. Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Seja 1 uma função contínua, de domínio Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio da função 1? (A) Ó!ß $Ò () (C) ÏÖ! (D) 2. Na figura 1, está parte da representação gráfica de uma função polinomial 0 O ponto de abcissa $ é o único ponto de inflexão do gráfico da função 0 Figura 1 Qual das expressões seguintes pode definir 0, segunda derivada da função 0? (A) Ð $Ñ () Ð$ Ñ (C) $ (D) $ Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão - Página 3

4 3. Seja, um número real diferente de zero. / " Qual é o valor de? Ä!,,, " " (A)! () (C) (D),, 4. Quantos números naturais de quatro algarismos diferentes se podem escrever, não utilizando o algarismo 3 nem o algarismo 5? (A) "%(! () "%(& (C) "%)! (D) "%)& 5. Um teste é constituído por oito perguntas de escolha múltipla. A sequência das oito respostas correctas às oito perguntas desse teste é EEFHEHHE O Pedro, que não se preparou para o teste, respondeu ao acaso às oito perguntas. Qual é a probabilidade de o Pedro ter respondido correctamente a todas as perguntas, sabendo que escolheu quatro opções E, uma opção F e três opções H? (A) () (C) (D) " " " " (! "%! "! )! Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão - Página 4

5 GRUPO II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto. 1. Seja o conjunto dos números complexos; 3 designa a unidade imaginária. ( ' Ð$ 3ÑÐ 3Ñ 3 3 Determine ß sem recorrer à calculadora. 3 Apresente o resultado na forma C3, com e C 2. Seja H o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam \ e ] dois acontecimentos (\ H e ] H) de probabilidade não nula. Prove que TÐ\ ]Ñ œ TÐ]Ñ TÐ\Ñ TÐ]Ñ TÐ\l]Ñ ( T designa probabilidade, \ e ] designam os acontecimentos contrários de \ e de ], respectivamente, e T Ð\l ] Ñ designa uma probabilidade condicionada) 3. Considere a função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ % * / Resolva os itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos Mostre que o gráfico da função 0 tem uma única assimptota e escreva uma equação dessa assimptota Mostre que a função 0 tem um único mínimo relativo e determine-o Seja 1 a função, de domínio ÏÖ!, definida por 1ÐÑ œ ln Ò0ÐÑ %Ó ln designa logaritmo de base / Determine os zeros da função 1 Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão - Página 5

6 4. Na figura 2, está representado um triângulo rectângulo ÒEFGÓ, cujos catetos, ÒEFÓ e ÒFGÓ, medem $ unidades. Considere que um ponto T se desloca sobre o cateto ÒFGÓ, nunca coincidindo com F nem com G Para cada posição do ponto T, seja a amplitude, em radianos, do ângulo FET 1 Š Ó!ß % Ò Seja 0 a função que, a cada valor de, faz corresponder o perímetro do triângulo ÒET GÓ Figura 2 Resolva os itens 4.1. e 4.2., usando exclusivamente métodos analíticos Mostre que 0ÐÑ œ $ È $ ") cos $ tg 4.2. Seja < a recta tangente ao gráfico da função 0 no ponto de abcissa Determine o declive da recta < 1 ' 4.3. Existe um valor de para o qual o perímetro do triângulo ÒET GÓ é igual a * Determine esse valor, arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora. Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolução do problema. FIM Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão - Página 6

7 COTAÇÕES GRUPO I... ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ.. (5 10 pontos) pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos Total pontos Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão - Página 7