MATEMÁTICA A VERSÃO 4

Transcrição

1 gabinete de avaliação educacional T E S T E I N T E R M É D I O 11.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março) Duração da Prova: 90 minutos 10/Maio/2007 MATEMÁTICA A VERSÃO 4 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação da prova. A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete itens de escolha múltipla. O Grupo II inclui três itens de resposta aberta, subdivididos em alíneas, num total de sete. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 1

2 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra seleccionar para responder a cada questão. correspondente à alternativa que Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Para um certo valor de + e para um certo valor de,, a expressão 0ÐBÑ œ + " B, define a função 0 na figura. cujo gráfico está parcialmente representado Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) (C) +!,! (B) +!,! +!,! (D) +!,! Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 2

3 2. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação # B % " B! (A) Ó ß"Ò (B) Ó"ß Ò (C) Ó #ß"Ò (D) Ó"ß#Ò 3. Considere as seguintes funções: 0 À Ö"ß #ß $ Ä Ö"ß #ß $ definida pela tabela B " # $ 0ÐBÑ $ " # 1À Ä definida por 1ÐBÑœ#B " 2 À Ò!ß %Ó Ä Ö"ß #ß $ cujo gráfico é " Indique o valor de 0 Ð"Ñ 1 2 Ð1Ñ (A) ( (B) ' (C) & (D) % # 4. Considere a função 0, de domínio, definida por 0ÐBÑ œ $ B Seja > a recta tangente ao gráfico de 0 no ponto de abcissa " # Qual é a inclinação da recta >? (A) "&! (B) "$& (C) %& (D) $! Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 3

4 5. Na figura estão representados dois vectores, EH e EI, de normas "# e "&, respectivamente. No segmento de recta ÒEHÓ está assinalado um ponto F. No segmento de recta ÒEIÓ está assinalado um ponto G. O triângulo ÒEFGÓ é rectângulo e os seus lados têm $, % e & unidades de comprimento. Indique o valor do produto escalar EH Þ EI (A) "%% (B) "$% (C) "#) (D) "!) 6. Indique as soluções da equação % # sen B œ& que pertencem ao intervalo Ò!ß# 1Ó (A) (C) e & ' ' (B) e ( ' ' e # $ $ (D) e % $ $ 7. Na figura junta está representada a região admissível de um problema de Programação Linear. Esta região corresponde ao sistema Ú Ý Û Ý Ü B! C! BŸ& CŸ' $B CŸ") Qual é o valor máximo que a função objectivo, definida por nesta região? DœB C, pode alcançar (A) "% (B) "# (C) "! (D) ) Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 4

5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos primeiros seis minutos da experiência, de acordo com a função $ œ # > #" > '! > onde > designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do início da experiência, designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em centenas de rotações por minuto) Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, determine qual foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros seis minutos da experiência. Apresente o resultado em centenas de rotações por minuto Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine durante quanto tempo é que, nos primeiros seis minutos da experiência, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a % '!! rotações por minuto. Escreva o resultado final em minutos e segundos (com o número de segundos arredondado às unidades). Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtidos, bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução do problema (apresente as abcissas com duas casas decimais). 2. Considere, em referencial o.n. SBCD, o ponto T Ð!ß $ß %Ñ 2.1. Seja α o plano que contém o ponto T e é perpendicular à recta de equação vectorial ÐBßCßDќР"ß!ß&Ñ 5Ð#ß"ß!Ñß 5 Determine a área da secção produzida pelo plano α na esfera definida pela condição # # # ÐB "Ñ ÐC &Ñ ÐD %Ñ Ÿ(. Sugere-se que: Determine uma equação do plano α. Mostre que o centro da esfera pertence ao plano α. Atendendo ao ponto anterior, determine a área da secção Admita que um ponto U se desloca ao longo do semieixo positivo SD, nunca coincidindo com a origem S do referencial. Seja 0 a função que faz corresponder, à cota D do ponto U, o perímetro do triângulo ÒSTUÓ Mostre que 0ÐDÑ œ D & È D# )D #& Sem recorrer à calculadora, determine a cota do ponto U de modo que o perímetro do triângulo ÒST UÓ seja igual a "). Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 5

6 Na figura junta estão representados, em referencial o. n. : BSC o círculo trigonométrico a recta <, de equação Bœ" o ângulo, de amplitude α, que tem por lado origem o semieixo positivo SB e por lado extremidade a semi-recta SE Þ o ponto F, Þ intersecção do prolongamento da semi-recta SE com a recta <. Como a figura sugere, a ordenada de È) F é Sem recorrer à calculadora, determine o valor de $ 1 ) cos % 1 α # sen Š # α 3.2. Considere agora um ponto T, do primeiro quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1. Sejam as coordenadas do ponto T. Seja > a recta tangente à circunferência no ponto T. Seja U o ponto de intersecção da recta > com o eixo SB. Prove que a abcissa do ponto U é "? FIM Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 6

7 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa... 9 Cada resposta errada... 0 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 7