MATEMÁTICA - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) Propostas de resolução

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1 MTEMÁTI - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. omo a base do prisma é um quadrado, os lados adjacentes são perpendiculares, pelo que o triângulo [] é retângulo em E omo o raio da base do cilindro é igual a 3 cm, então a medida do diâmetro é: = 3 = 6 cm F G H ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do lado da base do prisma,, temos: = + = + = = = 6 = 36 = 36 = 18 cm ssim, calculando o volume do prisma, em centímetros cúbicos, e arredondando o resultado às unidades, vem: V [EF GH] = G = 18,3 9 cm 3 Prova Final 3 o iclo 016, a fase. O triângulo [OP N] é retângulo em P (porque o raio [OP ] da circunferência é perpendicular à reta tangente em P, que contém o lado [P N] do triângulo). ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, temos que: ON = OP + P N ( ) ON = ON = ON = 1 ON = 1 ON>0 Prova Final 3 o iclo 016, 1 a fase 3. omo E ˆF = 90, o triângulo [EF ], retângulo em F ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, temos que: E = EF + F 7,8 = EF ,84 = EF ,84 9 = EF 1,84 = EF 1,84 = EF EF = 7, cm EF >0 Prova de ferição 8 o ano Página 1 de 10

2 4. omo a reta T P é tangente à circunferência no ponto T é perpendicular ao raio [T ], e por isso, o triângulo [T P ] é retângulo em T ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que P = T + P T E substituindo os valores conhecidos, vem que: P = 9, + 4 P = 84, T P P = 100,64 P = 100,64 P >0 M Escrevendo o resultado arredondado às unidades, temos P = 100,64 10 Prova Final 3 o iclo 01, Época especial. omo o triângulo [] é um triângulo retângulo em, podemos, recorrer ao Teorema de Pitágoras, e afirmar que = + Logo, substituindo os valores dados, vem que: Resposta: Opção = = = 117 = 117 cm >0 Prova Final 3 o iclo 01, a chamada 6. omo [O] e [O] são raios da mesma circunferência, O = O = ssim, como o triângulo [O] é retângulo, usando o Teorema de Pitágoras, temos que = O + O = + 3 = = 13 = 13 >0 Resposta: Opção Prova Final 3 o iclo 014, a chamada 7. esignado por M o ponto médio do lado [], temos que o triângulo [M] é retângulo em M, e que M = = 6 = 3 omo l = M, usando o Teorema de Pitágoras, temos: l = M + M 7 = M = M = M 40 = M 40 = M Resposta: Opção M>0 3 cm 4 cm M 6 cm E Prova Final 3 o iclo 014, 1 a chamada Página de 10

3 8. esignado por M o ponto médio do lado [EF ], temos que o triângulo [OME] é retângulo em M, e que: EM = EF = =, omo a altura do triângulo [EF ] é h = OM, usando o Teorema de Pitágoras, temos: O OE = OM + EM 7 = OM +, 49 = OM + 6, 49 6, = OM 4,7 = OM 4,7 = OM 6,4 OM OM>0 E M F ssim, calculando a área do triângulo [EF O], vem: [EF O] = b h = EF OM 6,4 16,3 esta forma, o valor, arredondado às unidades, da área do triângulo [EF O] é 16 m. Teste Intermédio 9 o ano Seja Q a projeção vertical do ponto sobre a reta. 3 Logo Q = = 3 e que Q = = 4 Podemos também observar que = Q + Q Q = Q, pelo que Q = 3 = ssim, como o triângulo [Q] é retângulo em Q, usando o Teorema de Pitágoras, temos que: 4 P x Q = Q + Q = 4 + = = 0 = 0 >0 Logo o perímetro do quadrilátero [] é: Resposta: Opção P [] = = = , Prova Final 3 o iclo 013, a chamada 10. omo o triângulo [] é retângulo em (porque um dos lados coincide com o diâmetro da circunferência e o vértice oposto a esse lado está sobre a circunferência), usando o Teorema de Pitágoras e substituindo as medidas conhecidas, temos que: = + = = = 136 = 136 >0 Logo, como [] é um diâmetro do círculo, a medida do raio, r, é: 136 r =,83 E assim, calculando a área do círculo de diâmetro [], em cm, e arredondando o resultado às unidades, vem = πr π, cm Prova Final 3 o iclo 013, 1 a chamada Página 3 de 10

