Matemática A. Teste Intermédio Matemática A. Versão 2. Teste Intermédio. Versão 2. Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade

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1 Teste Intermédio Matemática A Versão 2 Teste Intermédio Matemática A Versão 2 Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Na folha de respostas, indique claramente a versão do teste. A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas aos itens de escolha múltipla com zero pontos. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 Página 1

2 Formulário Comprimento de um arco de circunferência α< ( α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /9< F+=/ 7+39< F+=/ 7/9< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema α < Sector circular: (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Pirâmide: " $ Cone: " $ Esfera: % Área da base Altura Área da base Altura $ $ 1 < ( < raio ) Trigonometria sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ tg + tg, " tg + Þ tg, Complexos 3-3= ) œ 3-3= Ð ) Ñ Probabilidades. œ ":" ÞÞÞÞ : " " 5 œ É. : ÞÞÞÞ. : Se \ é RÐ.5 ß Ñ, então: T Ð. 5 \. 5 Ñ!,')( T Ð. 5 \. 5 Ñ!,*&%& T Ð. $ 5 \. $ 5 Ñ!,**($ Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? @ œ " Ð? Ñ œ Þ? Þ? Ð Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Ð cos?ñ œ?þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis " Š " œ/ Ä! Ä! Ä! Ä sen œ" / " œ" ln Ð "Ñ œ" ln œ! È 3 ) È ) 5 1-3= œ 3-3= ß 5 Ö!ß ÞÞÞß " Ä / : œ Ð: Ñ Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Página 2

3 Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item. Não apresente cálculos, nem justificações. Se apresentar mais do que uma alternativa, ou se a letra transcrita for ilegível, a resposta será classificada com zero pontos. 1. Sejam + ß e C três números reais tais que log + C œ " $ log + Qual das igualdades seguintes é necessariamente verdadeira? (A) Cœ$+ () Cœ+ $ (C) Cœ $ (D) Cœ$ 2. Sejam +,,, -, e. as funções reais de variável real definidas por: +ÐÑ œ " cos,ðñ œ $ tg -ÐÑ œ ln.ðñ œ / Considere que o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais para os quais tem significado a expressão que a define. Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assimptota? (A) A função + () A função, (C) A função - (D) A função. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Página 3

4 3. Seja 0 a função, de domínio, definida por 0ÐÑœ " Seja 1 a função cujo gráfico é a recta representada na figura 1. Seja 2œ0 1. Seja 2 a função derivada da função 2. Figura 1 O gráfico da função 2 é uma recta. Sejam 7 e,, respectivamente, o declive e a ordenada na origem desta recta. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) (C) 7! e,! () 7! e,! 7! e,! (D) 7! e,! 4. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem exactamente oito elementos. Escolhem-se ao acaso dois desses oito elementos. Qual é a probabilidade de escolher dois números cujo produto seja igual a (? $ " (A) ( () ( (C) ( (D)! 5. Para um certo número real positivo 3 e para um 1 certo número real α compreendido entre e 1, o número complexo 3-3= α tem por imagem geométrica o ponto T, representado na figura 2. Qual é a imagem geométrica do número complexo α 3-3= Š? Figura 2 (A) O ponto E () O ponto F (C) O ponto G (D) O ponto H Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Página 4

5 GRUPO II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto. 1. Seja o conjunto dos números complexos; 3 designa a unidade imaginária. %$ Ð$ 3Ñ " $3 Determine sem recorrer à calculadora. " $3 Apresente o resultado na forma algébrica. 2. Efectua-se um único lançamento de um dado tetraédrico, com as faces numeradas de 1 a 4. Considere que o «número que sai» é o número que está na face que fica voltada para baixo. O dado não é equilibrado, pelo que os quatro números não têm a mesma probabilidade de sair. Sejam E e F os acontecimentos seguintes: E À «sair número par»; F À «sair número menor do que 3». Sabe-se que: TÐE FÑ œ!," TÐEÑ œ TÐEÑ TÐE FÑ œ!,( Seja \ a variável aleatória «número saído no lançamento efectuado». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória \. Nota: apresente todas as justificações e todos os cálculos que efectuar na determinação dos valores das probabilidades. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Página 5

6 3. De uma função 0, de domínio, sabe-se que a sua derivada, 0, é definida por 0 ÐÑœÐ$ $Ñ/ Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora Seja E o ponto de intersecção do gráfico de 0 com o eixo das ordenadas. Sabe-se que a ordenada deste ponto é igual a. Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de 0 no ponto E Estude a função 0 quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. 4. Considere a função 1, de domínio ß, definida por Ò Ò 1ÐÑ œ Ú Ý Û Ý Ü ln * =/ Ÿ % % =/ œ% % È =/ % 4.1. Verifique se a função 1 é contínua em œ%, sem recorrer à calculadora Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o valor de pertencente ao intervalo Ò ß % Ò tal que 1ÐÑ œ 1Ð*Ñ. Indique o valor pedido arredondado às décimas e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Página 6

7 5. Na figura 3 estão representados: uma circunferência de centro S e raio " dois pontos, E e F, sobre a circunferência, tais que ÒEFÓ é um diâmetro uma semi-recta SE Þ um segmento de recta ÒT UÓ Considere que: o ponto T, partindo de E, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa, no sentido indicado pelas setas da figura 3 o ponto U se desloca sobre a semi-recta SE Þ, acompanhando o movimento do ponto T, de tal forma que se tem sempre TU œ Para cada posição do ponto T, seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem a semi-recta SE Þ e por lado extremidade a semi-recta ST Þ (ver figura 4). Seja. a função que, a cada valor de pertencente a Ò!ß 1Ó, associa a distância,.ðñ, do ponto U ao ponto S. Figura 3 Figura Considere as seguintes afirmações sobre a função. e sobre a sua derivada,. (a função. tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio). I..Ð!Ñ œ $.Ð1Ñ II. a Ò!ß 1Ó ß. ÐÑ! Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira, ou falsa. Nota: neste item, não defina analiticamente a função.; a sua composição deve apoiar-se na forma como esta função foi apresentada (para cada valor de, tem-se que.ðñ é a distância do ponto U ao ponto S ) Defina analiticamente a função. no intervalo!ß (isto é, determine uma expressão que dê o valor de.ðñ, para cada pertencente a este intervalo). Sugestão: trace a altura do triângulo ÒST UÓ relativa ao vértice T, designe por V o ponto de intersecção desta altura com a semi-recta SE Þ, e tenha em conta que SU œ SV VU. Ó 1 Ò Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Página 7

8 COTAÇÕES Grupo I... (5 10 pontos)...50 pontos Grupo II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Página