Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. 1º Teste de avaliação.

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II 1º Teste de avaliação Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um rectângulo [ABCD]. O lado [CD] está contido no eixo das abcissas. Os vértices A e B pertencem à circunferência. Seja α a amplitude do ângulo BOC. A área do rectângulo [ABCD] é igual a (A).tgα (B).sen α.cos α (C) sen α.cos α (D).sen α.tgα. Num determinado quadrante o co-seno é negativo e crescente. Nesse quadrante (A) O seno é crescente (B) O seno é negativo (C) A tangente é decrescente (D) A tangente é negativa 3. A que quadrante pertence o ângulo 13? 4 (A) 1º (B) º (C) 3º (D) 4º 4. Sabendo que 90º < α < 180º, indique o quadrante a que pertence 180º α. (A) 1º (B) º (C) 3º (D) 4º Professora: Rosa Canelas 1

2 5. Quantas são as soluções da equação 3 senx = 1 que pertencem ao intervalo [ 0,8 ]? (A) 4 (B) 8 (C) 1 (D) 16 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Na figura ao lado está inscrito numa circunferência de raio 5 cm um polígono regular com 9 lados. Observe a figura e determine: B 1.1. α e β em graus e radianos; β O α 1.. a área do sector circular OAB. A. Pretende-se unir os dois pilares de uma ponte através de um tabuleiro. Atendendo aos dados da figura ao lado, qual será o comprimento do tabuleiro? 3. Seja 3 θ, um ângulo cuja tangente é, Recorrendo à calculadora, determine com aproximação às centésimas, um valor aproximado de θ. 3.. Determine o valor exacto da expressão cos( ) θ + cos θ. A x = 3sen + x cos x +, 4. O Rui resolveu a questão seguinte: Considere a expressão ( ) ( ) mostre que A ( x) = senx e calcule o valor exacto de 3 A, como segue: 4 A ( x) = 3sen( + x) cos x + = 3senx + senx = senx porque sen( + x) = senx e Professora: Rosa Canelas

3 cos x + = senx. 3 3 A = sen = sen = = porque 3 sen = sen. 4 4 Analise a resolução e caso considere a resolução errada corrija os erros e apresente a sua justificação. Cotações Questão Cotação Professora: Rosa Canelas 3

4 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II 1º Teste de avaliação Proposta de resolução Grupo I 1. (B) Na figura está representado o círculo trigonométrico e um rectângulo [ABCD]. O lado [CD] está contido no eixo das abcissas. Os vértices A e B pertencem à circunferência. Seja α a amplitude do ângulo BOC. A área do rectângulo [ABCD] é igual a: A = cosα senα A =.cos α.senα. (B) Num determinado quadrante o co-seno é negativo e crescente. Trata-se do 3º quadrante onde o seno é negativo e decrescente e a tangente é positiva e crescente. Logo a afirmação verdadeira é O seno é negativo (B) O ângulo pertence ao º quadrante porque 4 13 = 3 = ,5 y α -1 O 1 x 4. (A) Sabendo que 90º < α < 180º, 180º α pertence ao 1º quadrante como se vê no circulo trigonométrico da figura ao lado. -0, α -1,5 5. (B) A equação 3 senx = 1 tem 8 soluções que pertencem ao intervalo [ 0,8 ] porque há duas soluções em cada intervalo de de amplitude. Grupo II B 1. Na figura ao lado está inscrito numa circunferência de raio 5 cm um polígono regular com 9 lados. Observe a figura e determine: β O α A Professora: Rosa Canelas 4

5 360º 1.1. Em graus α = = 80º e β = = a área do sector circular OAB é 360º 5 β = 9 = 100º. Em radianos = = cm α = = e 9 9. Pretende-se unir os dois pilares de uma ponte através de um tabuleiro. Atendendo aos dados da figura ao lado, qual será o comprimento do tabuleiro? a 5º Começamos por calcular o ângulo de 5º para depois calcularmos d: cos 5º = d = d cos 5º d Podemos agora calcular a: donde a cos 65 = a = dcos 65 d 14 a = cos 65. A largura do tabuleiro é cos5 8cos65 a =. Então a 13,06m cos Seja θ, um ângulo cuja tangente é,5. Comecemos por perceber que θ º Q pois no 3º Q a tangente é positiva 3.1. Recorrendo à calculadora, determinemos, com aproximação às centésimas, um valor aproximado de θ. A calculadora começa por nos dar um ângulo do 4º quadrante e para obtermos um ângulo do º quadrante temos de adicionar. 3.. Determine o valor exacto da expressão cos( ) θ + cos θ. Comecemos por simplificar a expressão ( ) porque cos( ) θ = cos θ e cos θ = senθ cos θ + cos θ = cosθ + senθ Professora: Rosa Canelas 5

6 A partir da tangente vamos calcular o co-seno: ( ) ,5 = 1+ = = cos θ = cosθ = ± e cos θ 4 cos θ 4 cos θ 9 9 como o ângulo θ pertence ao º quadrante será 9 cos θ = 9 Calculemos agora o seno: 5 senθ = senθ = senθ = cos θ + cos θ = cosθ + senθ = + = Finalmente ( ) A x = 3sen + x cos x +, 4. O Rui resolveu a questão seguinte: Considere a expressão ( ) ( ) mostre que A ( x) = senx e calcule o valor exacto de 3 A, como segue: 4 A ( x) = 3sen( + x) cos x + = 3senx + senx = senx porque sen( + x) = senx e cos x + = senx. 3 3 A = sen = sen = = porque 3 sen = sen. 4 4 Analisemos a resolução e como consideramos a resolução errada, vamos corrigir os erros e apresentar a justificação: A ( x) = 3sen( + x) cos x + = 3senx + senx = senx porque sen( + x) = senx e cos x + = senx. E em vez de cos x + = senx devia ser cos x + = senx e caso fosse cos x + = senx não chegaria à expressão dada. A x = 3sen + x cos x + = 3senx senx = 4senx seria ( ) ( ) e 3 Também o cálculo de A não está correcto, embora a substituição esteja bem, 4 3 sen = sen está errado porque 3 é um ângulo do º quadrante e aí o seno é positivo pelo que 3 sen = sen seria então A = sen = sen = = Professora: Rosa Canelas 6

7 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II 1º Teste de avaliação Critérios de correcção Grupo I B B B A B Grupo II Escrever α em radianos 5 Escrever α em graus 5 Escrever β em radianos 10 Escrever β em graus Substituir na fórmula 5 Fazer os cálculos Nomear o segmento d 5 Nomear o segmento a 5 Calcular d 10 Calcular a 10 Dar a resposta Calcular o valor em radianos dado pela calculadora 5 Reconhecer que o ângulo tem de ser do º Q 5 Calcular o valor pedido Simplificar cos( ) θ = cos θ 5 Simplificar cos θ = senθ 5 Calcular cosθ a partir de tgθ 10 Professora: Rosa Canelas 7

8 Calcular senθ 5 Calcular o valor pedido Identificar os 3 erros 10 Corrigir os 3 erros 10 Total 00 Professora: Rosa Canelas 8