MATEMÁTICA - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano)

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1 MTMÁTI - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. No transporte marítimo de gás, usam-se, frequentemente, navios com tanques esféricos. Na figura seguinte, à direita, está representado, em esquema, o casco de um desses navios. ste esquema é composto pelo paralelepípedo retângulo [ ] e pela pirâmide retangular irregular [I], cujo vértice I pertence ao plano que contém a face [] do paralelepípedo retângulo. I Navio de transporte de gás dmite que = 10 cm e = 3 cm. etermina. presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova inal 3 o iclo 2018, Época especial Página 1 de 16

2 2. asa das istórias Paula Rego é um museu de arte localizado em ascais. Na figura ao lado, em baixo, representa-se, em esquema, uma das partes desse edifício. No esquema, estão representados o prisma reto de bases quadradas [ ] e o tronco de pirâmide [ IJKL], da pirâmide reta de base quadrada [ V ]. s faces [ ] e [IJKL], do tronco de pirâmide, são paralelas. Relativamente ao esquema, admite que: = 9 cm, = 6 cm e KL = 3 cm; a altura da pirâmide [ V ] é 24 cm; a distância entre os planos [ ] e [JKL] é 16 cm. K J V L I etermina. presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova inal 3 o iclo 2018, 2 a fase 3. Na figura seguinte, está representado o prisma reto [ST UV W XY Z], que é o esquema da secção inclinada de uma cama articulada. s bases do prisma são trapézios. Relativamente ao prisma, sabe-se que: [ST U V ] é um trapézio de bases [V S] e [U T ], retângulo no vértice V [SXW V ] é um quadrado cujos lados têm 15 cm de comprimento; UV = 7 cm. U W Z T Y X etermina U S. V S presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova inal 3 o iclo 2018, 1 a fase Página 2 de 16

3 4. Uma horta plana tem a forma de um trapézio retângulo. trapézio [] da figura seguinte, de bases [] e [], retângulo em, é um esquema da horta. 12 m = 20 m; = 12 m; = 20 m. horta vai ser delimitada por uma rede. etermina o comprimento da rede. presenta o resultado em metros. Mostra como chegaste à tua resposta. 6 m 20 m Prova de ferição 8 o ano Na figura seguinte, está representado o triângulo [], retângulo em. [] é a altura do triângulo [] relativa ao lado []; = 1 cm; = 8 cm. figura não está desenhada à escala. 1 cm etermina. 8 cm presenta o valor pedido em centímetros. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova inal 3 o iclo 2017, Época especial 6. s catetos de um triângulo retângulo medem 48 cm e 62 cm. etermina o comprimento da hipotenusa desse triângulo. presenta o resultado em centímetros, arredondado às centésimas. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova inal 3 o iclo 2017, 2 a fase Página 3 de 16

4 7. Na figura seguinte, estão representados o prisma reto [ ] de bases quadradas [] e [ ] e as pirâmides triangulares [ ] e [ST R], cujas bases [ ] e [ST R] estão contidas em planos paralelos. s vértices S, T e R da pirâmide [ST R] pertencem, respetivamente, às arestas [ ], [] e [] da pirâmide [ ] onsidera que: S = 6 cm ST = 4 cm = 9 cm figura não está desenhada à escala. etermina T S R T presenta o valor pedido em centímetros, arredondado às décimas. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova inal 3 o iclo 2017, 1 a fase 8. Na figura ao lado, estão representados um cilindro e um prisma quadrangular regular [ ] de bases [] e [ ], inscritas nas bases do cilindro. altura do cilindro é igual a 5,3 cm e o raio da sua base é igual a 3 cm. figura não está desenhada à escala. etermina o volume do prisma. presenta o resultado em centímetros cúbicos, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova inal 3 o iclo 2016, 2 a fase 9. Na figura seguinte, estão representados o triângulo escaleno [LMN], as semirretas Ṁ e Ṅ, bissetrizes dos ângulos LMN e MNL, respetivamente, e a circunferência inscrita no triângulo LMN. a reta M N é tangente à circunferência no ponto P ; o ponto Q é a intersecção do segmento de reta [M ] com a circunferência. dmite que P = 3 e que P N = 3. Q L etermina o valor exato de N. presenta todos os cálculos que efetuares. M P N Prova inal 3 o iclo 2016, 1 a fase Página 4 de 16

