Teste Intermédio de Matemática A. Versão 1. Teste Intermédio Matemática A. Versão 1. Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade

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1 Teste Intermédio de Matemática A Versão 1 Teste Intermédio Matemática A Versão 1 Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Na sua folha de respostas, indique claramente a versão do teste. A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas aos itens de escolha múltipla com zero pontos. Teste Intermédio de Matemática A Versão 1 Página 1

2 Formulário Comprimento de um arco de circunferência α < ( α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /9< F+=/ 7+39< F+=/ 7/9< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema α < Sector circular: em radianos, do ângulo ao centro Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 < 1 ( < raio da base; 1 geratriz) (α amplitude, ; < raio) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Pirâmide: " $ Cone: " $ Esfera: % Área da base Altura Área da base Altura $ $ 1 < ( < raio ) Trigonometria sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñ œ cos + Þ cos, sen + Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) œ 3-3= Ð ) Ñ Probabilidades. œ : ÞÞÞÞ : " " " " 5 œ É. : ÞÞÞÞ. : Se \ é RÐ. ß 5Ñ, então: T Ð. 5 \. 5 Ñ!,')( T Ð. 5 \. 5 Ñ!,*&%& T Ð. $ 5 \. $ 5 Ñ!,**($ Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? ˆ?? œ " Ð? Ñ œ Þ? Þ? Ð Ñ Ð sen?ñ œ? Þ cos? Ð cos?ñ œ? Þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ? Þ /?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ? Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis " Š " œ / Ä! Ä! Ä! Ä sen œ " / " œ " ln Ð "Ñ œ " ln œ! È 3 ) È ) 5 1-3= œ 3-3= ß 5 Ö!ß ÞÞÞß " Ä / : œ Ð: Ñ Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2

3 Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada item, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que considera estar correcta. Se apresentar mais do que uma letra, a classificação será de zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Seja + um número real maior do que ". Indique qual das expressões seguintes é igual a log + $ log + & (A) log $! () log %! (C) log (& (D) log "!! Na figura está representada parte do gráfico de uma função 0 de domínio Ò!ß Ò " A recta <, de equação C œ, $ é assimptota do gráfico de 0 Seja por 2 a função definida em Ò!ß Ò 2ÐÑ œ 0ÐÑ O gráfico de horizontal. 2 tem uma assimptota Qual das equações seguintes define essa assimptota? " " (A) C œ $ () C œ (C) C œ (D) C œ $ Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3

4 3. Seja 0 uma função de domínio, contínua no intervalo Ò ß Ó Tem-se 0Ð Ñ œ " e 0ÐÑ œ $ Indique qual das expressões seguintes define uma função 1, de domínio, para a qual o Teorema de olzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo Ó ß Ò (A) 1ÐÑ œ 0ÐÑ () 1ÐÑ œ 0ÐÑ (C) 1ÐÑ œ 0ÐÑ (D) 1ÐÑ œ 0ÐÑ 4. Na figura está representado o círculo trigonométrico. Tal como a figura sugere, referencial, U S é a origem do pertence à circunferência, é o ponto de coordenadas Ð"ß!Ñ e V é o ponto de coordenadas Ð "ß!Ñ A amplitude, em radianos, do ângulo T SU & 1 é ( Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo ÒSUVÓ? T (A)!, $* ()!,% (C)!,%' (D)!,%* 5. Lança-se cinco vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja : a probabilidade de, nos cinco lançamentos, sair face 6 exactamente duas vezes. Qual é o valor de : arredondado às centésimas? (A)!," ()!,"' (C)!,$ (D)!,( Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4

5 Grupo II Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Seja H o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. De dois acontecimentos E e F ( E H e F H), de probabilidade não nula, sabe-se que: T ÐEÑ œ T ÐFÑ T ÐE FÑ œ & T ÐE FÑ Determine a probabilidade de acontecer E, sabendo que F aconteceu. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 2. Considere o seguinte problema: Lança-se três vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e multiplicam-se os números saídos. Qual é a probabilidade de o produto obtido ser igual a 6? Uma resposta correcta a este problema é $x $ ' $ Numa pequena composição, explique porquê. A sua composição deve incluir: uma referência à Regra de Laplace; uma explicação do número de casos possíveis; uma explicação do número de casos favoráveis. 3. Num lago onde não havia peixes, introduziram-se, num determinado momento, alguns peixes. Admita que, > anos depois, o número de peixes existentes no lago é dado aproximadamente por onde 5 0Ð>Ñ œ designa um número real.!!! " 5/!, "$ > 3.1. Determine o valor de 5, supondo que foram introduzidos 100 peixes no lago Admita agora que 5 œ %. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar cálculos numéricos, resolva o seguinte problema: Ao fim de quantos anos o número de peixes no lago atinge o meio milhar? Apresente o resultado arredondado às unidades. Nota: se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5

6 4. Seja 0 a função de domínio Ò $ß $Ó definida por Ú Ý / " =/ $ Ÿ! 0ÐÑ œ Û Ý Ü ln Ð" $Ñ =/! Ÿ Ÿ $ Na figura está representado o gráfico da função 0 Tal como a figura sugere: E é o ponto do gráfico de 0 de ordenada máxima a abcissa do ponto E é positiva 4.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: Determine a abcissa do ponto E Mostre que, tal como a figura sugere, 0 é contínua no ponto! Na figura está novamente representado o gráfico de 0, no qual se assinalou um ponto F, no segundo quadrante. A recta < é tangente ao gráfico de 0, no ponto F. Considere o seguinte problema: Determinar a abcissa do ponto, sabendo que a recta tem declive 0,23 F < Traduza este problema por meio de uma equação e, recorrendo à calculadora, resolva-a graficamente, encontrando assim um valor aproximado da abcissa do ponto F. Pode realizar algum trabalho analítico antes de recorrer à calculadora. Reproduza na sua folha de prova o(s) gráfico(s) obtido(s) na calculadora e apresente o valor pedido arredondado às centésimas. FIM Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 6

7 COTAÇÕES Grupo I pontos Cada resposta certa pontos Cada resposta errada... 0 pontos Cada item não respondido ou anulado... 0 pontos Grupo II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos TOTAL pontos Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 7