T E S T E I N T E R M É D I O D E M A T E M Á T I C A. 12.º Ano de Escolaridade. (Decreto Lei n.º 74/2004, de 26 de Março)

Transcrição

1 gabinete de avaliação educacional T E S T E I N T E R M É D I O D E M A T E M Á T I C A 12.º Ano de Escolaridade (Decreto Lei n.º 74/2004, de 26 de Março) Duração da Prova: 90 minutos 15/ Março/ 2007 VERSÃO 4 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação da prova. A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete itens de escolha múltipla. O Grupo II inclui quatro itens de resposta aberta, alguns subdivididos em alíneas, num total de seis. Teste Intermédio de Matemática A Versão 4 Página 1

2 Formulário Comprimento de um arco de circunferência α < ( α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Sector circular: α < (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 < 1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Pirâmide: " $ Cone: " $ Esfera: Área da base Altura Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñ œ cos + Þ cos, sen + Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 " Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? ˆ?? œ 8 8" Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ? Þ cos? Ð cos?ñ œ? Þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ? Þ /?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ? Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis Ä! Ä! Ä! Ä Ä sen œ " / " œ " ln Ð"Ñ œ " ln œ! / : œ Ð: Ñ 8 Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 2

3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra seleccionar para responder a cada questão. correspondente à alternativa que Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação " / / (A) Ó ß " Ò () Ó ß " Ò (C) Ó "ß Ò (D) Ó"ß Ò 2. Seja + um número real maior do que ". Indique o valor de log + ˆ + È% + & % & $ (A) % () $ (C) $ (D) 3. Seja 1 uma função de domínio Sabe-se que a recta de equação C œ & " é assimptota do gráfico de 1 Indique o valor de Ä 1ÐÑ Ð 1ÐÑ &Ñ (A)! () & (C) ' (D) Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 3

4 4. Na figura está representada, em referencial SC, parte do gráfico de uma função 0, de domínio seu domínio. Ó "ß Ò, contínua em todo o Tal como a figura sugere, tem-se: o gráfico de referencial; 0 as rectas de equações contém a origem do são assimptotas do gráfico de 0. C œ! e œ " Em qual das opções seguintes poderá estar representada, em referencial SC, parte " do gráfico de? 0 (A) () (C) (D) 5. Um saco contém vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Ao acaso, extraem-se simultaneamente três bolas do saco e anotam-se os respectivos números. Qual é a probabilidade de o maior desses três números ser 9? % ) $ $' (A)! ()! (C)! (D)! G G G G $ $ $ $ Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 4

5 6. Seja H o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam E e F dois acontecimentos ( E H e F HÑ, ambos com probabilidade não nula. Sabe-se que T ÐE FÑ œ T ÐEÑ T ÐFÑ Qual é o valor da probabilidade condicionada T ÐFlEÑ? (A)! () " (C) T ÐFÑ (D) T ÐFÑ T ÐEÑ 7. O Jorge tem seis moedas no bolso. Ele retira, simultaneamente e ao acaso, duas dessas seis moedas. Seja \ a quantia, em cêntimos, correspondente às duas moedas retiradas. Sabe-se que a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória \ é 3! $! %! '! (! " ' $ $ T Ð\ œ 3Ñ G G G G G ' ' ' ' ' Quais poderiam ser as seis moedas que o Jorge tinha inicialmente no bolso? (A) () (C) (D) Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 5

6 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Considere a função 0, de domínio, definida por Ú $ $ Ý =/! 0ÐÑ œ Û $ =/ œ! Ý Ü % ln Ð "Ñ =/! ( ln designa logaritmo de base /) Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigúe se a função œ!. Justifique a sua resposta. 0 é contínua em 2. A acidez de uma solução é medida pelo valor do seu :L, que é dado por :L œ log "! ÐÑ $ onde designa a concentração de iões L$ S, medida em 796Î.7. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes: 2.1. Admita que o :L da saliva é ',(. $ Qual é a concentração ( em 796Î.7 ) de iões L$ S, na saliva?, Escreva o resultado em notação científica, isto é, na forma + "!, com, inteiro e + entre " e "!. Apresente o valor de + arredondado às unidades A concentração de iões L $ S no sumo de ão é quádrupla da concentração de iões L $ S no vinagre. Qual é a diferença entre o :L do vinagre e o :L do sumo de ão? Apresente o resultado arredondado às décimas. Sugestão : comece por designar a concentração de iões L $ S e por exprimir, em função a concentração de iões L $ S no sumo de ão. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 6

7 3. Considere, num referencial o. n. SC, a curva G, que representa graficamente a função 0, de domínio Ò!ß "Ó ß definida por 0ÐÑ œ / % a recta <, de equação C œ ' 3.1. Sem recorrer à calculadora, justifique que a recta < intersecta a curva G em pelo menos um ponto Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, visualize a curva G e a recta, na janela ( janela em que e ). < Ò!ß "Ó Ò!ß (Ó Ò!ß "Ó C Ò!ß (Ó Reproduza, na sua folha de teste, o referencial, a curva G e a recta <, visualizados na calculadora. Assinale ainda os pontos S, T e U, em que: S é a origem do referencial; T é o ponto de coordenadas Ð! ß / Ñ; U é o ponto de intersecção da curva G com a recta < ; relativamente a este ponto, indique, com duas casas decimais, a sua abcissa, que deve determinar com recurso à calculadora. Desenhe o triângulo ÒST UÓ e determine a sua área. Apresente o resultado final arredondado às décimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. 4. Seja 5 um número real maior do que ". Na figura está representada uma parte do gráfico da função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ / 5. Tal como a figura sugere E é o ponto de intersecção do gráfico de 0 com o eixo SC F é o ponto de intersecção do gráfico de 0 com o eixo S Mostre que: Se o declive da recta EF é 5 ", então 5 œ / FIM Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 7

8 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa... 9 Cada resposta errada... 0 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL Teste Intermédio de Matemática A - Versão 4 - Página 8