5 10. Na figura ao lado, está representado um triângulo [], retângulo em 3 cm o ponto pertence ao segmento de reta [], o ponto pertence ao segmento de reta [] e o ponto pertence ao segmento de reta [] os segmentos de reta [] e [] são paralelos; = 6,3 cm = 7,8 cm = 3 cm ˆ = 90 6,3 cm 7,8 cm etermina o valor exato de presenta o resultado em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta. Prova de ferição 8 o ano Na figura ao lado, estão representados uma circunferência de centro no ponto e os pontos T, P,, M e figura não está desenhada à escala. os pontos T, e pertencem à circunferência; M é o ponto médio da corda [] a reta tangente à circunferência no ponto T intersecta a reta no ponto P P = 8 P = 2 P T = 4 T = 9,2 T P M etermina P presenta o resultado arredondado às unidades. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova inal 3 o iclo 2015, Época especial Página 5 de 16

6 12. Na figura ao lado, está representado o triângulo [], retângulo em figura não está desenhada à escala. o ponto pertence ao segmento de reta [] o ponto pertence ao segmento de reta [] o quadrilátero [ ] é um retângulo; = 6 cm = 9 cm = 4 cm Qual é o comprimento, em centímetros, do segmento de reta []? 9 cm 4 cm 6 cm () 114 cm () 117 cm () 120 cm () 123 cm Prova inal 3 o iclo 2015, 2 a fase 13. Na figura seguinte, estão representadas duas circunferências com centro no ponto, uma de raio e outra de raio o ponto pertence ao segmento de reta [] o segmento de reta [] é um diâmetro da circunferência de raio o segmento de reta [] é perpendicular ao segmento de reta [] = 2 cm = 3 cm figura não está desenhada à escala. Qual é a medida do comprimento, em centímetros, do segmento de reta []? () 13 () 12 () 11 () 10 Prova inal 3 o iclo 2014, 2 a chamada 14. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o triângulo [] é isósceles, com = os pontos e pertencem aos segmentos de reta [] e [], respetivamente o triângulo [] é semelhante ao triângulo [] = 4 cm = 6 cm l é a altura do triângulo [] relativa à base [] figura não está desenhada à escala. l 4 cm Também se sabe que = 7 cm Qual é o valor de l, em centímetros? 6 cm () 30 () 35 () 40 () 45 Prova inal 3 o iclo 2014, 1 a chamada Página 6 de 16

7 15. figura da esquerda, é uma fotografia de um moinho de vento de tipo mediterrânico, grupo ao qual pertence a maioria dos moinhos de vento portugueses. Na figura da direita, está representado um esquema das velas de um moinho de vento. os triângulos [], [], [ ] e [] são geometricamente iguais = 5m = = 7m esquema não está desenhado à escala. etermina a área do triângulo [ ] presenta o resultado em m 2, arredondado às unidades. presenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. 16. quadrilátero [], representado na figura seguinte, é um trapézio retângulo. Teste Intermédio 9 o ano = 3 = 4 = 5 ponto P desloca-se ao longo do segmento de reta [] Para cada posição do ponto P, tem-se P = x Qual é o valor, arredondado às décimas, da medida do perímetro do quadrilátero []? () 16,3 () 16,5 () 16,7 () 16,9 4 P x 3 5 Prova inal 3 o iclo 2013, 2 a chamada Página 7 de 16

8 17. Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto e os triângulos [] e [] os pontos, e pertencem à circunferência [] é um diâmetro da circunferência o triângulo [] é retângulo em os triângulos [] e [] são semelhantes figura não está desenhada à escala. dmite que: = 6 cm = 10 cm etermina a área do círculo de diâmetro [] presenta o resultado em cm 2, arredondado às unidades. presenta todos os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. 18. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: Prova inal 3 o iclo 2013, 1 a chamada os triângulos [] e [ ] são retângulos em o triângulo [ ] é isósceles o ponto pertence ao segmento de reta [] o ponto pertence ao segmento de reta [] os segmentos de reta [] e [] são paralelos = 12 cm o perímetro do triângulo [] é 48 cm o perímetro do triângulo [] é 16 cm Nota figura não está desenhada à escala. etermina o comprimento da circunferência que passa nos pontos, e presenta o resultado em centímetros, arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Prova inal 3 o iclo 2012, 2 a chamada Página 8 de 16

