SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM POLÍGONOS

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1 SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM POLÍGONOS 1. Classificação das vinte figuras de Polígonos segundo o número dos seus lados. Representação em tabela. Número lados de Polígono Representação gráfica Três lados Triângulo Quatro lados Quadrilátero Cinco lados Pentágono Seis lados Hexágono Sete lados Heptágono Nenhum Oito lados Octógono Nove lados Eneágono Nenhum Dez lados Decágono Nenhum Onze lados Doze lados Undecágono Nenhum Dodecágono 1

2 2. Classificação dos polígonos pela convexidade. Polígonos não convexos: As restantes figuras de Polígonos são todos polígonos convexos. 3. Exemplos de construção dos seguintes polígonos: i. Polígono não convexo usando diferentes polígonos convexos do conjunto. ii. Polígono convexo usando diferentes polígonos convexos do conjunto. 4. Comparação do comprimento dos lados das figuras (resultados obtidos pela superposição das peças). i. Polígono com o menor lado: ii. Polígono que possui o maior lado: 2

3 5. Classificação dos Polígonos pelas características dos lados. i. Número de lados congruentes. - Dois lados congruentes: - Três lados congruentes: - Quatro lados congruentes: - Cinco lados congruentes: - Seis lados congruentes: - Oito lados congruentes: ii. Pares de lados congruentes: - Um par de lados congruentes: - Dois pares de lados congruentes: - Três pares de lados congruentes: - Quatro pares de lados congruentes: - Seis pares de lados congruentes: 3

4 6. Classificação dos polígonos pelo número de pares de lados paralelos que possuem. Pares de lados paralelos Polígonos 7. i. Polígono convexo com a menor diagonal: ii. Polígono convexo que possui a maior diagonal: 8. Os polígonos convexos que têm todas as diagonais iguais são os seguintes: 9. O número de vértices e de diagonais dos polígonos convexos representados em tabela. Polígono convexo Lados Vértices Diagonais em cada vértice Diagonais do polígono Triângulo 3 3 Nenhuma 0 Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono

5 10. O número de diagonais que têm cada um dos seguintes polígonos é: i. Decágono: 35 diagonais. ii. 50-ágono: 1175 diagonais. iii. 100-ágono: 4850 diagonais. 11. Representação de todas as diagonais dos polígonos não convexos pertencentes a Polígonos. Tabelamento dos dados, mantendo a ordem de esquerda à direita dos polígonos da figura acima: Polígono não convexo Lados Vértices Diagonais do polígono Quadrilátero Quadrilátero Hexágono Octógono Dodecágono i. Polígono não convexo que possui a menor diagonal: ii. Polígono não convexo que possui a maior diagonal: 13. O número N de diagonais de um polígono P (convexo ou não convexo) com n lados (n-ágono) é dado por: (Número de diagonais do polígono P) N = n(n 3) 2 5

6 14. Identificação dos polígonos que satisfazem as seguintes definições: i. Polígonos equiláteros e não equiângulos: ii. Polígono equiângulo e não equilátero: 15. i. Polígono convexo que possui o maior ângulo interno: ii. Polígono convexo que possui o menor ângulo interno. 16. Classificação dos polígonos convexos pelo número de ângulos internos retos que possuem. Ângulos internos retos Polígonos convexos Nenhum 17. Classificação dos polígonos convexos pelo número de ângulos internos agudos que possuem. Ângulos internos agudos Polígonos convexos Nenhum 6

7 18. Classificação dos polígonos convexos pelo número de ângulos internos obtusos que possuem. Ângulos internos obtusos Polígonos convexos Nenhum Observação. A seguir, aplicamos três métodos diferentes para calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. 19. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Método 1. Num polígono convexo dado, hexágono convexo, são traçadas todas as diagonais num vértice fixado. i. No hexágono ficam determinados quatro triângulos justapostos. ii. A soma T das medidas dos ângulos internos de um triângulos é T = 180º, então a soma S das medidas dos ângulos internos do hexágono é igual a: S = = 720º. 20. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Método 2. No hexágono ficam determinados seis triângulos justapostos. i. No interior do hexágono é escolhido um ponto P e unindo P com os vértices, resulta a secção do polígono em triângulos justapostos. ii. No hexágono ficam determinados seis triângulos justapostos. iii. A soma S das medidas dos ângulos internos do hexágono é igual a soma T das medidas dos ângulos de cada um dos seis triângulos menos a soma S das medidas dos ângulos em torno do ponto P, ou seja: S = 6. T S = = = 720º. P 7