4 11. omo o triângulo [F ] é retângulo em, então o lado [F ] é um diâmetro da circunferência que passa nos pontos, F e Temos ainda que = 1 cm e que o triângulo [F ] é isósceles, pelo que também F = 1 cm, e recorrendo ao Teorema de Pitágoras podemos determinar a medida do segmento [F ]: F = + F F = E F = F = 88 F = 88 >0 F ssim, temos que o raio circunferência é r = centímetros, arredondado às unidades, é 88, pelo que o comprimento da circunferência em 88 P = πr = π = π 88 3 cm Prova Final 3 o iclo 01, a chamada 1. omo os triângulos [] e [E] têm um ângulo em comum, e são ambos retângulos, têm dois pares de ângulos com a mesma amplitude, o que é suficiente para afirmar que são semelhantes, pelo critério. omo os triângulos são semelhantes, podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja, = E Logo, substituindo os valores dados, vem que: 0 = 40 = 40 0 E podemos calcular, recorrendo ao Teorema de Pitágoras: = 3 = + 40 = = 76 = 76 = 4 = >0 Prova Final 3 o iclo 01, 1 a chamada 13. omo os triângulos [O] e [O] têm um ângulo em comum, e os segmentos [] e [] são paralelos, definem sobre a mesma reta (O) ângulos iguais, e assim os triângulos, têm dois pares de ângulos com a mesma amplitude, o que é suficiente para afirmar que são semelhantes, pelo critério. omo os triângulos são semelhantes, podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja, O O = O O Logo, substituindo os valores dados, vem que: O = 18 1 O = 1 1 E podemos calcular, recorrendo ao Teorema de Pitágoras: = O +O = 7, +18 = 6,+34 O = 7, = 380, = = 19, >0 Exame Nacional 3 o iclo 011, Época Especial Página 4 de 10

5 14. omo o lado [] do triângulo [E] é um diâmetro de uma circunferência e o vértice E pertence à mesma circunferência, então o triângulo [E] é retângulo e o lado [] é a hipotenusa. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores dados, vem que: = E + E = 6,8 + 3, = 46,4 + 10,4 = 6,48 = 6,48 >0 ssim, como o lado [] é um diâmetro da circunferência, temos que o raio é r = perímetro da circunferência em centímetros, arredondado às décimas, é 6,48, pelo que o 6,48 P = πr = π = π 6,48 3,6 cm Exame Nacional 3 o iclo 011, 1 a chamada 1. omo [] é um quadrado, o triângulo [] é retângulo isósceles ( = e o lado [] é a hipotenusa. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo o valor conhecido, vem que: = + = = 6 = 36 = 7 = 7 = >0 ssim, como o lado [] é um diâmetro da circunferência, temos que o raio é r = perímetro da circunferência, arredondado às décimas, é 7, pelo que o 7 P = πr = π = π 7 6,7 16. omo o triângulo [] é retângulo e o lado [] é a hipotenusa, sabemos que = + Teste Intermédio 9 o ano Podemos assim, verificar qual das opções apresenta valores que verificam o Teorema de Pitágoras, ou seja, que são medidas dos comprimentos de um triângulo retângulo: Opção (): 1 = Opção (): 13 = + 1 Opção (): 14 = Opção (): 1 = = = 1 é uma proposição falsa 169 = = 169 é uma proposição verdadeira 196 = = 0 é uma proposição falsa = = 4 é uma proposição falsa Resposta: Opção Teste Intermédio 8 o ano omo [] é um retângulo [] é um triângulo retângulo e o lado [] é a hipotenusa. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores dados, vem que: = + = + 4 = = 0 = 0 >0 omo E =, temos que E = 0 omo ao ponto corresponde o número 1 0, ao ponto E corresponde o número = 1 Teste Intermédio 9 o ano Página de 10

