Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada

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1 Prova final de MTEMÁTI - 3o ciclo 01 - a hamada Proposta de resolução aderno omo o ponto de coordenadas (,) pertence ao gráfico de f, então f() = 1.. omo a função f é uma função de proporcionalidade inversa, então f(x) = k x, k R \ {0} omo f() =, temos que = k = k 8 = k E assim, podemos calcular f(5) = 8 5 Ou seja o ponto tem de coordenadas ( 5, 8 ) 5 esta forma, temos que O = 5 e = 8, pelo que o perímetro do retângulo [O] é dado por 5 P [O] = O + = = = = 66 5 = 13,. omo sabemos que a b = 50, os valores da opção () não podem ser os de a e de b porque 0 3 = 60 omo a e b são primos entre si, os valores da opção () não podem ser os valores de a e de b porque ambos são divisíveis por 3 e por 5 Pela mesma razão podemos excluir a opção () porque ambos os valores são múltiplos de 5 ssim, os valores de a e b podem ser 18 e 5, porque 18 5 = 50, e também podemos verificar que 18 = 3 e 5 = 5, ou seja, 18 e 5 são primos entre si, porque não têm qualquer fator primo em comum. Resposta: Opção omo [O] e [O] são raios da mesma circunferência, O = O = ssim, como o triângulo [O] é retângulo, usando o Teorema de Pitágoras, temos que = O + O = + 3 = + 9 = 13 = 13 >0 Resposta: Opção 3.. omo O = cm e O = 3 cm, então a semelhança que transforma o segmento de reta [O] no segmento de reta [O] é uma ampliação, e por isso a razão de semelhança (r) é maior que 1. ssim temos r = O O = 3 Página 1 de 5

2 3.3. omeçamos por determinar a área do círculo de centro em O e raio O: = π O = π = π alculando a área do triângulo [O], como [O] e [O] são raios da mesma circunferência, O = O =, e assim [O] = O O = = omo o quadrado de lado é composto por triângulos com a mesma área do triângulo [O], temos que a diferença das áreas do círculo e do quadrado é: [O] = π = π 8 O omo a área sombreada é um quarto da diferença das áreas do círculo e do quadrado, calculando a área da região representada a sombreado ( S ), e arredondando o resultado às décimas, vem: S = [O] ssim a área da região sombreada é de 1,1 cm = π π 1,1..1. omo [] é um triângulo, e a reta é tangente à circunferência no ponto e por isso perpendicular ao diâmetro [], então a amplitude, em graus, do ângulo, pode ser calculada como  + Ĉ + ˆ = 180  = 180  =  = 0 omo o ângulo é o ângulo inscrito relativo ao arco, temos que: Resposta: Opção =  = 0 = 80.. O triângulo [] é retângulo em. omo, relativamente ao ângulo, o lado [] é o cateto adjacente e o lado [] é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos: omo tg 50 1,19, vem que: tg 50 = tg 50 = 8 8 1,19 9,5 8 tg 50 = ssim, arredondando o resultado às décimas, vem que 9,5 cm Página de 5

3 aderno alculando o total de alunos de cada idade, vem: anos 13 anos 1 anos 15 anos 16 anos Raparigas Rapazes Total omo a moda (ˆx) desta distribuição é o valor da idade com maior frequência absoluta, ou seja, a observação com mais efetivos, temos que ˆx = omo cada aluno do 5 o ano recebe uma rifa, serão distribuídas 0 rifas a alunos do 5 o ano. omo cada aluno do 6 o ano recebe duas rifas, serão distribuídas 30 = 60 rifas a alunos do 6 o ano. ssim total serão distribuídas = 80 rifas. esta forma, recorrendo à Regra de Laplace, existem 60 casos favoráveis para que o aluno premiado seja do 6 o ano e 80 casos possíveis, pelo que a probabilidade é p = = 6 8 = 3 6. omo se sabe que 10 é o valor exato da média dos números 9, 10, 1 e k, temos que k Resposta: Opção = k = k = 10 k = 0 33 k = 7 7. Multiplicando 9 por, e aplicando as regras operatórias de potências temos 9 = 9 1 = 9+1 = nalisando as quatro hipóteses temos que: 3 é um número inteiro e como 3 > π, logo 3 [ π, + [ é um número inteiro, mas como < π, logo / [ π, + [ π [ π, + [, mas π não é um número inteiro π 1 / [ π, + [, e também não é um número inteiro ssim, das opções apresentadas, 3 é o único número que satifaz as duas condições impostas. Resposta: Opção 9. Resolvendo a inequação, temos.s.=[ 1, + [ x x () x (5) x x x 10 x x x + 6x + 5x 7x 5x x 1 Página 3 de 5

4 10. Fazendo o desenvolvimento do caso notável, e simplificando, vem Resposta: Opção (x 1) 1 = x 1 x = x x = x x Podemos determinar a ordenada do ponto P, calculando a imagem de pela função f: ssim o ponto P tem de coordenadas P (, 8) f() = () = = 8 omo o gráfico da função g é uma reta que passa na origem do referencial, a expressão algébrica da função g é da forma g(x) = kx, k R omo o ponto P também pertence ao gráfico de g, substituindo as coordenadas de P na expressão anterior, podemos determinar o valor de k: 8 = k() 8 = k = k ssim, temos que a função g é definida algebricamente por g(x) = x Resposta: Opção 11.. Escrevendo a equação na fórmula canónica, e usando a fórmula resolvente vem: x = 3(x + 1) x = 3x 3 x + 3x + 3 = 0 x + 3x 1 = 0 (a =, b = 3 e c = 1) x = 3 ± 3 ( )( 1) ( ) { } 1.S.=,1 x = 3 ± 9 8 x = 3 ± 1 x = x = x = 1 x = 1. Seja x o número de quilómetros percorridos pelo médico. 0,0x é o valor, em euros, a pagar pela deslocação do médico x = x = 0,0x + 10 é o valor total, em euros, a pagar pela deslocação do médico e pela consulta 0,0x + 10 = 18 é a equação que traduz o problema Resolvendo a equação temos: 0,0x + 10 = 18 0,x = x = 8 x = 8 10 O médico percorreu 0 quilómetros nesta deslocação. x = 0 Página de 5

5 13. E I H F G translação do ponto F pelo vetor é o ponto G 13.. nalisando as quatro retas indicadas podemos ver que as retas F G e EG pertencem a um plano paralelo ao plano, e por isso são paralelas ao plano reta pertence ao plano, pelo que não é concorrente com o plano. reta IG interseta o plano num único ponto (que não está representado na imagem), ou seja é concorrente com o plano. F E I G H Resposta: Opção O volume de um prisma com a altura da pirâmide é O volume da pirâmide é um terço do prisma anterior, ou seja, = = 3 ssim, temos que = = = 1 Página 5 de 5