8 21. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Método 3. Os seguintes polígonos são seccionados em triângulos justapostos usando diagonais que não se intersectam. Os dados são tabelados como segue: Polígono Diagonais Triângulos Soma dos convexo sem intersecção internos ângulos internos Quadrilátero º Pentágono º Hexágono º Heptágono º Octógono º Observação. O resultado obtido para S é o mesmo pelos três métodos aplicados nas Atividades Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono não convexo. Um hexágono não convexo é seccionado em triângulos justapostos usando diagonais internas que não se intersectam. i. No hexágono não convexo ficam determinados quatro triângulos. ii. A soma S das medidas dos ângulos internos do hexágono não convexo é igual a: S = = 720º. 8

9 23. Verificação da soma das medidas dos ângulos internos do polígono não convexo é de igual valor da soma das medidas dos ângulos internos do polígono convexo com o mesmo número de lados: - A decomposição de um polígono de n lados, convexo ou não convexo, com diagonais que não se cortam resulta sempre no mesmo número (n 2) de triângulos justapostos, determinados pelo mesmo número (n 3) de diagonais. - Logo, a soma S das medidas dos ângulos internos de um polígono, convexo ou não convexo, é obtida levando sempre em conta que a soma S das medidas dos ângulos internos de um triângulo é S = 180º. Segue que S = (n - 2). 180º 24. Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo. Representação dos ângulos externos de um polígono convexo. Um ponto arbitrário P do plano é escolhido e os ângulos externos do polígono são transladados paralelamente até coincidir o vértice de cada ângulo com P. Verifica-se que os ângulos transladados em torno de P somam 360º, por tanto, a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo é igual a 360º. 25. i. Um ângulo externo de um polígono não convexo é definido como o ângulo formado por um lado do polígono e a prolongação do lado adjacente. ii. No polígono não convexo ABCD são marcados todos os ângulos externos α, β, γ e δ, com vértice em A, B, C e D, respectivamente. Pela definição, o ângulo externo com vértice A é o ângulo α, mesmo que ele está no interior de ABCD. iii. Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente são ângulos suplementares. Em cada vértice reentrante de um polígono não convexo, o ângulo interno correspondente mede mais de 180º. Logo, med(dab ) + med(α ) = 180º e med(dab ) > 180º; de onde segue que med(α ) = 180º - med(dab ) < 0. 9

10 26. No polígono não convexo ABCD da Atividade 25, a soma S das medidas dos ângulos externos α, β, γ e δ, é calculada fazendo a soma das medidas dos ângulos internos de ABCD (2.180) mas S e igualando à soma das medidas dos ângulos suplementares em cada vértice de ABCD, isto é: S = De onde resulta: S = 360º. 27. Determinação dos triângulos pertencentes a Polígonos. Polígonos T 28. Classificação dos triângulos de Polígonos T pelos seus lados. Triângulos Equilátero Isóscele Escaleno 29. Classificação dos triângulos de Polígonos T pelos seus ângulos. Triângulos Acutângulo Retângulo Obtusângulo 10

11 30. Análise da existência segundo a sua classificação nos seguintes triângulos. Triângulo Triângulo escaleno obtusângulo Triângulo escaleno retângulo Triângulo escaleno acutângulo Triângulo equilátero obtusângulo Triângulo equilátero retângulo Triângulo isóscele obtusângulo Triângulos isóscele retângulo Triângulo isóscele acutângulo Sempre Algumas vezes Nunca X X X X X X X X 31. Destaque dos quadriláteros pertencentes a Polígonos. Polígonos Q 32. Classificação dos quadriláteros pelo comprimento dos lados: - quatro lados congruentes (4), - três lados congruentes e um diferente (3-1), - dois pares de lados congruentes (2-2), - um par de lados congruentes e outro dois lados diferentes (2-1-1), - quatro lados com diferentes comprimentos ( ). Quadriláteros. Comprimento dos lados

