Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Fase

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1 Prova final de MATEMÁTICA - o ciclo a Fase Proposta de resolução Caderno 1 1. Calculando o valor médio das temperaturas registadas, temos Resposta: Opção B = 5 0 =,6..1. O triângulo [ABO] é retângulo em B. Como, relativamente ao ângulo BAO, o lado [OB] é o cateto oposto e o lado [OA] é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos: sen 5 = Como sen 5 0,, vem que: OB OA sen 5 = 1 OA OA = 1 sen 5 OA 1 0,,6 Assim, a medida r do raio do círculo de raio [AD], é r = OA,6 Pelo que, calculando a área A S, do semícirculo de raio [AD] em centímetros quadrados, arredondados às décimas, vem A S = πr π,6 8,8 cm.. Sabendo que CÂD = BÂO = 5, e como o ângulo CAD é o ângulo inscrito relativo ao arco CB, temos que CD = CÂD CD = 5 CD = 50 Como AD é o arco de uma semicircunferência, AD = 180, e assim, vem que AD = AC + CD 180 = AC = AC AC = 10 Página 1 de 6

2 . Como ,8, temos que < 7 17 < 1 Assim, o ponto que representa o número 7 17 está localizado na reta real, entre os pontos C( 1) e D( ), ou seja, pertence ao segmento de reta [BC]: 7 17 A B C O D E F 1 0 Resposta: Opção B. Fazendo a divisão na calculadora e escrevendo o resultado em notação científica, vem 015 = 50,75 = 5, = 5, Como a função f é uma função de proporcionalidade inversa, então f(x) = k x, k R \ {0} Como o ponto (; 5) pertence ao gráfico de f, então f() = 5, e assim, temos que 5 = k 5 = k 10 = k E assim, podemos calcular f(,) = 10, =,15 Ou seja o ponto (,;,15) pertence ao gráfico de f, pelo que a ordenada do ponto do gráfico que tem de abcissa, é, Como a altura do prisma [LKNMHGJI] é da altura dos outros dois prismas, podemos considerar o sólido composto por 8 prismas com alturas e bases iguais entre si (como se ilustra na figura seguinte), e cujas bases são também iguais às bases dos três prismas descritos no enunciado, ou seja, bases com área s Assim, cada um destes 8 prismas tem 1 do volume do 8 sólido: 8 = 1 cm 8 Temos ainda que a altura de cada um destes 8 prismas é, CM = DE = 9 = cm Assim, o volume (V 8 ) de cada um destes 8 prismas pode ser calculado como V 8 = s CM, e substituindo os valores calculados antes vem V 8 = s CM 1 = s 1 = s D E C M Pelo que, arredondando a área s das bases dos prismas às décimas (em centímetros quadrados) é s = 1 10,cm Página de 6

3 A D 6.. Usando as letras da figura podemos definir seis retas perpendiculares ao plano ADE, por exemplo, a reta LK L K E Caderno Considerando o acontecimento A: sair o número oito, o acontecimento contrário é A: não sair o número oito pelo que, como existem cartões ( casos possíveis) em que deles não têm o número 8 (existem casos favoráveis), calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, temos: P ( A ) = 7.. Como a retirada dos dois cartões é feita simultaneamente, o mesmo cartão não pode ser retirado por duas vezes, e não existe uma ordenação dos cartões, pelo que podemos organizar todas os produtos que é possível obter com recurso a uma tabela, Assim, podemos observar que existem 6 produtos possíveis, dos quais apenas 1 é ímpar, ou seja, calculando a probabilidade pela Regra de Laplace, e apresentado o resultado na forma de fração, temos que p = Usando as regras operatórias de potências, e somando as frações obtidas, temos que: ( 10 ) = 10 ( ) = = = = = + 1 = Página de 6

4 9. Escrevendo a equação na fórmula canónica, e usando a fórmula resolvente, vem: x + (a = 1, b = e c = 15) + x 7 = 1 x + + x 7 () = 1 1 () x + + x 1 = x + + x 1 = x + + x 1 = 0 x + x 15 = 0 x = ± (1)( 15) (1) x = ± + 60 x = ± 6 C.S.={ 5,} x = + 8 x = 8 x = 6 x = 10 x = x = Resolvendo a inequação, temos x 6 x 6 x 6 x C.S.=], ] Resposta: Opção A 11. Como x é o preço, em euros, de cada mosaico quadrado e y é o o preço, em euros, de cada mosaico octogonal, podemos analisar separadamente as duas composições: 1. primeira composição: tem um custo de 0 euros, sendo composta por 5 mosaicos quadrados e mosaicos octogonais, logo, temos que 5x + y = 0 segunda composição: tem um custo de euros, sendo composta por mosaicos quadrados e 5 mosaicos octogonais, logo, temos que x + 5y = Assim, um sistema de equações que permite determinar o preço de cada mosaico quadrado e o preço de cada mosaico octogonal é 5x + y = 0 x + 5y = 1.1. Como a ordenada do ponto B é, a equação da reta é da forma y = mx + Pela observação da figura podemos afirmar que a reta tem declive negativo, ao contrário do que acontece com as equações das opções (A) e (B). Assim, a única equação, de entre as quatro opções apresentadas, em que as duas condições anteriores são verificadas é a equação y = x + Resposta: Opção C Página de 6

5 y 1.. Calculado o valor de f( ) vem: f( ) = ( ) = Considerando o gráfico da função g como o simétrico do gráfico da função f relativamente ao eixo Ox, podemos observar que para o mesmo objeto, as imagens por f e por g são simétricas (ver figura ao lado), ou seja Pelo que g() = f() = ( ) = f( ) + g() = + ( ) = 1 f O x g 1. Pela observação do gráfico podemos afirmar que a distância d, em metros, da cadeira n. o 1 ao chão, durante a primeira volta variou entre os metros (no ponto mais baixo) e os 10 metros (no ponto mais alto). Assim, o diâmetro da roda é a diferença das alturas nos pontos mais alto e mais baixo, ou seja, 10 8 Resposta: Opção C 10 = 8 m 1. A área da região sombreada, A S, pode ser calculada como a diferença entre as áreas dos quadrados de lado [BC] e [AE] Assim, temos que A S = BC AE = (a+1) (a 1) = a + a 1+1 ( a a ) = a +a+1 ( a a + 1 ) = = a + a + 1 a + a 1 = a a + a + a = a + a = a Como o triângulo [ABC] é um triângulo retângulo em A, podemos, recorrer ao Teorema de Pitágoras, e afirmar que BC = AB + AC Logo, substituindo os valores dados, vem que: Resposta: Opção B BC = BC = BC = 117 BC = 117 cm BC> Como o quadrilátero [AF ED] é um retângulo e o ponto F pertence ao segmento de reta [AB] podemos afirmar que os ângulos BAC e BF E são ambos retos (BÂC = B ˆF E). Como os ângulos ABC e F BE são coincidentes também são iguais (A ˆBC = F ˆBE). Assim, pelo critério AA (ângulo-ângulo) podemos afirmar que os triângulos [ABC] e [F BE] são semelhantes. Página 5 de 6

6 15.. Como os triângulos [ABC] e [F BE] são semelhantes, podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja, F E AC = F B AB Logo, substituindo os valores dados, vem que: F E 9 = 6 F E = 9 6 F E = 6 6 F E = 6 Como AB = AF + F B Temos que 6 = AF + 6 = AF = AF E assim, como AD = F E e AF = DE o perímetro do retângulo [AF ED] é P [AF ED] = F E + AF = 6 + = 1 + = 16 cm Página 6 de 6