Aula 21 - Baiano GEOMETRIA PLANA

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1 Aula 21 - Baiano GEOMETRIA PLANA

2 Definição: Polígono de quatro lados formado por quatro vértices não colineares dois a dois. A D S i = 180º (n 2)= 180º (4 2)= 360º S e = 360º B C d = n. (n - 3) 2 = 4. (4-3) 2 = 2

3 Classificação Trapézio Paralelogramo Losango Quadrado Retângulo Trapezóide

4 Paralelogramo É todo quadrilátero que tem os dois pares de lados opostos respectivamente paralelos. Propriedades Lados opostos congruentes Ângulos opostos congruentes Ângulos adjacentes suplementares As diagonais se cruzam no seu ponto médio. A 4 A 3 A 1 A 2 As diagonais de um paralelogramo se interceptam formando quatro triângulos de mesma área (equivalentes).

5 Retângulo É um paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes (retos). Propriedades (iguais as do Paralelogramo) Lados opostos congruentes Ângulos opostos congruentes Ângulos adjacentes suplementares As diagonais se cruzam no seu ponto médio. As diagonais de um retângulo são congruentes.

6 Losango É um paralelogramo que possui os quatro lados congruentes. Propriedades (iguais as do Paralelogramo) Lados opostos congruentes Ângulos opostos congruentes Ângulos adjacentes suplementares As diagonais se cruzam no seu ponto médio. As diagonais de um retângulo são perpendiculares.

7 Quadrado É um paralelogramo que possui ângulos e lados congruentes, sendo assim o único quadrilátero regular. Propriedades (iguais as do Paralelogramo) Lados opostos congruentes Ângulos opostos congruentes Ângulos adjacentes suplementares As diagonais se cruzam no seu ponto médio. As diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares e se cruzam no seu ponto médio.

8 Trapézio É um quadrilátero que possui dois lados paralelos podendo ser classificado em escaleno, retângulo ou isósceles. Trapézio Escaleno Possui quatro lados diferentes e não possui ângulos congruentes Trapézio Retângulo Possui um dos lados transversais perpendicular às bases Trapézio Isósceles Possui um os lados transversais com medidas iguais. Os ângulos da base congruentes.

9 Trapezóide É um quadrilátero que não possui lados paralelos.

10 Exemplo 1: UFMS Dadas as proposições abaixo, dê o somatório das afirmações verdadeiras: 01. Em um retângulo qualquer, as diagonais são congruentes. Verdadeiro 02. Em um losango qualquer, as diagonais são congruentes. falso 04. Em um quadrado qualquer, as diagonais são congruentes. Verdadeiro 08. Em um retângulo qualquer, as diagonais são perpendiculares entre si. falso 16. Em um losango qualquer, as diagonais são perpendiculares entre si. verdadeiro 32. Em um quadrado qualquer, as diagonais são perpendiculares entre si. verdadeiro Gabarito: 53

11 Exemplo 2: UFSC 2006 Considere um hexágono eqüiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do hexágono

12 x Exemplo 2: 60º 60º 60º x a i = y x 180º (n 2) n = º (6 2) º 60º 60º = Num paralelogramo temos, ângulos opostos iguais e lados opostos iguais

13 x Exemplo 2: 20 60º 60º 60º x y x 60º º 15 60º 23 2P = x + y P = P = = 23 + x 33 = 23 + x x = = x + y 28 = 10 + y y = 18

14 Relações Métricas Teorema de Pitot Em qualquer quadrilátero convexo, circunscritível a um círculo, as somas dos lados opostos são iguais. l 2 l 3 l 1 l 1 + l 3 = l 2 + l 4 l 4

15 Exemplo 3: UFPR Em um trapézio isósceles circunscritível, a base menor vale 4 e a base maior vale 16. Qual a altura desse trapézio? 4 l h l Pelo Teorema de Pitot: l + l = l = 20 l = 10 h = 8

16 Exemplo 3: UFPR Em um trapézio isósceles circunscritível, a base menor vale 4 e a base maior vale 16. Qual a altura desse trapézio? Método das tangentes l h 16 6 l = 10 h = 8 l 10 l l-1 1 l l-3 l l-3 l 1 + l 3 = 16 2l - 4 = 16 2l = 20 l = 10

17 Relações Métricas Teorema de Ptolomeu Em todo quadrilátero convexo, inscritível num círculo, a soma dos ângulos internos opostos é igual a 180º. β γ α θ α + γ = β + θ = 180º

18 Exemplo 4: UDESC Um quadrilátero inscritível possui ângulos adjacentes iguais a 80º e. Sendo α e β os ângulos opostos a 80º e, respectivamente, calcule o valor de 3β - 2α. α Pelo Teorema de Ptolomeu: β 80º α + 80º = 180º α = 100º β + = 180º β = 60º 3β - 2α 3(60º) 2(100º) 180º 200º 20º

19 Exemplo 4: UDESC Um quadrilátero inscritível possui ângulos adjacentes iguais a 80º e. Sendo α e β os ângulos opostos a 80º e, respectivamente, calcule o valor de 3β - 2α. α β 80º

20 Relações Métricas Teorema de Hiparco Em todo quadrilátero convexo, inscritível num círculo, o produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos l 2 d 1 l 3 l 4 l 1 d 2 d 1.d 2 = l 1. l 3 + l 2. l 4

21 Aula 21 - Baiano FIM

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