GEOMETRIA PLANA. 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede

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1 GEOMETRI PLN 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice do retângulo O está a 6 cm do vértice. O raio do círculo mede O (a) 5 cm (b) 6 cm (c) 8 cm (d) 9 cm (e) 10 cm ) (UFRGS) Na figura abaixo, é o centro do círculo, é um ponto do círculo e D é um retângulo com lados medindo 3 e. D Entre as alternativas, a que apresenta a melhor aproximação para a área da região sombreada é (a) 7,5. (b) 7,6. (c) 7,7. (d) 7,8. (e) 7,9. 3) O círculo da figura tem raio 6 e mede 100. área do setor assinalado é (a) 6 (b) 10 (c) 6 (d) 10 (e) 60 1

2 ) Os quadriláteros da figura são semelhantes. O lado x mede x (a) 5/ 5 (b) /5 (c) 7/ 8 (d) (e) ) (UFRGS) opção que representa todas as possibilidades do número de pontos de interseção de um círculo com um retângulo é (a) 0, 1,, ou 8 (b) 0,,, 6 ou 8 (c) 0, 1, 3, 5 ou 7 (d) 0,, 3, 5 ou 7 (e) 0, 1,, 3,, 5, 6, 7 ou 8 6) (UFRGS) Na figura abaixo, =5, =6 e DE=3. E (a) 15/8 (b) 15/ (c) 15/ (d) 10 (e) 15 D área do triângulo DE é 7) (UFRGS) medida do lado de um triângulo equilátero é 6. área da coroa determinada pelos círculos inscrito e circunscrito ao triângulo é (a) 3 (b) 3 (c) 9 (d) 10 (e) 1

3 8) (UFRGS) figura mostra duas circunferências concêntricas. corda da maior mede 8 e é tangente à menor. área da coroa determinada é (a) 6 (b) 3 (c) 16 (d) 8 (e) 9) (UFRGS) Na figura abaixo, OP=, =8, O é o centro dos círculos e é tangente ao círculo menor. O P (a) 0 (b) 10 (c) 0 (d) 6 (e) 68 área do disco maior é 10) Na figura, o triângulo equilátero com centro O tem lado 9. O segmento paralelo à base mede (a) (b) 5 3 (c) 6 O (d) 6 3 (e) 8 3

4 11) (FUVEST) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio. Então a área da região hachurada é (a) / + (b) + (c) + 3 (d) + (e) + 1 1) (PU) Uma ponte sobre um rio tem comprimento de 0 m e abre-se a partir de seu centro para dar passagem a algumas embarcações, provocando um vão, conforme a figura abaixo. No momento em que os ângulos = = 5º, o vão mede (a) 0-5 m (b) 10-5 m (c) 0-10 m (d) 0-0 m (e) 10 m 0 m 13) (UFRGS) Na figura abaixo, as semirretas e tangenciam o círculo de centro D, respectivamente, nos pontos e. D Se o ângulo mede 70º, o ângulo D mede (a) 110 (b) 115 (c) 15 (d) 135 (e) 10

5 1) (UFRGS) Um quadrilátero convexo está inscrito em uma circunferência de diâmetro. Dois lados não adjacentes do quadrilátero medem e 1, e uma de suas diagonais contém o centro da circunferência. s medidas dos outros lados são (a) 1 e (b) 1 e 3 (c) 0,5 e (d) 0,5 e 3 (e) e 3 15) (FUVEST) Na figura abaixo, DE é um pentágono regular. medida, em graus do ângulo é (a) 3 (b) 3 (c) 36 E (d) 38 (e) 0 D 16) (UFRGS) Dois círculos, tangentes externamente, têm seus centros em vértices opostos de um quadrado com 8 unidades de perímetro, e o maior desses círculos corta dois lados do quadrado nos pontos médios desses lados. O valor do raio do círculo menor é (a) (b) (c) - 5 (d) 5 - (e) ( 5 - ) 5

