EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

Transcrição

1 PROVA 435/9 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado Duração da prova: 120 minutos 2002 Época Especial PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 9 deste enunciado encontra-se um formulário. 435/1

2 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos. 1. De uma função 0, de domínio, sabe-se que a recta de equação C œ " é assimptota do seu gráfico. Qual é o valor de lim 0ÐÑ? Ä (A) (C) () " (D) 2. Seja 1 uma função contínua de domínio. Sabe-se que: 1 tem mínimo absoluto igual a $, para œ 1 tem máximo absoluto igual a (, para œ & Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) 1 é crescente em Òß &Ó () O contradomínio de 1 é Ò$ß (Ó (C) 1 tem derivada nula em œ e em (D) 1 tem pelo menos um zero œ& 435/2

3 3. Na figura estão representados dois ciclistas, A e, pedalando a caminho de um cruzamento. Ao chegarem ao cruzamento, ambos continuam em frente. No instante >œ!, os ciclistas A e encontram-se, respectivamente, a 40 metros e a 30 metros do cruzamento. Os ciclistas pedalam ambos à mesma velocidade, que se mantém constante. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função que, para cada valor de distância.ð>ñ entre os dois ciclistas, no instante >? >, dá a (A) () (C) (D) 435/3

4 4. De uma função 0 sabe-se que 0ÐÑ 0 ÐÑ œ!, para qualquer. Qual das seguintes pode ser a expressão analítica da função 0? (A) sen () / (C) (D) ln 5. Nos jogos de futebol entre a equipa X e a equipa Y, a estatística revela que: em 20% dos jogos, a equipa X é a primeira a marcar; em 50% dos jogos, a equipa Y é a primeira a marcar. Qual é a probabilidade de, num jogo entre a equipa X e a equipa Y, não se marcarem golos? (A) "!% () &% (C) $! % (D) $& % 6. Extrai-se, ao acaso, uma bola de uma caixa que contém vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Considere os acontecimentos: E - «A bola extraída tem número par». F - «A bola extraída tem número múltiplo de 5». Qual é o valor da probabilidade condicionada TÐFlEÑ? (A)!", ()!, (C)!$, (D)!%, 7. Em, conjunto dos números complexos, o número complexo 3 satisfaz uma das condições a seguir indicadas. Qual delas? D D (A) 3 œd 3 () ldl œ3 (C) +<1ÐDÑœ! (D) D œd 435/4

5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Seja E o conjunto dos números complexos que satisfazem a condição D œ" V/ÐDÑ! " Mostre que o número complexo pertence a -3= 1 E 1.2. A representação geométrica, no plano complexo, da condição é uma linha. D E 1 Ÿ+<1ÐDÑŸ 1 % % Represente graficamente essa linha e determine o seu comprimento. 2. Seja F o conjunto dos números de quatro algarismos diferentes, menores que 3000, que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e Verifique que o conjunto F tem 240 elementos Escolhe-se, ao acaso, um elemento de F. Qual é a probabilidade de que esse elemento seja um número par? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível Escolhem-se, ao acaso, três elementos de F. Qual é a probabilidade de todos eles serem maiores do que 2000? Apresente o resultado na forma de dízima, com duas casas decimais. 435/5

6 1 3. Considere a função 0, de domínio Ò!ß Ò, definida por 0ÐÑ œ tg Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes: 3.1. Estude 0 quanto à existência de assimptotas do seu gráfico Estude 0 quanto à monotonia e existência de extremos relativos. 4. Uma pastilha elástica é tanto mais saborosa quanto maior for a quantidade de aromatizante nela presente. Admita que a quantidade de aromatizante presente numa pastilha elástica da marca Mastiom, > minutos após ter sido colocada na boca, é dada, em certa unidade de medida, por EÐ>Ñ œ & /!," >, > Ò!ß Ò 4.1. Utilizando métodos analíticos e recorrendo à calculadora para efectuar cálculos numéricos, determine ao fim de quanto tempo, após ter sido colocada na boca, a quantidade de aromatizante presente numa pastilha Mastiom se reduz a metade. Apresente o resultado em minutos, arredondado às unidades Suponha que é o responsável pelo laboratório da empresa produtora das pastilhas Mastiom. Admita que a concorrência acabou de lançar no mercado três tipos de pastilhas e que a gerência da sua empresa o encarregou de analisar essas pastilhas, para ver se algumas delas poderiam colocar em risco a posição de líder de mercado das pastilhas Mastiom. Da análise que efectuou, concluiu que a quantidade de aromatizante presente em cada uma delas, > minutos após ter sido colocada na boca, é dada por:! "& > " /,, Pastilha X: FÐ>Ñœ% > Ò!ß Ò Pastilha Y: FÐ>Ñœ( /!, >, > Ò!ß Ò Pastilha Z: FÐ>Ñœ' $ /!," >, > Ò!ß Ò Recorrendo à sua calculadora, compare, no intervalo Ò!ß "&Ó, cada uma destas três funções com a função E, definida acima (admita que, ao fim de quinze minutos, a quantidade de aromatizante presente em cada uma das pastilhas já não lhes dá sabor). Elabore um relatório, com cerca de dez linhas, que possa ser apresentado à gerência da sua empresa, em que mencione, para cada uma das pastilhas concorrentes, durante quanto tempo é que, nos primeiros quinze minutos, ela é mais saborosa do que a Mastiom (Sempre? Nunca? A partir de um certo instante? Qual? Até um determinado instante? Qual?). Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). 435/6

7 5. Considere a função 1, de domínio, definida por 1ÐÑ œ ß =/ Á! "ß =/ œ! 5.1. Justifique que 1 não é contínua no ponto! Mostre que é falsa a seguinte afirmação: «Qualquer que seja a função 2, de domínio, a função 2 1 não é contínua no ponto!.» FIM 435/7

8 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL /8

9 Formulário Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: 1 < ( < <+39) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação Ð?Þ@Ñ œ? œ 8 Volumes Prisma: Área da base Altura 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Cilindro: Área da base Altura Ð cos?ñ œ?þ sen? Pirâmide: " $ Área da base Altura? Ð tg?ñ œ cos? Cone: " $ Esfera: Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) Þ 3-3= ) œ 33-3= ) ) 3-3=) 3 3-3= ) œ 3-3= ) ) 3-3= ) 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ 8 3 ) 8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 "?? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis lim Ä! lim Ä! lim Ä! lim Ä sen œ" / " ln Ð "Ñ / œ" œ" : œ Ð: Ñ 435/9