12 33. Classificação dos quadriláteros pelas suas diagonais. i. As diagonais têm ponto de interseção: As diagonais não se cortam: ii. O ângulo de corte das diagonais é reto: Nos outros quadriláteros da coleção o ângulo de corte das diagonais não é reto. iii. As diagonais são congruentes: As diagonais dos outros quadriláteros do conjunto Polígonos Q não são congruentes. iv. As duas diagonais se interceptam no ponto médio de ambas diagonais e o ângulo de corte é reto: v. As duas diagonais se interceptam no ponto médio de ambas diagonais e o ângulo de corte não é reto: vi. O ponto de intersecção das duas diagonais é o ponto médio somente de uma das diagonais: vii. O ponto de intersecção das duas diagonais não é ponto médio de nenhuma das duas diagonais. 12

13 34. Os paralelogramos que pertencem a Polígonos Q são: - Quadrado: - Retângulo: - Losango ou Rombo: - Paralelogramo: 35. Os trapézios de Polígonos Q são: - Trapézio retângulo: - Trapézio isóscele: - Trapézio escaleno: 36. Os quadriláteros que não são paralelogramos e não são trapézios. - Romboide ou Pipa: - Seta: - Trapezoide: 13

14 37. Classificação dos quadriláteros, com indicação sobre a afirmação ser verdadeira ou falsa. Enunciado Todos os quadrados são retângulos. Alguns retângulos são losangos ou rombos. Todos os paralelogramos são quadriláteros. Todo losango ou rombo é um quadrilátero regular. Todo paralelogramo é um trapézio. Todo quadrado é uma pipa. Alguns retângulos são quadrados. Nenhum quadrado é um retângulo. Nenhum trapézio é um paralelogramo. Um trapézio isóscele pode não ser uma pipa. Nenhum paralelogramo é um trapézio isósceles. Verdadeiro ou Falso V V V F F F V F V V V 38. Classificação dos polígonos regulares convexos pelo número de lados (entre parênteses). Triângulo Quadrado (4) Pentágono Hexágono equilátero (3) regular (5) regular (6) Heptágono Octógono Eneágono Decágono regular (7) regular (8) regular (9) regular (10) 14

15 39. Polígonos R Indicação de todos os elementos dos polígonos regulares convexos. ângulo interno ângulo externo raio apótema lado vértice ângulo central centro diagonal 40. Determinação da medida em graus de cada ângulo interno e da soma dos ângulos internos dos polígonos regulares convexos. Tabelamento dos dados. Polígono regular Lados Ângulo interno Soma dos ângulos internos Triângulo º Quadrado º Pentágono 5 108º 540º Hexágono 6 120º 720º Octógono 8 135º 1080º Decágono º 1440º Dodecágono º 1800º n-ágono n (n 2). 180 n (n 2) A soma S das medidas dos ângulos externos de um n-ágono regular convexo é dada pela diferença entre a soma das medidas dos ângulos em cada vértice e a soma das medidas dos ângulos internos do polígono : S = n. (180) - (n 2). 180 = 360º A medida do ângulo externo α de um n-ágono regular convexo é: med(α ) = n 15

16 42. Determinação da medida em graus, do ângulo central de cada polígono regular convexo. Lados do polígono Ângulo central Construção de todos os polígonos convexos equiláteros possíveis utilizando somente triângulos equiláteros e quadrados de lados congruentes, ambos tipos de polígonos em cada figura. pentágono hexágono heptágono octógono eneágono decágono undecágono não equilátero O undecágono convexo é polígono não equilátero, dois quadrados consecutivos, com lados alinhados, produzem um novo lado desse polígono que mede o dobro dos outros lados. dodecágono No dodecágono convexo equilátero todos os ângulos internos medem 150º. Portanto, não existe polígono convexo equilátero, formado por triângulos equiláteros e por quadrados, com maior número de lados. As figuras acima representam todos os polígonos convexos equiláteros que podem ser construídos com triângulos equiláteros e quadrados. 16

17 44. Exemplos de construções de figuras congruentes com cópias de triângulos iguais. Triângulos equiláteros Losangos Hexágonos 45. Identificação das figuras pertencentes a Polígonos que possuem simetria central. 17

18 46. Classificação dos Polígonos pelo número de eixos de simetria que possuem. - Um eixo de simetria: - Dois eixos de simetria: - Três eixos de simetria: - Quatro eixos de simetria: - Cinco eixos de simetria: - Seis eixos de simetria: 18