6 17) (UFGRS) Observe a figura abaixo. Nesta figura, cada um dos quatros círculos tem raio igual a do quadrado e a um de seus lados. área do quadrado é 1 e é tangente às diagonais (a) + 1. (b). (c). (d) 3 1. (e) 6. 18) ompanhia telefônica coloca cabos cilíndricos em dutos cilíndricos. figura indica a relação entre as secções transversais de cabos e do menor duto que pode contê-los. Supondo que o diâmetro de cada cabo seja de 1 cm, o valor mais próximo para o diâmetro do duto mínimo é de (a),0 cm (b),5 cm (c) 3,0 cm (d) 3,5 cm (e),0 cm 6

7 19) (UFRGS) Na figura sombreada abaixo, é feito um corte vertical conforme indicado pela linha pontilhada, obtendo-se, assim, duas partes. Justapondo-se as partes obtidas, é possível construir as figuras da opção a) b) c) d) e) 7

8 0) (UFRGS) Seis octógonos regulares de lado são justapostos em um retângulo, como representado na figura abaixo. soma das áreas das regiões sombreadas na figura é (a) 16 (b) 16 (c) 0 (d) 0 (e) 1) (UFRGS) Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. soma dos quadrados de todas as suas diagonais é (a) 6 (b) 1 (c) 18 (d) (e) 30 ) (UFRGS) Na figura, os três círculos têm o mesmo raio r, as retas são paralelas, os círculos são tangentes entre si e cada um deles é tangente a uma das duas retas. Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para a distância entre a retas é (a) 3r (b) 3,5r (c) 3,5r (d) 3,75r (e) r 8

9 3) (UFRGS) Na figura abaixo,, e são vértices de um hexágono regular justapostos, cada um com área 8. Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos, e é (a) 8 (b) 1 (c) 16 (d) 0 (e) ) (UFRGS) Três arcos de círculo são construídos de maneira que seus centros estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado 10 cm e intersecionam o triângulo nos pontos médios dos lados, como indicado na figura abaixo. soma das medidas dos comprimentos dos arcos é (a) cm (b) 5 cm (c) 10 /3 cm (d) 5 cm (e) 10 cm 9

10 5) (UFRGS) No retângulo D da figura abaixo, E é ponto médio de D, e a medida de F é igual a um terço da medida de. Sabendo que a área do quadrilátero FE á 7, então a área do retângulo D é (a) 8 (b) 9 (c) 10 (d) 11 (e) 1 10

11 Resolução 1) Se a diagonal mede 6, a outra diagonal O também mede 6. Logo, o raio do círculo é 6. O 6 ) 3 r D No triângulo, por Pitágoras, r=5. área desejada é a de um quarto de círculo descontada a área do retângulo D. r , ,6 3) área do setor é diretamente proporcional ao seu ângulo. Ângulo total: 360 Ângulo de 100 Área total: r = 6 =36 Área x x x 1 10 x x=10 ) 5 8 x 9 x x

12 5) Zero ponto 1 ponto pontos 3 pontos pontos 5 pontos 6 pontos 7 pontos 8 pontos 6) 5 E 6 3 ) D Os triângulos DE e são semelhantes, pois têm ângulos e reto em comum. Seja 1 a área do triângulo DE. área do vale (5 6)/=15. Os catetos DE=3 e =6 são correspondentes, pois são opostos à. Temos: ) h 6 No triângulo, temos: 6 =3 +h 36=9+h 7=h h a h O raio do círculo inscrito é o apótema a= 3 e o do círculo circunscrito é a= 3. área da coroa é = ( 3) - ( 3) =1-3 =9. 1

13 8) R r área da coroa é = R - r = (R -r ). No triângulo retângulo da figura, R = r +. R - r = 16. Logo, = (R -r ) = 16 = 16 9) R = + R =+16 R =0 R O P = R =0 10) E a a 9 D O P Q Os triângulos D e DE são semelhantes. a Logo, 9 3a =6 11) região cuja área é solicitada é formada por um triângulo e um quarto de círculo. b h Área do triângulo:. r Área do quarto de círculo:. Área da região: +. 13