6 18. onsiderando o triângulo retângulo [O], podemos calcular a medida da hipotenusa (o lado [O]) recorrendo ao Teorema de Pitágoras, identificando que = O = porque é a medida do raio das circunferências, ou metade da medida dos lados do quadrado. ssim, vem que O = + O O = + I O = O = 8 O = 8 O>0 Verificando que [I] é um raio de uma circunferência, e por isso, I =, e como IO = O + I, vem que o comprimento de [IO], arredondado às décimas, é IO = 8 + 4,8 H O Exame Nacional 3 o iclo 010, a chamada 19. Utilizando a propriedade enunciada, temos que, como [] é um trapézio inscrito na circunferência, então + = omo =, e substituindo as medidas conhecidas, temos que = = ( 10 ) = = 4 = 4 >0 Teste Intermédio 9 o ano Se o triângulo for retângulo, as medidas dos comprimentos verificam o Teorema de Pitágoras. omo o lado maior de um triângulo retângulo é a hipotenusa, fazendo a verificação temos: 30 = = = 1 Prop. Falsa Logo como as medidas dos lados do triângulo não verificam o Teorema de Pitágoras, podemos concluir que o triângulo não é retângulo. Teste Intermédio 8 o ano omo os pontos E e F são os pontos médios dos lados [] e [], respetivamente, e a medida do lado do quadrado é 10, temos que E = F = E assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores conhecidos, vem que: EF = E + F EF = + EF = + EF = 0 EF = 0 EF >0 Escrevendo o resultado arredondado às décimas, temos EF = 0 7,1 Teste Intermédio 9 o ano Página 6 de 10

7 . omo [OF G] é um quadrado, o ângulo OF é reto e o triângulo [OF ] é retângulo em G, pelo que podemos recorrer ao Teorema de Pitágoras: O = OF + F omo [OF ] e [F ] são lados de um quadrado temos que OF = F, e assim O = OF + F O = OF + OF O = OF omo [O] e [O] são raios de uma circunferência temos que O = O =, pelo que O = OF = OF 4 = OF = OF = OF OF >0 E assim, vem que o valor exacto, em centímetros, da medida do lado do quadrado [OF G] é Exame Nacional 3 o iclo 009, a chamada 3. omo =, então a reta O é perpendicular ao segmento [], e assim, temos que o triângulo [O] é retângulo em Temos ainda que o ponto é o ponto médio do lado [], pelo que = = 6,4 = 3, ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores conhecidos, vem que: O = + O 6,8 = 3, + O 46,4 = 10,4 + O 46,4 10,4 = O 36 = O O>0 36 = O 6 = O omo [EO] é um raio da circunferência, tal como [O], então EO = O = 6,8 omo EO = E + O E = EO O, e podemos calcular a medida do comprimento de [E], em centímetros: E = 6,8 6 = 0,8 cm Exame Nacional 3 o iclo 009, 1 a chamada 4. omo o lado [] do triângulo é um diâmetro da circunferência e o vértice pertence à mesma circunferência, então o triângulo [] é retângulo e o lado [] é a hipotenusa. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores dados, vem que: = + 1 = 1 + = = 81 = 81 = 9 = >0 omo os lados [] e [] do triângulo são perpendiculares, se considerarmos um deles como a base, o outro será a altura, e assim temos que a área do triângulo é [] = = 1 9 = 108 = 4 omo [] é um diâmetro da circunferência, então o raio é r = = π r = π 7, = 6,π = 1 = 7,, e a área do círculo é área da região sombreada, S, pode sr calculada como a diferença da área do círculo e da área do triângulo, pelo que calculando a área da região sombreada e escrevendo o resultado arredondado às unidades, temos S = [] = 6,π 4 13 Teste Intermédio 9 o ano Página 7 de 10

8 . omo [F ] é um quadrado de lado 4, temos que F = 4 e que o triângulo [F E] é retângulo. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores dados, calculando a medida do comprimento de [E] e escrevendo o resultado arredondado às décimas, vem E = F + EF E = E = E = 17 E = 17 E 4,1 E>0 Teste Intermédio 8 o ano omo o triângulo [] é retângulo em, recorrendo ao Teorema de Pitágoras para determinar a mediada do lado [], vem: = + = = = ssim, a área do retângulo [EF ] é = = 00 cm >0 [EF ] = E = = cm Teste Intermédio 9 o ano Recorrendo ao Teorema de Pitágoras para calcular a medida do comprimento do outro cateto, c, e escrevendo o resultado na forma de valor exato, temos 1 = 10 + c = c 100 = c 1 = c c>0 1 = c Exame Nacional 3 o iclo 008, a chamada 8. omo a medida da área do quadrado [EF ] é 64, podemos calcular a medida do lado: = 64 = 8 omo [EF ] é um quadrado, então o triângulo [F ] é retângulo em e = F, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos calcular a mediada do lado [F ]: F = + F F = = = 18 F = 18 F >0 omo as diagonais de um quadrado se bissetam mutuamente, podemos calcular a medida do comprimento do segmento de reta [O] e escrever o resultado arredondado às décimas: O = F 18 =,7 Exame Nacional 3 o iclo 008, 1 a chamada 9. omo [GH] é um quadrado, então o triângulo [HG] é retângulo em H e H = HG, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos calcular a mediada do lado [G], ou seja, a medida do comprimento da diagonal do quadrado [GH] e indicar o resultado arredondado às décimas: G = H + HG G = G = G = 7 G = 7 G 8, G>0 Teste Intermédio 8 o ano Página 8 de 10

