Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A. Módulo Inicial

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º no de Matemática TPC nº Entregar no dia de outubro 1. Medidas importantes: 1.1. Considere um quadrado com lado, exprima em função de a medida da diagonal do quadrado. 1.. Considere um triângulo equilátero de lado, exprima em função de a medida da altura do triângulo e a área desse triângulo. 1.. Considere um cubo com aresta, exprima em função de a medida da diagonal facial e a medida da diagonal espacial do cubo.. De dois círculos iguais com 10 cm de raio foram recortados um quadrado e um octógono regular de modo a conseguir o maior aproveitamento possível do material. Calcule a área dos desperdícios de material em cada caso. presente o resultado com aproximação ás centésimas.. Nas figuras 1 e estão representados, a tracejado, hexágonos regulares geometricamente iguais e de lado. Cada um dos hexágonos tem inscrita uma estrela com 1 vértices. estrela representada na figura 1 tem seis vértices coincidentes com os pontos médios dos lados do hexágono; cada um dos outros vértices coincide com o ponto médio de um segmento de recta cujos extremos são o centro e um vértice do hexágono. estrela representada na figura tem seis vértices coincidentes com os vértices do hexágono; cada um dos outros vértices coincide com o ponto médio de um segmento de recta cujos extremos são o centro e o ponto médio de um lado do hexágono. Mostre que as áreas das duas estrelas são iguais. Professora: Rosa Canelas 1 no etivo 01/01

2 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º no de Matemática 1. Medidas importantes: TPC nº Proposta de resolução 1.1. Consideremos um quadrado com lado, e vamos exprimir em função de a medida da diagonal do quadrado. Utilizando o Teorema de Pitágoras resulta: d = + d = d = d medida da diagonal de um quadrado de lado mede. 1.. Considere um triângulo equilátero de lado, exprima em função de a medida da altura do triângulo e a área desse triângulo. Utilizando o Teorema de Pitágoras resulta: = a + a = a = a = a altura de um triângulo equilátero com lado, mede / Calculemos a área do triângulo: = = área de um triângulo equilátero com lado, mede. 1.. Considere um cubo com aresta, exprima em função de a medida da diagonal facial e a medida da diagonal espacial do cubo. diagonal facial é a diagonal de um quadrado com lado e por isso mede (ver 1.1) a diagonal espacial é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem e Pitágoras: ( ) pelo que podemos utilizar o teorema de d = + d = + d = d = e e e e diagonal espacial de um cubo com aresta mede. d f d e. De dois círculos iguais com 10 cm de raio foram recortados um quadrado e um octógono regular de modo a conseguir o maior aproveitamento possível do material. Professora: Rosa Canelas no etivo 01/01

3 Calculemos a área dos desperdícios de material em cada caso. No caso do quadrado Área do quadrado: Como o quadrado é um losango com as duas diagonais a medirem 0 cm cada uma, a área é cm = = e a área do material desperdiçado é π = 100π 00. área do material desperdiçado é aproximadamente 11,16 cm. No caso do octógono Podemos, de acordo com a figura ao lado, começar por calcular C comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo [OC] com catetos a medirem 10 cm: C C 10 = + = Porque os triângulos [OD] e [DOC] são triângulos isósceles por terem os ângulos agudos iguais a 5º podemos dizer que: DO = 5 e ( ) BD = área do octógono será então dada por: [ BC] + [ CO]. ( ) Ora [ BC] = = e [ CO] = = 50 área do octógono é então = ( ) = 00 área do material desperdiçado é 100π 00 aproximadamente 1, cm. B D C O. Nas figuras 1 e estão representados, a tracejado, hexágonos regulares geometricamente iguais e de lado. Cada um dos hexágonos tem inscrita uma estrela com 1 vértices. estrela representada na figura 1 tem seis vértices coincidentes com os pontos médios dos lados do hexágono; cada um dos outros vértices coincide com o ponto médio de um segmento de recta cujos extremos são o centro e um vértice do hexágono. Sabendo nós que um hexágono regular tem o lado igual ao raio da circunferência que o circunscreve, podemos concluir que os doze triângulos que com a estrela constituem o hexágono são triângulos equiláteros de lado igual a 1. Professora: Rosa Canelas no etivo 01/01

4 Calculando a área do hexágono e subtraindo-lhe a área dos 1 triângulos equiláteros de lado 1 obtemos a área da estrela. O apótema do hexágono é a altura de um triângulo equilátero de lado pelo que mede =, o volume do hexágono é então, de acordo com a fórmula P 1 = ap, = = 6 área de cada triângulo equilátero de lado 1 e altura 1 destes triângulos têm área 1 = área da estrela da figura 1 é 6 = 1= é 1 = = e Nota: também podiam encontrar a área da estrela da figura 1 considerando que cada uma das 6 partes em que está dividida é um losango em que a diagonal maior é o apótema do hexágono e a diagonal menor e metade do lado do hexágono. estrela1 = 6 =. 1bico 1 = = e estrela representada na figura tem seis vértices coincidentes com os vértices do hexágono; cada um dos outros vértices coincide com o ponto médio de um segmento de recta cujos extremos são o centro e o ponto médio de um lado do hexágono. Os doze triângulos que com a estrela da figura, constituem o hexágono são triângulos rectângulos com um cateto a medir 1 (metade do lado do hexágono) e outro a medir (metade do apótema do hexágono). ssim, cada triângulo tem área 1 = = e 1 triângulos têm área 1 = área da estrela da figura é 6 = o que mostra que as áreas das duas estrelas são iguais. Nota: também podiam encontrar a área da estrela da figura considerando que cada uma das 6 partes em que está dividida é um papagaio em que a diagonal maior é igual ao lado do hexágono e a diagonal menor e metade do apótema do hexágono. estrela = 6 =. 1bico = = e Professora: Rosa Canelas no etivo 01/01

5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º no de Matemática TPC nº Critérios de classificação presentar uma figura onde se registam as variáveis... Concluir que d = presentar a figura com a identificação das variáveis... Calcular h =... Calcular = presentar a figura com a identificação das variáveis... Indicar d =... Calcular D = Desperdício com o quadrado Calcular a área do círculo... 5 Calcular a área do quadrado... 5 Calcular a área do desperdício... 5 Desperdício do octógono Calcular a área do círculo... Calcular a área do octógono Estabelecer um processo para calcular a área... plicar o processo escolhido... 8 Calcular a área do desperdício Explicar a estratégia para calcular a área da 1ª estrela. 5 plicar a estratégia e calcular a área igual a. 10 Explicar a estratégia para calcular a área da ª estrela. 5 plicar a estratégia e calcular a área igual a. 10 Concluir que as duas estrelas são iguais.. 5 TOT Professora: Rosa Canelas 5 no etivo 01/01

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