MATEMÁTICA - 3o ciclo Posição relativa de retas e planos (9 o ano) Propostas de resolução

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1 MTMÁT - 3o ciclo Posição relativa de retas e planos (9 o ano) Propostas de resolução xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. nalisando as quatro retas indicadas podemos ver que a reta é paralela ao plano a reta é concorrente, mas não perpendicular ao plano a reta pertence ao plano reta é perpendicular ao plano Resposta: Opção Prova inal 3 o iclo 2015, Época especial 2. Usando as letras da figura podemos definir seis retas perpendiculares ao plano, por exemplo, a reta L L Prova inal 3 o iclo 2015, 2 a fase Página 1 de 7

2 3. nalisando as quatro retas indicadas podemos ver que as retas e pertencem a um plano paralelo ao plano, e por isso são paralelas ao plano reta pertence ao plano, pelo que não é concorrente com o plano. reta interseta o plano num único ponto (que não está representado na imagem), ou seja é concorrente com o plano. Resposta: Opção Prova inal 3 o iclo 2014, 2 a chamada 4. omo o plano é o plano que contém a base superior do paralelepípedo retângulo, qualquer reta contida na base inferior do paralelepípedo é paralela ao plano e não está contida no plano. ssim, usando as letras da figura, uma das respostas possíveis é a reta Prova inal 3 o iclo 2014, 1 a chamada 5. Os planos a que pertencem as bases opostas de um cilindro são paralelos. Prova inal 3 o iclo 2013, 2 a chamada 6. scolhendo um dos pontos, ou, e outro ponto assinalado na figura definimos retas concorrentes com a reta. É ainda necessário fazer essa escolha de forma a evitar que a reta definida contenha uma aresta do prisma, pelo que uma das escolhas possíveis é, por exemplo, a reta. Prova inal 3 o iclo 2013, 1 a chamada Página 2 de 7

3 7. Observando a reta e o plano (na figura seguinte, à esquerda), podemos verificar que a reta não é perpendicular nem paralela ao plano. Observando a reta e o plano (na figura acima, à direita), podemos verificar que a reta não é paralela ao plano, mas é perpendicular. Resposta: Opção Teste ntermédio 9 o ano omo o plano contém toda a face anterior do sólido, e o plano contém toda a face mais à direita do cubo (como podemos observar na figura ao lado), temos que a interseção dos planos e é a reta L Prova inal 3 o iclo , 2 a chamada 9. omo o plano contém a face [ ] do paralelepípedo, a aresta [] é perpendicular a esta face (como se pode observar na figura ao lado). ssim, uma reta que passe no ponto e seja perpendicular ao plano é a reta L M N Prova inal 3 o iclo 2012, 1 a chamada 10. omo o cubo é parcialmente mergulhado no recipiente com tinta, a uma das faces fica completamente pintada, outra mantém-se branca e as restantes 4 ficam parcialmente pintadas. Podemos rejeitar a Planificação porque não tem nenhuma face completamente pintada. Podemos rejeitar a Planificação porque a completamente pintada e a face totalmente branca são adjacentes e não opostas como no cubo mergulhado no recipiente. Podemos rejeitar a Planificação porque a parte pintada das faces parcialmente pintadas não são adjacentes à face totalmente pintada como no cubo mergulhado no recipiente. Planificação cumpre todas as condições que as restantes não verificam, pelo que é a planificação do cubo depois de retirado do recipiente. Resposta: Opção Prova inal 3 o iclo 2012, 1 a chamada Página 3 de 7

4 11. omo os três lados do triângulo são diagonais de quadrados congruentes, então o triângulo é equilátero. omo o triângulo é equilátero então as amplitudes dos ângulos internos são iguais, e a soma é 180, pelo que Ĉ + ˆ Â = Ĉ = 180 Ĉ = Ĉ = 60 3 Teste ntermédio 8 o ano Os planos e são concorrentes, mas também perpendiculares, com o plano ; e o plano é paralelo ao plano e entre as opções apresentadas o plano é o único plano concorrente, não perpendicular, com o plano Resposta: Opção Prova inal 3 o iclo 2011, Época especial scolhendo uma mesma letra na definição das duas retas, é suficiente para garantir que as retas têm esse ponto em comum, ou seja são concorrentes. inda assim existem várias escolhas possíveis, por exemplo a reta e a reta Página 4 de 7

5 13.2. omo as faces triangulares do prisma são triângulos retângulos, podemos excluir a planificação e a planificação. omo, o lado menor das faces triangulares é concorrente com as faces retangulares e não com as faces quadradas, também podemos excluir a planificação. Resposta: Opção xame Nacional 3 o iclo , 2 a chamada 14. s retas e são paralelas, pelo que não são concorrentes, mas existe um plano ao qual ambas pertence, ou seja, são complanares. P s retas P e pertencem ambas ao plano que contém a base inferior do paralelepípedo, ou seja, são complanares e intersetam-se no prolongamento das arestas [P ] e [], num ponto exterior do paralelepípedo. Resposta: Opção xame Nacional 3 o iclo , 1 a chamada 15. reta não pertence ao plano, porque, nem o ponto, nem o ponto pertencem ao plano. omo o ponto pertence à reta e ao plano, podemos afirmar que a reta não é estritamente paralela ao plano. reta perpendicular ao plano que contém o ponto é a altura da pirâmide, pelo que a reta que contém a aresta [] não é perpendicular ao plano. ssim, podemos afirmar que a reta é concorrente (no ponto ) com o plano, mas não é perpendicular, ou seja é concorrente oblíqua. Resposta: Opção Prova inal 3 o iclo 2010, 2 a chamada Página 5 de 7

6 16. omo o plano contém uma face do prisma e a reta contém uma aresta da face oposta, e as faces opostas do prisma estão em planos paralelos, então a reta é estritamente paralela ao plano Resposta: Opção Prova inal 3 o iclo 2010, 1 a chamada 17. omo o prisma é reto, e o cubo também é um prisma reto, qualquer reta que contenha uma aresta lateral do prisma (ou uma aresta do cubo que não pertença às faces [] e [L]é perpendicular ao plano que contém a base da floreira. M L P N O ssim, a reta pretendida pode ser, por exemplo, a reta m m Prova inal 3 o iclo 2009, 2 a chamada 18. reta não é paralela nem perpendicular ao plano [], que contém a base do prisma. reta como está contida na face do prima que é paralela à face [] é paralela ao plano que contém esta face. Resposta: Opção xame Nacional 3 o iclo , 1 a chamada Página 6 de 7

7 19. omo o poste representado pelo segmento [] é paralelo ao poste representado pelo segmento [ ], e este está contido no plano, então o poste representado pelo segmento [] é estritamente paralelo ao plano Resposta: Opção Teste ntermédio 9 o ano Página 7 de 7

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