Análise Matemática I

Transcrição

1 Instituto Politécnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Abrantes Área Intradepartamental de Matemática Análise Matemática I Cálculo Integral Exercícios Propostos. Calcule os seguintes integrais indefinidos (.. (..2. ( Ð& Ñ. &.3. ( ÐÑ..4. ( ( =8)..6. (. +<--9= ˆ?.7. (..8. (?Þ(.? =8.9. (..0. ( =8Ð68Ñ. -9= -9=.. (..2. (. =8.3. ( =-..4. (..5. =8 Þ-9= a b..6. (..7. (.8. -9=. (. =8 a b C.9. (.C.20. (.C C C 68 C =8Ð Ñ.2. ( =82 a b =Ð 2. Calcule os seguintes integrais utilizando a fórmula de integração por partes: 2.. ( ( +<-= ( C 68C.C 2.4. ( ( = ( a68 b. Análise Matemática I Cálculo Integral

2 2.7. ( Ð Ñ (. -9= 2.9. ( (. Ð Ñ 2.. ( +<-=8? 68a68 b (.?? 3. Calcule os seguintes integrais de funções trigonométricas: & 3.. ( -9= ( -9=?.? 3.3. ( =8 C.C 3.4. ( =8-9=. & 3.5. ( ( =8-9=. =8 & 3.7. ( ( =8Ð Ñ-9=(.! 3.9. ( =8-9= ( -9 C.C 3.. ( =8ÐÑ =8ÐÑ ( =8. 4. Calcule o integral indefinido das seguintes fracções racionais 4.. ( (. Ð Ñ C 4.3. (.C 4.4. (. C ÐÑ 4.5. ( (.? 4.7. ( 4.8. (??.? Ð Ñ ( (. a b a b?? 4.. ( (.? a b?? Análise Matemática I Cálculo Integral 2

3 5. Calcule os seguintes integrais por substituição: 5.. (.C 5.2. (. C * 5.3. ( (. = ( C (.C C 5.7. (.? 5.8. (. a? b =8-9= 5.9. ( * (?.?? 5.. ( ( Ê. 6. Calcule os seguintes integrais indefinidos C 6.. (.C 6.2. (. C C Ð Ñ = ( -9= ( =-?.? 6.5. ( (. & 6.7. ( (.C &C 6.9. ( ( =8-9=. a b 6.. ( -9=. = ( -9=@.@ 6.3. (. =8 Ð68Ñ 6.4. ( =8? -9=?.? 6.5. ( (. ) * & 6.7. ( -9= 68 a=8 b (. C 7. Determine a primitiva J ÐÑ da função 0ÐÑ œ 68 que satisfaz a condição suplementar JŠ œ Þ Análise Matemática I Cálculo Integral 3

4 8. Um foguete de ensaios atmosféricos é lançado verticalmente a partir do solo. O foguete tem combustível no motor de tal modo que este funcione, exactamente, durante 2 minutos. Na sua trajectória o foguete é acelarado a 7Î= Þ 8.. A que altura está o foguete um minuto depois de ser lançado? Nesse instante, a que velocidade está a subir? 8.2. Quando o motor parar, a que altura se encontrará o foguete? 8.3. Qual a velocidade máxima atingida pelo foguete? 9. A acelaração, no instante, de uma partícula em movimento rectilíneo é =8-9=7Î= Þ No instante inicial Ð œ!ñ a partícula encontra-se na origem e a sua velocidade é!7î=þ Determine a sua posição no instante. 0. Determine a função real de variável real, 0ÐÑ, tal que ww w 0 ÐÑ œ ß 0 Ð Ñ œ e 0ÐÑ œ Þ Éa b 2ª Frequência 22Jan2002. Determine a função 2ÐÑ que verifica as seguintes condições w 3Ñ 2 ÐÑ œ 33Ñ 2Ð!Ñ œ 2º mini-teste 8Jan Considere a função 0ÐÑ œ Þ w 0ÐÑ Determine a função 2ÐÑ tal que 2 ÐÑ œ e 2Ð68Ñ œ Þ 0ÐÑ ) Exame 24Fev Calcule os seguintes integrais 3.. ( -9= Š ( ˆ. Exame de Recurso 2Set2003 Análise Matemática I Cálculo Integral 4

5 4. Calcule os seguintes integrais definidos ) 4.. ( Ð Ñ (.D D!! & * 4.3. ( ( -9=!.! *! 4.5. ( (. 68! 4.7. ( = (. CC 4.9. (.C 4.0. ( -9. ac bac b 4.. ( -9= = ( ( ( Ð Ñ ( (. -9=!! 5. Uma particula move-se sobre uma recta coordenada com uma acelaração, no instante, de -7Î= Þ No instante inicial Ð œ!ñ a sua velocidade é de -7Î=Þ Calcule a distância percorrida pela partícula nos primeiros segundos. 7. Calcule os seguintes integrais 7.. ( (. a b Exame de Recurso 0Set2002 w 8. Sabendo que ÐÑœ, determine o valor de ÐÑÐ!ÑÞ 2ª Frequência 27Jan Calcule a medida da área da região plana limitada 9.. pelas parábolas C œ e C œ Þ 9.2. pelas rectas CœßCœe CœÞ Análise Matemática I Cálculo Integral 5

