Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Fase

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1 Prova final de MTMÁTI - o ciclo a ase Proposta de resolução aderno 1 1. omo no histograma estão representados todos os alunos a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, ter uma massa corporal inferior a 4 kg, é exatamente a frequência relativa da classe [40,4[, ou seja, o valor de k omo a soma de todas as frequências relativas, em percentagem é 100 %, então podemos determinar o valor de k, resolvendo a equação seguinte: Resposta: Opção k k k k 8. omo 4,4, ou seja, 4 < < e a distância entre cada dois pontos consecutivos é 1, entãoo ponto de abcissa a + está situado entre os pontos U e V, porque: 4 < < a + 4 < a + < a + a + P Q a R a + 1 S a + T a + U V a + 4 a + Resposta: [UV ]. omo a distância média da Terra ao Sol é igual a 149,6 milhões de quilómetros, ou seja: 149, ,000 1, Km ntão podemos calcular a distância média de Neptuno ao Sol, em quilómetros, multiplicando a distância anterior por 0. azendo o cálculo e escrevendo o resultado em notação científica, temos: 1, , , , Km 4. omo o triângulo é retângulo, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os comprimentos dos catetos, calculando o comprimento da hipotenusa (h) e arredondando o resultado às centésimas, vem: h h h 6148 h>0 h 6148 h 78,41 Página 1 de

2 . omo os triângulos [H] e [G ] são ambos retângulos, e ÂH Ĝ, pelo critério L os triângulos são congruentes e, por isso H Temos ainda que: ssim, como G, temos que: G 1 11, m omo, relativamente ao ângulo G, o lado [G] é o cateto adjacente e o lado [ ] é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos: tg Ĝ G tg 0, tg 0, omo tg 0 0,77, vem que: 0,77,,174 m omo +, então a distância da superfície do rés do chão à superfície do. o andar, arredondada às centésimas, é:,174 6, m Verificando que as retas, H e contêm arestas do cubo, então, respetivamente, pertencem, são paralelas ou são perpendiculares ao plano que contém a face [] do cubo. G H ssim, a reta H, que contém uma diagonal do cubo, interseta as seis faces do cubo sem ser perpendicular a nenhum deles, em particular é secante e não perpendicular ao plano que contém a face [] V Resposta: Opção 6.. omo o volume do cubo é 79 cm, então a medida da aresta é: 79 9 cm omo o vértice V coincide com o centro do cubo, a altura da pirâmide é metade da aresta do cubo, e assim, o volume da pirâmide [V ] é: V [V ] [] altura , cm Página de

3 aderno 7. omo os dois alunos são sorteados simultaneamente, podemos organizar todas os pares de alunos que é possível sortear com recurso a uma tabela: Rapariga M 1 Rapariga M Rapaz H 1 Rapaz H Rapariga M 1 M 1 M M 1 H 1 M 1 H Rapariga M M H 1 M H Rapaz H 1 H 1 H ssim, podemos observar que existem 6 pares diferentes que podem ser sorteados, dos quais 4 são constituídos por um rapaz e uma rapariga, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, e apresentado o resultado na forma de fração, temos: p Pela observação do diagrama de extremos e quartis, podemos identificar o primeiro e o terceiro quartis: Q 1 4 e Q 7 assim a amplitude interquartis é: Q Q Representando na reta real o conjunto [,1[, temos: ssim, podemos verificar que, como o intervalo é aberto no limite superior, 1 / [,1[, e assim vem que: Resposta: Opção X [,1[ Z {, 1,0} 10. abcissa do ponto é, a abcissa do ponto é 4 e, como o triângulo [O] é isósceles, (O ) então a altura relativamente ao lado [O] pertence à bissetriz deste lado. omo o ponto é o ponto do gráfico de f que tem abcissa, podemos calcular a sua ordenada (y ), recorrendo à expressão algébrica da função f: ssim, temos que a área do triângulo [O] é: y f() 4() [O] O f() x y Página de

4 11. representação gráfica de uma função de proporcionalidade inversa é parte de uma hipérbole que não interseta o eixo das ordenadas. ssim, de entre as opções apresentadas, a única representação gráfica que não interseta o eixo Oy é a da opção () Resposta: Opção 1. omo o termo geral da sucessão é b n e a sucessão tem valores alternadamente negativos e positivos, então b < 0 omo o valor absoluto dos termos da sucessão são potências de, ou seja, os valores da sucessão b n, temos que: b 1. omo a equação está escrita na fórmula canónica, usando a fórmula resolvente para resolver a equação e escrevendo as soluções na forma de fração irredutível, temos: (a 10, b e c 1) 10x x 1 0 x ( ) ± ( ) 4(10)( 1) (10) x ± x ± 49 0 {.S. 1 },1 x x 7 0 x 10 0 x 4 0 x 1 x Resolvendo a inequação, temos: x + > (x 1) x + > x x + > x 1 () 1 () x + > 10x 10 x + > 10x 10 x 10x > 10 9x > 1 9x < 1 x < 1 9 ].S., 1 [ 9 1. Podemos substituir as soluções no sistema, para identificar qual delas verifica as duas equações do sistema simultaneamente, ou então, resolver o sistema para encontrar a solução: x + y y + y y y y 1 x y 0 x y x y x y x 1.S. {(1,1)} Resposta: Opção Página 4 de

5 16. Usando as regras operatórias de potências e escrevendo o resultado na forma de uma potência de base 4, temos que: ( 1 ) ( ) omo a área do triângulo é o produto dos comprimentos de dois lados adjacentes, escrevendo e simplificando a expressão da área, temos que: x (x + ) x + x 18. omo o ângulo é o ângulo inscrito relativo ao arco, a amplitude do ângulo é metade da amplitude do arco, ou seja: ˆ 60 0 omo, num triângulo a lados iguais se opõem ângulos com a mesma amplitude e então ˆ Â, e como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, vem que: ˆ + Â + ˆ 180 ˆ + ˆ ˆ ˆ 10 ˆ 0 7 esta forma, como ˆ 0, vem que: 7 ˆ ˆ + ˆ Temos que: a reflexão do ponto relativamente ao eixo é o ponto a translação do ponto associada ao vetor é o ponto ssim, a imagem do ponto pela reflexão deslizante de eixo e vetor, é o ponto Resposta: Opção 0. ois planos, ambos perpendiculares a um terceiro plano, não são necessariamente perpendiculares entre si. H ssim, temos que: o plano é perpendicular ao plano (porque contém faces adjacentes do cubo) o plano também é perpendicular ao plano (porque contém faces adjacentes do cubo) Mas, como o ângulo não é reto, os planos e, não são perpendiculares entre si. G Página de