Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I

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Stella Ferretti Klettenberg
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como exemplos dos problemas com maior grau de dificuldade a incluir nas provas intermédias. 4.

O círculo de centro C é a base dos dois cones. Este círculo é a base dos dois cones. Este círculo é a secção produzida na esfera pelo plano perpendicular a [AB] no ponto C.

1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 6 Estes trabalhos de casa, até ao fim do período, vão continuar a ser constituídos por exercícios propostos pelo GAVE como exemplos dos problemas com maior grau de dificuldade a incluir nas provas intermédias. 4. Na figura 7 estão representados uma esfera de centro O e raio e um sólido que se pode decompor em dois cones. O volume desse sólido é 8 do volume da esfera. O círculo de centro C é a base dos dois cones. Este círculo é a base dos dois cones. Este círculo é a secção produzida na esfera pelo plano perpendicular a [AB] no ponto C. Os vértices dos cones são os extremos do diâmetro [AB] da esfera. 4.. Mostre que OC = O plano que passa no centro da esfera e é perpendicular a [AB] divide o cone de vértice B em dois sólidos, um dos quais também é um cone. Determine o volume desse cone Na figura 8 está esquematizada uma planificação do cone de vértice B. Determine: O valor de x A amplitude do ângulo α, em graus, arredondada às unidades. Nota: sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/00

2 . O triângulo [ABC], representado na figura 9, é um triângulo equilátero. Os pontos M e N são os pontos médios dos lados a que pertencem. Numa rotação de 360º em torno de CN, o triângulo [ACN] gera um cone de volume V. Determine, em função de V, o volume do sólido gerado, na mesma rotação, pelo triângulo [AMN]. 6. Na figura 0 estão representados uma pirâmide quadrangular regular e um cubo. Uma das faces do cubo está contida na base da pirâmide, e cada um dos vértices da face oposta pertence a uma aresta da pirâmide. 6.. Associe a cada um dos pares de rectas, designados pelos números de a 6, a posição relativa dessas rectas, indicada na chave. Pares de rectas BC e JN A Não complanares FH e HM B Paralelas 3 AJ e HM C Perpendiculares 4 BF e LN D Concorrentes BE e MN não perpendiculares 6 AB e EL 6.. Associe a cada um dos pares (recta, plano), designados pelos números de a 6, a posição da recta em relação ao plano, indicada na chave. Pares (recta, plano) FH e EJM GH e AEN A Recta contida no plano 3 MN e GHL B Recta estritamente paralela ao plano 4 AC e LMN C Recta perpendicular ao plano CN e ABE D Recta concorrente com o plano, mas não 6 AE e FHM perpendicular 6.3. Sabe-se que a pirâmide tem volume igual a 44 e altura igual a Determine o perímetro do triângulo [ABE] Calcule o volume do cubo. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/00

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 6 Proposta de resolução Estes trabalhos de casa, até ao fim do período, vão continuar a ser constituídos por exercícios propostos pelo GAVE como exemplos dos problemas com maior grau de dificuldade a incluir nas provas intermédias. 4. Na figura 7 estão representados uma esfera de centro O e raio e um sólido que se pode decompor em dois cones. O volume desse sólido é 8 do volume da esfera. Ou seja: Vsólido = π = π 3 3 O círculo de centro C é a base dos dois cones. Este círculo é a secção produzida na esfera pelo plano perpendicular a [AB] no ponto C. Os vértices dos cones são os extremos do diâmetro [AB] da esfera. 60 π = A BC + A AC Então: base base ( ) π = Abase BC + AC π = Abase 0 Abase = 6π O Mostremos que OC = 3 : De Abase = 6π concluímos ser o raio igual a 4 porque Abase = πr OC + 4 = OC = 6 OC = 3 C 4.. O plano que passa no centro da esfera e é perpendicular a [AB] divide o cone de vértice B em dois sólidos, um dos quais também é um cone. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 009/00

