Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I. 2º Teste de avaliação versão1 Grupo I

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I º Teste de avaliação versão1 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Uma certa pirâmide tem 41 vértices, quantas arestas tem? (A) 0 (B) 40 (C) 60 (D) 80. Na figura está representada uma planificação de um cubo. Em qual das opções seguintes pode estar esse cubo?. Na figura estão representados um triângulo isósceles [ABC] e um quadrado inscrito nesse triângulo. A altura relativa à base [AB] é o segmento de reta [CD], representado a tracejado. Sabe-se que AB = 4cm e que CD= 8cm. Quanto mede em centímetros o lado do quadrado? (A) 9 4 (B) 5 (C) 8 (D) 11 4 Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 01/01

2 4. Na figura, está representado um cubo de aresta 4. Os pontos A, B e C são vértices da mesma face do cubo. O ponto D pertence a uma das arestas do cubo e DC= Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano ABD? (A) 10 (B) 1 (C) 0 (D) 5 5. Na figura está representado um sólido que se pode decompor no cubo [ABCDEFGH] e a pirâmide triangular não regular [GIJK]. Sabe-se que: o cubo tem aresta 6. o ponto I é o ponto de intersecção do segmento [BK] com a aresta [GF]. o ponto J é o ponto de intersecção do segmento [DK] com a aresta [GH]. o ponto G é o ponto médio do segmento [CK]. Qual é o valor do volume da pirâmide [GIJK]? (A) 6 (B) 7 (C) 18 (D) 9 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exato. 1. Considere o trapézio [ABCD] representado no referencial o.m. da figura Escreva as coordenadas de todos os seus vértices. 1.. Desenhe, no referencial da figura, o simétrico deste trapézio em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares. 1.. Calcule o valor exato do perímetro do trapézio Defina por uma condição a reta BC Os lados do trapézio e o seu interior são Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 01/01

3 constituídos por um conjunto de pontos do plano. Defina o lugar geométrico desses pontos através de uma condição.. Considere a condição y y..1. Represente, num referencial o.m. xoy do plano, o conjunto de pontos definido pela condição dada... Escreva a sua negação.. Observe a figura ao lado..1. Escreva, em IR, uma condição que defina a região do plano assinalado a sombreado na figura (sem incluir a fronteira)... Escreva, sem usar o símbolo ~, a negação da condição obtida. 4. Observe a figura ao lado. [ABCDEFGH] é um cubo. [VHEFG] é uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros. E M e N são pontos médios das arestas [GF] e [HE] N H V M F G respectivamente. Sabendo que o volume do cubo é 64 cm, determine: D C 4.1. A área da secção definida no sólido pelo plano NVM. Sugestão: comece por desenhar a secção. 4.. A posição relativa das retas HD e VF. A B 4.. A amplitude do ângulo formado pelas retas HD e VF. 5. Na figura está representado um cilindro de altura h e raio da base r. Sejam A e B os centros das bases do cilindro. Considere um ponto P que se desloca ao longo do segmento [AB], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B. Cada posição do ponto P determina dois cones cujos vértices coincidem com o pontoo P e cujas bases coincidem com as bases do cilindro.mostre que a soma dos volumes dos dois cones é constante, isto é, não depende da posição do ponto P. Sugestão - designe por a altura de um dos cones. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 01/01 FIM Questão TOTAL Cotação

4 Formulário Geometria Perímetro do círculo: π r, sendo r o raio do círculo Áreas Paralelogramo: base altura diagonal maior diagonal menor Losango: Trapézio: base maior + base menor altura perímetro Polígono regular: apótema Círculo: π r, sendo r o raio do círculo Superfície esférica: 4π r, sendo r o raio da esfera Volumes Prismas e cilindro: área da base altura Álgebra Pirâmide e cone: 1 área da base altura 4 Esfera: r π, sendo r o raio da esfera Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma ax + bx+ c= 0 : ± x= a b b 4ac Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 01/01

5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I º Teste de avaliação versão1 proposta de resolução Grupo I 1. (D) Uma certa pirâmide tem 41 vértices, quantas arestas tem? Se tem 41 vértices a base tem 40 vértices e há 40 arestas da base e 40 arestas alterais pelo que no total temos 80 arestas.. (A) Na figura está representada uma planificação de um cubo. Esse cubo é. (C) Na figura estão representados um triângulo isósceles [ABC] e um quadrado inscrito nesse triângulo. A altura relativa à base [AB] é o segmento de reta [CD], representado a tracejado. Sabe-se que AB = 4cm e que CD= 8cm. Quanto mede em centímetros o lado do quadrado? Se o lado do quadrado for a podemos utilizar a semelhança de dois triângulos fazendo 4 = a 4a= 8a 1a= a= a= a 1 4. (C) Na figura, está representado um cubo de aresta 4. Os pontos A, B e C são vértices da mesma face do cubo. O ponto D pertence a uma das arestas do cubo e DC= Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano ABD? A secção é um rectângulo com um lado que mede 4 e outro lado que é a hipotenusa de um triângulo rectângulo com um cateto e outro 4. l = 4 + l = 5 l= 5 A área é então 0 por ser 4 5= 0 Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 01/01