14 1) x 10 y y x y 0 No Triângulo D, 10 =y +y 100=y y =50 y= 50 = 5. x + y = 0 x + 5 = 0 D x + 10 = 0 x = ) )70 D No quadrilátero D, os ângulos em e em medem 90. Se a soma dos quatro ângulos internos mede 360 e +D=180, então +D=180. Se =70, então D=110. 1) x 1 1 y Os triângulos e D são retângulos, pois são inscritos em um círculo e têm um lado passando pelo centro. s suas hipotenusas medem. Por Pitágoras no : = ( ) + x = + x = x x= Por Pitágoras no D: = y + 1 = y + 1 y = 3 y= 3 15) E Há 5 ângulos no círculo. Logo, =360 /5=7. é um ângulo inscrito e é um ângulo central, ambos com o mesmo arco. Logo, =. Se =7, então =36. D 1

15 16) O R Por Pitágoras no triângulo O, o raio do círculo maior vale R =, que é a diagonal do quadrado maior. ssim, R = ) l = r + x + r = r + x x No triângulo assinalado, (r) +(r) =x r r r + r = x 8r = x r r x 8r r l = r + r = r(1 + ) l omo r= -1, temos: l = ( -1)(1+ ) = ( ) =. Área = l =. 18) Por Pitágoras no triângulo: x x = x = x 1, 1 O diâmetro é d = 0,5+x+0,5 = 1 + x 1 + 1,1 =, alternativa que contém o valor mais próximo é (b),5 15

16 19) Recortando a figura conforme foi feito a seguir, obtemos trapézios que poderão ser deslocados de forma a se obter a figura do enunciado. Recortando a figura como foi feito a seguir, obtemos trapézios que poderão ser deslocados de forma a se obter a figura do enunciado. 0) Logo, as figuras possíveis são as da alternativa (b). Os dois quadrados centrais tem lado, sendo, portanto, a área de cada um igual a. ada meio quadrado tem área. área sombreada é composta de 1 meios quadrados. Logo, a área sombreada vale 1 =. 16

17 1) Há 3 diagonais D maiores. Um hexágono regular de lado 1 é composto de 6 triângulos equiláteros, cada um de lado 1. Logo, cada diagonal D maior tem comprimento. 1 1 Há 6 diagonais d menores. d Por Pitágoras no triângulo, temos: d = d + 1 d = 3 Queremos a soma dos quadrados das diagonais: D + D + D + d + d + d + d + d + d = 3D + 6d = ( 3) = = =

18 ) Por Pitágoras no triângulo da figura, temos: (R) = R + x R R x R R d R R = R + x x = 3R x = R 3 d = R + x + R = R + R 3 + R = R( + 3) R( + 1,73) = 3,73R 3,75R 3) Se cada hexágono tem área 8, então cada semi-hexágono tem área. Desta forma, a área do triângulo é + + = 1. 18

19 ) Os três setores de 60 justapostos formam um semicírculo de raio 5. soma dos comprimentos dos três arcos é o comprimento do arco do semicírculo. = R / = R = 5 = 5. soma das medidas dos comprimentos dos arcos é 5) Se F é um terço de, então F é o dobro de F. h b y b y x x Os triângulos DE e E têm a mesma base b e mesma altura h. Logo têm a mesma área y. Os triângulos F e F têm a mesma altura b, mas a base do primeiro é o dobro da base do segundo. Logo a área do primeiro (x) é o dobro da área do segundo (x). Sabendo que a área do quadrilátero FE á 7, então x + y = 7. área do triângulo D é igual a área do triângulo. Logo, y = 3x. x + y = 7 y = 7 x y = 3x (7 x) = 3x 1 x = 3x 1 = 7x x = y = 7 = 3 Área do retângulo D: y + 3x = = 1 19

20 RESPOSTS 1) ) 3) D ) 5) E 6) 7) 8) 9) 10) 11) 1) 13) 1) E 15) 16) 17) 18) 19) 0) E 1) E ) D 3) ) D 5) E 0

a) 64. b) 32. c) 16. d) 8. e) 4.

a) 64. b) 32. c) 16. d) 8. e) 4. GEOMETRIA PLANA 1 1) (UFRGS) Observe com atenção o retângulo ABCD, na figura abaixo. Considerando as relações existentes entre as sua dimensões e a diagonal, a área desse retângulo será igual a ) (UFRGS)

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