19 47. Exemplos de construções com polígonos: i. Com cópias de uma mesma peça, construção de polígono semelhante a um elemento de Polígono. Exemplo 1. Com doze peças triangulares iguais ao triângulo construir: Triângulo equilátero que é semelhante a Triângulo equilátero Construído com seis cópias do mesmo triângulo. Este triângulo também é semelhante aos anteriores. Exemplo 2. Construção de um pentágono com dois tipos de triângulos: Pentágono regular semelhante a ii. Com diferentes polígonos, que incluem quadrados e triângulos obtusângulos, forma-se um polígono semelhante a outro polígono dado. Exemplo. Construção de decágonos semelhantes. 19

20 48. Comparação das seguintes figuras planas e análise das propriedades de semelhança segundo que elas existem sempre, eventualmente ou nunca. Figuras planas Dois ângulos Dois triângulos equiláteros Dois triângulos isósceles Dois quadrados Dois retângulos Um quadrado e um retângulo Dois pentágonos Dois pentágonos regulares Um pentágono regular e um hexágono regular Sempre Algumas vezes Nunca X X X X X X X X X 49. Construção de diferentes figuras geométricas, com doze peças triangulares iguais. Losango ou rombo Paralelogramo Paralelogramo Paralelogramo Estrela Trapézio Estrela 20

21 50. Identificação dos seis polígonos que integram a coleção Polígonos C: hexágono convexo regular, losango A, triângulo equilátero, quadrado, losango B, trapézio isóscele. Polígonos C Hexágono regular Losango A Triângulo equilátero Quadrado Losango B Trapézio isóscele Comparação dos lados das figuras de Polígonos C. 21

22 51. Comparação dos ângulos das figuras de Polígonos C e verificação que essas figuras satisfazem as seguintes condições: i. Um ângulo do triângulo equilátero e um ângulo do losango A são congruentes. ii. Um ângulo do losango B mede a metade da medida de um ângulo do triângulo equilátero. iii. Um ângulo do losango B mede a metade da medida de um ângulo do losango A. iv. Um ângulo do trapézio isóscele e um ângulo do triângulo equilátero são congruentes. v. Um ângulo do triângulo equilátero mede a metade da medida de um ângulo do trapézio isóscele. vi. Um ângulo do hexágono convexo regular e um ângulo do trapézio isóscele são congruentes. vii. Um ângulo do trapézio isóscele mede a metade da medida de um ângulo do hexágono convexo regular. viii. Um ângulo do triângulo equilátero mede a metade da medida de um ângulo do hexágono convexo regular. ix. Um ângulo do quadrado mede a soma das medidas de um ângulo do triângulo equilátero e de um ângulo do losango B. x. A soma de três vezes a medida de um ângulo do losango B é a medida de um ângulo do quadrado. 22

23 52. Comparação dos tamanhos das superfícies das figuras de Polígonos C. i. O losango A contem dois triângulos equiláteros. ii. O trapézio isóscele contem três triângulos equiláteros. iii. O hexágono regular contem dois trapézios isósceles. iv. O hexágono regular contem seis triângulos equiláteros. v. O hexágono regular contem três losangos A. vi. O trapézio isóscele contem um triângulo equilátero e um losango A. 23

24 53. Construção de polígonos convexos e não convexos, regulares e irregulares e de diversas figuras geométricas com as peças de Polígonos C. 24

25 Observação. Construimos um mosaico quando recobrimos o plano com figuras planas sem superposições e sem deixar espaços vazios entre as figuras. O mosaico é lado a lado se os lados dos polígonos adjacentes coincidem inteiramente, incluindo os vértices. 54. Construção de dois exemplos de mosaico lado a lado com cópias congruentes de um triângulo equilátero. 55. Construção de dois exemplos de mosaico lado a lado com cópias congruentes de um quadrado. 56. Construção de um mosaico lado a lado com cópias iguais de um hexágono regular. Observação. Os mosaicos das Atividades são chamados mosaicos regulares e são os únicos mosaicos formados com cópias congruentes de um mesmo polígono regular convexo. 25