6 9.3. pelo gráfico de Cœ e pelas rectas Cœ e CœÞ 9.4. pelos gráficos das equações Cœ e Cœll pelos gráficos das equações Cœ ßCœßœ! e œþ 9.6. pelos gráficos das equações Cœ=8ßCœ-9=ßœ e œ Þ 9.7. pelos gráficos das equações Cœ e œc pelo eixo das abcissas e pelos gráficos de Cœ69e Cœ Þ 9.9. pelos gráficos de Cœ68ßœ e Cœ!Þ 9.0. pela parábola C œ e pela recta C œ Þ 20. Determine a medida da área da superfície comum aos círculos C œ e C œ Þ 2. Calcule a medida da área da região plana situada no primeiro quadrante e limitada pelo eixo das abcissas e pelos gráficos das equações œc e Cœ)Þ 2ª Frequência 22Jan Determine a medida da área do triângulo com vértices nos pontos S œ a!ß! bß E œ aß b e Fœ aß b. 2ª Frequência 27Jan Calcule a medida da área da região limitada pelos gráficos das equações Cœ ß Cœßœ! e CœÞ Exame 24Fev Calcule e interprete geometricamente o valor ( a b 68.Þ Exame de Recurso 2Set A região plana limitada pelos gráficos das equações œßcœ e Cœ!, roda em torno do eixo dos. Determine a medida do volume do sólido gerado. Análise Matemática I Cálculo Integral 6

7 26. Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos CC da região plana do º quadrante limitada pelos gráficos de œc ßCœ e Cœ!Þ 27. A região plana limitada pelos gráficos das equações CœßCœe Cœ roda em torno do eixo dos. Determine a medida do volume do sólido gerado. 28. Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos da região sob o gráfico de Cœ=8ßœ! e œþ 29. A região plana limitada pelos gráficos de Cœ ßCœ!ßœ! e œ gira em torno do eixo dos CC. Determine o volume do sólido gerado. 30. A figura delimitada pela curva Cœ e pelas rectas Cœ!ßœ roda em torno do eixo das abcissas. Determine o volume do sólido de revolução gerado. 3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da figura limitada pela curva Cœ e pelas rectas œ!ßœ e Cœ!ßem torno do eixo 3.. dos 3.2. dos CC 32. Determine o volume do toro gerado pela rotação do círculo ac b œ em torno do eixo 32.. das ordenadas das abcissas 33. Utilizando diferenciais, mostre que o volume 33.. de uma esfera de raio < é igual a Z œ < Þ de um cilindro circular recto de raio < e altura 2 é igual a Z œ < 2Þ de um cone de raio < e altura 2 é igual a Z œ < 2Þ Análise Matemática I Cálculo Integral 7

8 34. Um depósito de vinho tem a forma de um tronco de cone. As suas dimensões interiores são 7 de diâmetro de fundo, 7 de diâmetro em cima e 7 de altura. Calcule a capacidade do depósito. 2ª Frequência 22Jan A região do primeiro quadrante limitada por CœßCœ e œ! roda em torno do eixo dos CC. Determine o volume do sólido gerado. Exame 8Fev Calcule a medida do volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos CC, da região plana limitada pelo gráfico da equação C œ +<--9= e pelas rectas œ!ß C œ e Cœ!Þ 2º Frequência 27Jan Calcule o comprimento das linhas dadas pelas equações 37.. Cœ à ÒßÓ É a b Cœ+<-=- à Òß &Ó Cœ68-9= a b à Ò!ß Ó 38. Estude a natureza dos seguintes integrais e, no caso de serem convergentes, calcule o seu valor (.? ( 68.?! & ( (. a68 b ( (. &! ( (.! Ð &Ñ? (.? (.? a? b! -9= 38.. ( ( =8C.C =8!! C Análise Matemática I Cálculo Integral 8

9 39. A região plana compreendida entre o gráfico da função contínua Cœ e o eixo das abcissas é ilimitada. No entanto, é possível atribuir um valor à medida da sua área. Calcule esse valor. Exame 8Fev Mostre que, apesar de œ! não pertencer ao domínio da função 0ÐÑœ, é possível calcular o valor de (! 0ÐÑ.. Interprete-o geometricamente. Exame de Recurso 0Set Indique, justificando, o valor lógico da proposição: ( ( 68..Þ 2ª Frequência 27Jan Calcule, se possível, o valor de ( 68.Þ Exame 24Fev O sólido de revolução conhecido como Trombeta de Gabriel é gerado pela rotação, em torno do eixo dos, da região situada à direita de œ, limitada por C œ e C œ!. Mostre que, apesar da região ser ilimitada, a Trombeta de Gabriel tem um volume finito de unidades cúbicas. Exame de Recurso 2Set2003 Análise Matemática I Cálculo Integral 9