4 Determinemos o volume desse cone, para o que precisamos de calcular o raio x da base do cone e vamos fazê-lo utilizando a semelhança dos triângulos: 8 4 = x = x = 4 x 8 π A área da base do cone é A = π A = 4 O volume do cone é V = π V = π 3 4 C 4 3 O x Na figura 8 está esquematizada uma planificação do cone de vértice B. Determinemos: O valor de x. Utilizando o triângulo da alínea anterior verificamos ser x a hipotenusa do triângulo rectângulo são os catetos que medem 4 e 8. x = x = 80 x = A amplitude do ângulo α, em graus, arredondada às unidades. O comprimento da circunferência de raio 4 é P = π 4 P = 8π e tem amplitude 360º. Pretendemos saber a amplitude que corresponde a um arco cujo comprimento é igual ao perímetro da circunferência com raio 4 que é p = π 4 p = 8π Então podemos dizer que: 8π 360º 8π α 8π Donde α = α = α 6º 8π B. O triângulo [ABC], representado na figura 9, é um triângulo equilátero. Os pontos M e N são os pontos médios dos lados a que pertencem. Numa rotação de 360º em torno de CN, o triângulo [ACN] gera um cone de volume V. Determinemos, em função de V, o volume do sólido gerado, na mesma rotação, pelo triângulo [AMN]. O Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 009/00

5 Podemos considerar: V = AN CN 3 π Além do sólido gerado pelo triângulo [AMN] o cone gerado pelo triângulo [ABC] contém também um cone gerado pelo triângulo [CMO] e outro igual a este gerado pelo triângulo [MNO]. Ora sabemos que MO = AN e que CO = CN O volume do cone gerado pelo triângulo [CMO] é então v = π AN CN v = π AN CN v = V O volume do sólido gerado pelo triângulo [AMN] =V- V = V Na figura 0 estão representados uma pirâmide quadrangular regular e um cubo. Uma das faces do cubo está contida na base da pirâmide, e cada um dos vértices da face oposta pertence a uma aresta da pirâmide. 6.. Associe a cada um dos pares de rectas, designados pelos números de a 6, a posição relativa dessas rectas, indicada na chave. Pares de rectas BC e JN FH e HM 3 AJ e HM 4 BF e LN BE e MN A Não complanares B Paralelas C Perpendiculares D Concorrentes não perpendiculares 6 AB e EL Pares de rectas B C D A A D 6.. Associe a cada um dos pares (recta, plano), designados pelos números de a 6, a posição da recta em relação ao plano, indicada na chave. Pares (recta, plano) CN e ABE FH e EJM 6 AE e FHM GH e AEN 3 MN e GHL 4 AC e LMN A Recta contida no plano Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/00

6 B Recta estritamente paralela ao plano C Recta perpendicular ao plano D Recta concorrente com o plano, mas não perpendicular Pares (recta, plano) A B C B D A 6.3. Sabe-se que a pirâmide tem volume igual a 44 e altura igual a Determinemos o perímetro do triângulo [ABE]. Calculemos AB : 44 = AB AB = 36 AB = 6 3 Calculemos agora AC : AC = AC = 7 AC = 6 Se chamarmos O ao centro da base da pirâmide teremos que AO = 3 e OE = e podemos então calcular AE : ( ) AE = 3 + AE = AE = 6 AE = 9 Finalmente o perímetro do triângulo [ABE] é P = AB + AE = Calculemos o volume do cubo. Para calcularmos a aresta (a) do cubo vamos ter em conta que a pirâmide grande é semelhante à pirâmide [JLMNE] pelo que: 6 a = a = 7 6a 8a = 7 a = 4 a O volume do cubo é igual ao cubo da medida da aresta: 3 V = 4 V = 64 Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 009/00

7 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 6 Critérios de correcção Calcular Calcular Abase Calcular V sólido = π = π.. 3 = 6π... OC 4 OC 3 + = = Reconhecer a semelhança dos triângulos.. Calcular o raio da base Calcular x =.. 4 V = π Calcular x = Calcular o perímetro da circunferência de raio x.. 3 Calcular o perímetro da circunferência de raio 4. 3 Concluir que α 6º 4... Calcular o volume V. 4 Reconhecer que [CMN] gera cones iguais.. 4 Verificar que MO = AN e que CO = CN Calcular o volume de um dos cones em função de V. 6 Concluir que o volume pedido é 3 V Associar correctamente 6.. Associar correctamente Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 009/00

8 Calcular AB... Calcular AC e AO.. Calcular AE... Calcular o perímetro Reconhecer a semelhança das pirâmides Calcular a aresta do cubo Calcular o volume do cubo... Total 00 Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectivo 009/00

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