9 30. omo [F G] é um quadrado de área 36 e [E] é um quadrado de área 64, podemos calcular as medida dos lados: F G = 36 = 6 e E = 64 = 8 omo o ponto F pertence ao segmento [E], e F G = F temos que: E = F + F E 8 = 6 F E 8 6 = F E = F E omo o segmento [F G] é perpendicular ao segmento [E], temos que o triângulo [GF E] é retângulo em F, e assim recorrendo ao Teorema de Pitágoras, calculamos o valor exato de EG: EG = F G + F E EG = 6 + EG = EG = 40 EG = 40 EG>0 Teste Intermédio 9 o ano esenhando um esboço do sólido (representado na figura ao lado), temos que o sólido é uma pirâmide quadrangular. EF GH omo = 6, temos que QP = Q = = 6 = 3 E como a altura relativa ao triângulo [F ] relativa à base [] é, QF = Q P altura da pirâmide é o segmento [P F ], e como a altura á perpendicular à base, o triângulo [QP F ] é retângulo, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, calculamos a altura da pirâmide, ou seja a medida do comprimento do segmento [P F ]: QF = QP + P F = 3 + P F = 9 + P F 9 = P F 16 = P F 16 = P F 4 = P F P F >0 Exame Nacional 3 o iclo 007, a chamada 3. Num retângulo com 4 cm de comprimento e 3 cm de largura podemos calcular a medida da diagonal, d, recorrendo ao Teorema de Pitágoras: d = d = d = d>0 d = d = omo sabemos que a medida do comprimento diagonal do televisor é = 70, e os retângulos são semelhantes, temos que as medidas dos lados são proporcionais, tal como as medidas das diagonais, pelo que podemos calcular a medida, c, do comprimento do televisor: c 4 = d c 4 = 70 c = 70 4 c = 80 c = 6 cm nalogamente podemos calcular a medida, l, da largura do televisor: l 3 = d l 3 = 70 l = 70 3 l = 10 l = 6 cm 33. omo o retângulo está inscrito numa circunferência, a medida do diâmetro da circunferência é igual à medida da diagonal do retângulo. Exame Nacional 3 o iclo 007, 1 a chamada ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras para determinar o valor exato da medida d da diagonal do retângulo, temos 3 d = + 3 d = d = 13 d>0 d = 13 Exame Nacional 3 o iclo 006, 1 a chamada Página 9 de 10

10 Recorrendo ao Teorema de Pitágoras para determinar a medida h da hipotenusa do triângulo: h = h = h = 4 h>0 h = 4 Pelo que podemos afirmar que o Vítor respondeu corretamente omo num triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre o lado de maior comprimento, a opção () não pode ser a correta porque, neste caso a hipotenusa seria menor que o cateto de comprimento 6. omo num triângulo, a medida do comprimento do lado maior tem que ser inferior à soma das medidas dos comprimentos dos lados menores, neste caso, como a soma dos comprimentos dos lados menores é = 9, 10 não pode ser a medida do comprimento do lado maior, pelo que a opção () também não é a opção correta. Prova de ferição omo a altura é perpendicular ao solo, a torre forma, com o solo, um triângulo retângulo em que os catetos medem 36 m e 9,6 m e a hipotenusa tem medida h ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do comprimento, h, da torre e apresentando o resultado aproximado às unidades, temos: h = ,6 h = h = 1388,16 h>0 h = 1388,16 h 37 m Prova de ferição e acordo com a figura observamos que o bambu forma, com o chão um triângulo retângulo em que os catetos medem,7 cm e 1, m de comprimento. ssim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do comprimento, h, da hipotenusa, temos: h =,7 + 1, h =,176 +, h = 7,46 h>0 h = 7,46 h =,7 m ssim, e de acordo com a figura, a altura inicial do bambu, a i, é a soma do comprimento da hipotenusa com o comprimento do cateto maior do triângulo: a i =,7 +,7 = m Prova de ferição 00 Página 10 de 10

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