26 Observação. Construiremos, a seguir, os mosaicos semirregulares formados por mais de um tipo de polígonos regulares, todos com lados congruentes e tais que em cada vértice concorre o mesmo número de polígonos e na mesma ordem. 57. Construção de dois exemplos de cada um dos mosaicos semirregulares formados por triângulos equiláteros e por quadrados, todas as peças com lados congruentes. 58. Construção de um mosaico semirregular que possui octógonos regulares convexos congruentes na sua formação. Determinar qual(is) outro(s) polígono(s) também faz(em) parte desse mosaico 26

27 59. Construção de dois exemplos de mosaicos semirregulares formados por triângulos equiláteros e por hexágonos regulares. Em cada mosaico, todas as peças têm os lados congruentes. 60. Construção de dois exemplos de mosaico semirregular formado por triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares convexos. Em cada mosaico, todas as peças têm os lados congruentes. 27

28 61. Representação de dois exemplos de cada um dos mosaicos semirregulares que possuem dodecágonos regulares convexos congruentes na sua formação. Determinar em cada caso qual(is) outro(s) polígono(s) também faz(em) parte do mosaico. Em cada mosaico, todas as peças têm os lados congruentes. 28

29 62. Construção do fractal Floco de neve de Koch. i. Formação de um triângulo equilátero com lados medindo nove unidades, 9u. ii. Determinação da porção central de cada um dos lados do triângulo depois de efetuar a divisão em três partes iguais. Construção de um triângulo equilátero sobre cada um dos terços centrais. iii. Repetição dessa operação sobre cada um dos novos triângulos da figura. Cada novo elemento da figura é obtido construindo novos triângulos equiláteros cada vez menores sobre o terço central dos lados. 29

30 63. Construção do fractal antifloco de neve. i. Formação de um triângulo equilátero com lados medindo nove unidades, 9u. ii. Determinação da porção central de cada um dos lados do triângulo depois de efetuar a divisão em três partes iguais. Retirada de um triângulo equilátero com base em cada um dos terços centrais do lados do triângulo original. iii. Repetição dessa operação em cada um dos novos triângulos da figura. Cada novo elemento da figura é obtido retirando novos triângulos equiláteros cada vez menores com base no terço central dos lados. 30

31 64. Construção do fractal Tapete de Sierpinski. i. Construção de um quadrado com lados medindo nove unidades, 9u. ii. Determinação do quadrado central da figura medindo três unidades de lado. Retirada do quadrado central medindo 3u de lado do quadrado original com lados medindo 9u. iii. Repetição da operação anterior, retirada do quadrado central com lados medindo 1u em cada um dos oito quadrados restantes com lados medindo 3u. Cada novo elemento da figura é obtido retirando quadrados cada vez menores do centro dos novos quadrados. 31

32 65. Construção do fractal Triângulo de Sierpinski ou Peneira de Sierpinski. i. Representação de um triângulo equilátero com lados medindo nove unidades, 9u. ii. Determinação dos pontos médios dos três lados e retirada do triângulo com vértice nesses pontos. iii. Repetição dessa operação em cada um dos três triângulos equiláteros restantes, retirando o triângulo central de cada um. iv. Repetição deste procedimento, sempre retirando triângulos cada vez menores determinados pelos pontos médios dos lados dos triângulos resultantes da etapa anterior. 32

33 66. Construção de um fractal tomando como peça base a figura formada por três quadrados unidos pelos lados, veja a figura original ao lado. i. Substituição de cada quadrado da figura por uma peça igual à figura original. ii. Repetição da operação anterior em cada um dos quadrados da nova figura. 33

34 67. Construção de um fractal tomando como peça base a figura formada por três quadrados dispostos como na figura ao lado. i. Substituição de cada quadrado da figura por uma peça igual à figura original. ii. Repetição da operação anterior em cada um dos quadrados da nova figura. Continuar com sucessivas repetições deste procedimento. 34

35 68. i. Construção de um quadrado com lados medindo três unidades, 3u. ii. Retirada dos quatro quadrados dos cantos, cada um com lados medindo 1u. iii. Substituição de cada um dos cinco quadrados na figura pela figura formada em (ii). 35

36 69. i. Construção de um quadrado com lados medindo nove unidades, 9u. ii. Retirada de dois quadrados com lados medindo 1u, um é o quadrado central e o outro é o quadrado acima dele. iii. Substituição de cada um dos sete quadrados restantes na figura pela figura formada em (ii). 36