Triângulos classificação

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1 Triângulos classificação Quanto aos ângulos Acutângulo: possui três ângulos agudos. Quanto aos lados Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo: possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o teorema de Pitágoras: hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2 Isósceles: dois lados de mesma medida. Obs.: os ângulos opostos aos lados congruentes também são de mesma medida. Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso. Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si. 1

2 Triângulos - medidas de seus ângulos Soma das medidas dos ângulos internos Teorema do ângulo externo a + b + g = 180º a + x = 180º b + g = x Condição de existência de um triângulo A soma das medidas dos dois lados menores tem que ser maior que a medida do lado maior. b + c > a 2

3 Triângulos cevianas e pontos notáveis Ceviana Definição Ponto notável Figura Mediana É o segmento que tem como extremidade um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Baricentro (G): é o ponto de encontro das medianas do triângulo; é o centro de gravidade do triângulo. Bissetriz Altura Mediatriz É o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. É o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos. Reta que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo e é perpendicular a ele. Incentro (I): é o encontro das bissetrizes internas do triângulo; é o centro da circunferência inscrita no triângulo, pois equidista dos três lados. Ortocentro (H): é o ponto de encontro das retas que contêm as alturas, podendo pertencer ao exterior do triângulo. Circuncentro (C): é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois equidista dos três vértices. 3

4 Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos. 1 o caso: LAL Dois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente 2 o caso: LLL Três lados congruentes 3 o caso: ALA Dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente 4 o caso: LAA o Um lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente 4

5 Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes. Assim teremos: 1 o caso: AA Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será. Casos de semelhança: 2 o caso: LLL Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. 3 o caso: LAL Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. = = = AB BC AC constante DE EF DF 5

6 Relações métricas no triângulo retângulo Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento perpendicular ao lado, com D em. BC BC AD Definições dos segmentos: BC = hipotenusa (medida "a") AB = cateto (medida "c") AC = cateto (medida "b") BD = projeção do cateto AB sobre a hipotenusa (medida "m") DC = projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (medida "n") AD = altura relativa à hipotenusa (medida "h") Assim teremos: a = b + c a h = b c b c h = m a = n a = m n 6

7 Quadriláteros São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º. Paralelogramo Retângulo Quanto aos ângulos Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares. Quatro ângulos retos. Quanto às diagonais Encontram-se no seu ponto médio. São Quanto aos lados Lados opostos Lados opostos Losango Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares. São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango. Quatro lados Quadrado Quatro ângulos retos. Encontram-se no seu ponto médio e são Quatro lados 7

8 Quadriláteros Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor. Trapézio retângulo É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases. Trapézio isósceles É todo trapézio que tem dois lados não paralelos 8

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