9 19. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o triângulo [] é escaleno e é retângulo em os pontos e P pertencem ao segmento de reta [] o ponto pertence ao segmento de reta [] o triângulo [] é retângulo em o ponto Q pertence ao segmento de reta [] P Q é um arco de circunferência figura não está desenhada à escala. P Q dmite que = 20, = 25 e = 40 etermina Mostra como chegaste à tua resposta. Prova inal 3 o iclo 2012, 1 a chamada 20. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o triângulo [] é rectângulo em o ponto pertence ao segmento [] o ponto pertence ao segmento [] os segmentos [] e [] são paralelos; = 5 = 12 = 18 figura não está desenhada à escala. etermina presenta os cálculos que efetuares. 21. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto xame Nacional 3 o iclo 2011, Época special os pontos,,, e pertencem à circunferência [] é um diâmetro da circunferência o ponto P é a interseção dos segmentos de reta [] e [] Â = 40 figura não está desenhada à escala. Relativamente ao triângulo retângulo [], admite que: = 6,8 cm = 3,2 cm etermina o perímetro da circunferência representada na figura anterior. presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. presenta os cálculos que efetuares. 40 P Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo duas casas decimais xame Nacional 3 o iclo 2011, 1 a chamada Página 9 de 16

10 22. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro, na qual está inscrito um quadrado [] figura não está desenhada à escala. dmite que = 6 etermina o perímetro da circunferência. presenta o resultado arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Teste Intermédio 9 o ano Na figura ao lado, está representado um triângulo retângulo []. figura não está desenhada à escala. Numa das opções seguintes estão indicadas as medidas dos lados deste triângulo. m qual delas? () = 4 () = 5 () = 6 () = 7 = 11 = 12 = 13 = 14 = 12 = 13 = 14 = 15 Teste Intermédio 8 o ano Na figura seguinte, está representado um rectângulo []. s vértices e são pontos da reta real. Sabe-se ainda que: o ponto é um ponto da reta real; = 2 = 4 = ao ponto corresponde o número 1 20 etermina o número que corresponde ao ponto Mostra como chegaste à tua resposta. 2 4 Teste Intermédio 9 o ano Página 10 de 16

11 25. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: [] é um quadrado de lado 4 e centro ; os pontos,, e são os pontos médios dos lados do quadrado []; os vértices do quadrado [] são os centros das circunferências representadas na figura; o raio de cada uma das circunferências é 2; o ponto I pertence à circunferência de centro no ponto ; o ponto pertence ao segmento de recta [I]. I etermina o comprimento de [I]. presenta os cálculos que efetuaste. screve o resultado arredondado às décimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. xame Nacional 3 o iclo 2010, 2 a chamada 26. astrónomo e matemático Ptolomeu enunciou a propriedade seguinte: Num quadrilátero inscrito numa circunferência, a soma dos produtos das medidas dos lados opostos é igual ao produto das medidas das diagonais. Na figura seguinte, está representado um trapézio [] inscrito numa circunferência. figura não está desenhada à escala. = 12 e = 9 = = 150 = etermina o valor exacto de, utilizando a propriedade enunciada por Ptolomeu. presenta os cálculos que efectuaste. Teste Intermédio 9 o ano Um triângulo cujas medidas dos comprimentos dos lados são 21, 28 e 30 é um triângulo retângulo? Mostra como chegaste à tua resposta. Teste Intermédio 8 o ano Na figura ao lado, está representado o quadrado [] lado do quadrado é 10,, e são os pontos médios dos lados [], [], [] e [], respetivamente. Qual é a medida de [ ]? presenta os cálculos que efetuaste. screve o resultado arredondado às décimas. Teste Intermédio 9 o ano Página 11 de 16

12 29. Na figura ao lado, sabe-se que: o diâmetro [] é perpendicular ao diâmetro []; [] e [ ] são quadrados geometricamente iguais; o ponto é o centro do círculo; = 2 cm. etermina o valor exato, em centímetros, da medida do lado do quadrado [ ]. presenta os cálculos que efetuares. xame Nacional 3 o iclo 2009, 2 a chamada 30. Na figura ao lado, sabe-se que: é o centro da circunferência; [] e [] são cordas geometricamente iguais; é o ponto de interseção do diâmetro [] com a corda []. Nota: figura não está construída à escala. Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de [], supondo que = 6,8 cm e = 6,4 cm? presenta os cálculos que efetuares. xame Nacional 3 o iclo 2009, 1 a chamada 31. Na figura ao lado, está representada uma circunferência. [] é um diâmetro de comprimento 15. é um ponto da circunferência. = 12 alcula a área da região sombreada da figura ao lado. presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. Teste Intermédio 9 o ano Na figura ao lado sabe-se que: [ ] é um quadrado de lado 4. é o ponto médio do segmento de reta []. = 1 Qual é a medida do comprimento de []? presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. Teste Intermédio 8 o ano Página 12 de 16