6 5. (D) Na figura está representado um sólido que se pode decompor no cubo [ABCDEFGH] e a pirâmide triangular não regular [GIJK]. Sabe-se que: o cubo tem aresta 6. o ponto I é o ponto de intersecção do segmento [BK] com a aresta [GF]. o ponto J é o ponto de intersecção do segmento [DK] com a aresta [GH]. o ponto G é o ponto médio do segmento [CK]. Atendendo a que os triângulos [KBC] e [KGI] são semelhantes podemos escrever = IG= 6 IG= 6 IG 1 O volume da pirâmide [GIJK] é 6 V= = 9 Grupo II 1. Considere o trapézio [ABCD] representado no referencial o.m. da figura As coordenadas de todos os seus vértices são A( 0,0 ), B( 4,0 ), C( 4, ) e D(, ) 1.. No referencial da figura, o simétrico deste trapézio em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares é o trapézio [ADEF]. 1.. Calculemos o valor exato do perímetro do trapézio. Para isso precisamos de calcular AD o que faremos utilizando o teorema de Pitágoras: AD = + AD= Assim o perímetro é P= = 8+ u.c Uma condição que define a reta BC é x= Os lados do trapézio e o seu interior são constituídos por um conjunto de pontos do plano. O lugar geométrico desses pontos através de uma condição é definido por: 0 y x 4 y x Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 01/01

7 . Consideremos a condição y y y..1. Representemos, num referencial o.m. xoy do plano, o conjunto de pontos definido pela condição dada... A negação da expressão dada é: ~ ( y y ) y< y< y<. Observe a figura ao lado..1. Em IR, uma condição que defina a região do plano assinalado a sombreado na figura (sem incluir a fronteira) é y> x>.. Sem usar o símbolo ~, a negação da condição obtida é: ~ ( y> x> ) y x 4. Observe a figura ao lado. [ABCDEFGH] é um cubo. [VHEFG] é uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros. M e N são pontos médios das arestas [GF] e [HE] E N H V M F G respectivamente. Sabendo que o volume do cubo é 64 cm, determinemos: D C 4.1. A área da secção definida no sólido pelo plano NVM é a área de um quadrado mais a área de triângulo isósceles. A B Se o volume do cubo é 64 cm então a aresta mede a= 64 = 4 NV = MV são alturas dos triângulos equiláteros de lado 4 cm pelo que podemos dizer que medem 4 = cm ou caso não nos lembremos da relação entre o lado e a altura aplicar o Teorema de Pitágoras concluindo que: NV + = 4 NV = 16 4 NV = 1 NV = cm Vamos novamente aplicar o teorema de Pitágoras para obter a altura h do triângulo [MNV]: ( ) h + = h = 1 4 h= 8 h= cm Agora já podemos calcular a área da secção que é a soma da área de um quadrado com 4 cm de lado e com a área de um triângulo com base 4 cm e altura cm. Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 01/01

8 ( ) 4 Asec ção = 4 + = cm P 45º 4.. As retas HD e VF são concorrentes não perpendiculares. 4.. Para calcularmos a amplitude do ângulo formado pelas 90º V retas HD e VF vamos desenhar um esquema da secção produzida no sólido pelo plano FVH. Esse plano divide o sólido ao meio e o triângulo [HFV] é retângulo isósceles pois os seus catetos são iguais aos lados do quadrado e 45º H 45º 4 90º º F a hipotenusa é a diagonal do quadrado. Prolongando os lados [VF] e [HD], eles encontram-se no ponto que chamamos P formando um novo triângulo retângulo isósceles, sendo, por isso, a amplitude do ângulo das D B duas retas 45º. 5. Na figura está representado um cilindro de altura h e raio da base r. Sejam A e B os centros das bases do cilindro. Considere um ponto P que se desloca ao longo do segmento [AB], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B. Cada posição do ponto P determina dois cones cujos vértices coincidem com o ponto P e cujas bases coincidem com as bases do cilindro. Mostremos que a soma dos volumes dos dois cones é constante, isto é, não depende da posição do ponto P. Façamos PB = a e PA = h a e calculemos o volume V soma dos volumes dos dois cones: ( ) ( ) π r a π r h a π r a+ h a πr h V= + = = Concluímos que o volume obtido não depende do valor a e por isso não depende da posição do ponto P ele é sempre um terço do volume do cilindro independentemente da posição do ponto P. Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 01/01

9 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I º Teste de avaliação versão1 Critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos D A C C D Grupo II (150 pontos) Calcular a medida de AD 5 Calcular o perímetro pedido Identificar as fronteiras 5 Definir os semiplanos 5 Identificar as operações com as condições Identificar a fronteira 5 Definir o semiplano 5 Apresentar no referencial devidamente identificado Negar as condições 5 Negar a operação Identificar as fronteiras 5 Definir os semiplanos 5 Identificar a operação com as condições 5 Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 01/01

10 .. 10 Negar as condições 5 Negar a operação Desenhar a secção Calcular a aresta do cubo Calcular a altura dos triângulos 4 Calcular a área do quadrado Calcular a área do triângulo Calcular a área da secção Desenhar um esquema da situação Identificar as medidas dos lados Identificar os ângulos dos triângulos Concluir o ângulo das duas retas Fazer PB= a e PA = h a 5 Calcular a soma dos volumes dos cones 5 Justificar a independência 5 Total 00 Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 01/01