13 33. No jardim do clube desportivo s Medalhados, existem duas balizas como a representada na figura seguinte, à esquerda. figura anterior, à direita, representa um esquema da baliza da figura da esquerda. s triângulos [] e [ ] são retângulos em e em, respetivamente. [ ] é um retângulo. Nota: a figura da direita não está desenhada à escala. = 120 cm, = 180 cm e = 160 cm. etermina a área do retângulo [ ] do esquema da baliza representada na figura da direita. presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve a unidade de medida. Teste Intermédio 9 o ano Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos 10 cm. alcula a medida do comprimento do outro cateto. presenta os cálculos que efectuares e, na tua resposta, escreve o resultado na forma de valor exato. xame Nacional 3 o iclo 2008, 2 a chamada 35. Na figura ao lado, os vértices do quadrado [IJKL] são os pontos médios das semidiagonais do quadrado [ ]. interseção das diagonais dos dois quadrados é o ponto. s lados [] e [] do retângulo [] são paralelos aos lados [] e [ ] do quadrado [ ] e [] mede o triplo de []. L K Sabendo que a medida da área do quadrado [ ] é 64, calcula a medida do comprimento do segmento de recta []. Na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. presenta os cálculos que efectuares. I J xame Nacional 3 o iclo 2008, 1 a chamada 36. onsidera a figura ao lado, onde: é um ponto do segmento de reta [ ]; [] é um quadrado; [ ] é um quadrado; = 6 e = 2. Qual é o comprimento da diagonal do quadrado []? presenta todos os cálculos que efectuares e indica o resultado arredondado às décimas. Página 13 de 16

14 Teste Intermédio 8 o ano onsidera a figura ao lado, onde: [ ] é um quadrado de área 36; [] é um quadrado de área 64; é um ponto do segmento de reta []. etermina de o valor exato de presenta todos os cálculos que efectuares. Teste Intermédio 9 o ano Na figura ao lado, estão representados um quadrado [] e quatro triângulos geometricamente iguais. m cada um destes triângulos: um dos lados é também lado do quadrado; os outros dois lados são geometricamente iguais. figura é uma planificação de um sólido. Relativamente ao triângulo [ ], sabe-se que: a altura relativa à base [] é 5; = 6 Qual é a altura desse sólido? omeça por fazer um esboço do sólido, a lápis, e nele desenha o segmento de reta correspondente à sua altura. presenta todos os cálculos que efectuares. xame Nacional 3 o iclo 2007, 2 a chamada 39. iz-se que o ecrã de um televisor tem formato 4:3 quando é semelhante a um retângulo com 4 cm de comprimento e 3 cm de largura. ecrã do televisor do Miguel tem formato 4:3 e a sua diagonal mede 70 cm. etermina o comprimento e a largura do ecrã. presenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de medida. xame Nacional 3 o iclo 2007, 1 a chamada 40. Na figura ao lado, está representado um retângulo, cujas dimensões estão indicadas em centímetros (cm). Imagina que o retângulo está inscrito numa circunferência. Qual é o valor exacto do diâmetro dessa circunferência? presenta todos os cálculos que efetuares. 2 3 xame Nacional 3 o iclo 2006, 1 a chamada Página 14 de 16

15 41. Num teste de Matemática realizado pelo Victor e pela Rita apresentava-se a seguinte questão: comprimento de cada um dos catetos de um triângulo retângulo é respetivamente 3 e 6. Qual é a medida do comprimento da hipotenusa do mesmo triângulo? () 45 () 5 () 10 () Victor escolheu a opção (). Verifica se o Victor respondeu corretamente. presenta todos os cálculos que efetuares Rita não conseguiu calcular a medida do comprimento da hipotenusa mas, mesmo assim, conseguiu eliminar cada uma das opções erradas. Indica uma razão que a Rita possa ter utilizado para eliminar a opção e uma outra razão para eliminar a opção. Prova de ferição Quem chega a Lisboa, entrando pelo Tejo, encontra uma torre torta, mas elegante, que alberga o entro de oordenação e ontrolo de Tráfego Marítimo. torre tem a forma de um prisma quadrangular oblíquo. sua altura é de 36 m, e a torre está inclinada a sul, segundo um ângulo de cerca de 75 o. Se o sol incidisse a pique sobre a torre, esta projetaria uma sombra rectangular, em que um dos lados mediria, aproximadamente, 9,6 m, como está representado na figura. Qual é a medida do comprimento h da torre? presenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado aproximado às unidades. Prova de ferição 2003 Página 15 de 16

16 43. seguinte problema é adaptado do livro chinês Nove apítulos da rte Matemática, do século I a.. Um bambu partiu-se, a uma altura do chão de 2,275 m, e a parte de cima, ao cair, tocou o chão, a uma distância de 1,5 m da base do bambu. Qual era a altura do bambu antes de se ter partido? Resolve o problema e apresenta todos os cálculos que efetuares. Prova de ferição 2002 Página 16 de 16