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1 NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Triângulos: REVISÃO Lista 06 Triângulos e Quadriláteros Classificação quanto aos lados: Escaleno (todos os lados diferentes), Isósceles (dois lados iguais) e Equilátero (três lados iguais). Classificação quanto aos ângulos: Acutângulo (três ângulos agudos), Retângulo (um ângulo reto) e Obtusângulo (um ângulo obtuso). Soma dos ângulos internos: 180. Ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. Casos de congruência de triângulos: ALA, LAL, LLL e LAA o. Casos de semelhança de triângulos: AA, LAL e LLL. Elementos do triângulo: Altura (perpendicular ao lado passando pelo vértice oposto), Mediatriz (perpendicular ao lado passando pelo seu ponto médio), Bissetriz (divide o ângulo em duas partes congruentes) e Mediana (liga um vértice ao ponto médio do lado oposto). Relações métricas no triângulo retângulo: b m h a n c a h b c h b c a m n m a n a b c Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas no triângulo retângulo: senx cos x cateto oposto hipotenusa cateto adjacente hipotenusa cateto oposto tgx cateto adjacente sen cos tg

2 Quadriláteros: Soma dos ângulos internos: 60. Quadriláteros notáveis: - Trapézio: um par de lados paralelos - Paralelogramo: dois pares de lados paralelos - Retângulo: dois pares de lados paralelos e quatro ângulos retos - Losango: dois pares de lados paralelos e todos os lados congruentes - Quadrado: dois pares de lados paralelos, quatro ângulos retos e todos os lados congruentes Exercícios básicos 1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Todo triângulo isósceles é equilátero. b) Todo triângulo equilátero é isósceles. c) Um triângulo escaleno pode ser isósceles. d) Todo triângulo isósceles é triângulo acutângulo. e) Todo triângulo retângulo é triângulo escaleno. f) Existe triângulo retângulo e isósceles. g) Existe triângulo isósceles obtusângulo. h) Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é equilátero.. Determine o perímetro do triângulo ABC nos casos: a) Triângulo equilátero com AB x y, AC x 7 e BC x y. b) Triângulo isósceles de base BC com AB x, AC x e BC x.. Na figura, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos.

3 4. Na figura, temos que MN // AB. Nessas condições: a) Determine as medidas x, y e c indicadas. b) Existem dois triângulos que são semelhantes, quais são esses triângulos? 5. Na figura são dados AB 1cm e BD 6cm. Como o ABC ~ ABD, determine a medida, em centímetros, do segmento CD. 6. Se as retas r e s são paralelas, determine x, y e z nos casos: 7. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Todo retângulo é um paralelogramo

4 b) Todo paralelogramo é retângulo. c) Todo quadrado é retângulo. d) Todo retângulo é quadrado. e) Todo paralelogramo é losango. f) Todo quadrado é losango. g) Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado. h) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes congruentes é losango. i) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo. j) As diagonais de um losango são congruentes. k) As diagonais de um retângulo são perpendiculares. l) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos. m) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes e congruentes, então ele é um quadrado. 8. ABCD é trapézio de bases AB e CD. Se DP e CP são bissetrizes, determine x e BC ˆ D. 9. Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo que o seu perímetro mede 84 m e que a soma dos lados menores representa /5 da soma dos lados maiores. Exercícios de Vestibular 10. (FUVEST) No triângulo ABC, AB 0cm, BC 5cm e o ângulo AB ˆ C é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango, de área 8cm.

5 A medida, em graus, do ângulo BN ˆ P é: a) 15 b) 0 c) 45 d) 60 e) (FUVEST) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo mede 45 e o ângulo mede 55. r s A medida, em graus, do ângulo é: a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) (UNICAMP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 1,m sobre a rampa está a 1,5m de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 1. (VUNESP) Um obelisco de 1m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra. 14. (FUVEST) No triângulo ABC, seja D um ponto da hipotenusa AC tal que os ângulos DA ˆ B e ABD ˆ AD tenham a mesma medida. Então o valor de é: DC

6 a) b) 1 c) d) 1 e) (FUVEST) No triângulo ABC, AC 5cm, BC 0cm e cos a área do retângulo MNPQ, construído conforme mostra a figura, é: 5. O maior valor possível para a) 16 b) 18 c) 0 d) e) (VUNESP) Na figura, os pontos C, D e B são colineares e os triângulos ABD e ABC são retângulos em B. Se a medida do ângulo ADB é 60º e a medida do ângulo ACB é 0º, demonstre que: a) AD DC b) CD DB 17. (FUVEST) As retas t e s são paralelas. x A medida do ângulo x, em graus, é: a) 0 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

7 18. (FUVEST) No quadrilátero ABCD, temos AD BC e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º. a) Indicando por Â, Bˆ, Ĉ e Dˆ, respectivamente as medidas dos ângulos internos do quadrilátero de vértices A, B, C e D, calcule A ˆ B ˆ e C ˆ Dˆ. b) Sejam J o ponto médio do segmento DC, M o ponto médio do segmento AC e N o ponto médio do segmento BD. Calcule JM e JN. c) Calcule a medida do ângulo MJ ˆ N. 19. (FUVEST) Na figura, o valor, em graus, de é: 40 a) 50 b) 90 c) 10 d) 10 e) 0 0. (FUVEST) Considere um triângulo ABC tal que a altura BH seja interna ao triângulo e os ângulos BA ˆ H e HB ˆ C sejam congruentes. a) Determine a medida do ângulo AB ˆ C. b) Calcule a medida de AC, sabendo que AB 4cm e a razão entre as áreas dos triângulos ABH e BCH é igual a. 1. (UNICAMP) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo e um ângulo obtuso. Suponha que, em um tal trapézio, a medida de seja igual a cinco vezes a medida de. a) Calcule a medida de, em graus. b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de e é reto.. (FUVEST) Um trapézio retângulo tem bases 5 e e altura 4. O perímetro desse trapézio é: a) 1 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

8 . (FUVEST) Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados m e 5m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores dos lados das lajotas? 4. (FUVEST) O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC e AB medem 1 e, respectivamente, é dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB. Seja MN o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que a) O comprimento dos segmentos CN e CM. b) A área do triângulo CMN. ND ˆ B é reto, determine: 5. (FUVEST) Um triângulo ABC tem lado de comprimento AB 5, BC 4 e AC. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo AC ˆ B e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN. Respostas 1. a) F b) V c) F d) F e) F f) V g) V h) F. a) 57 b) 9. x 14, y 10 e a razão é 1 4. a) x 7, y 115 e c 8 b) ABC ~ MNC 5. CD 18cm 6. a) x 50, y 60 e z 70 b) x 40 e y z a) V b) F c) V d) F e) F f) V g) F h) V i) V j) F k) F l) F m) V 8. x 140 e B C ˆD m, 1m, 0m e 0m 10. B 11. E 1. a) figura b) 0,5m 1. 4,08m 14. E 15. C 16. Demonstração 17. E 18. a) A ˆ B ˆ 10 e C ˆ D ˆ D b) JM JN 1 c) a) 90º b) 6 cm 1. a) 0 b) demonstração. D. 1,, 4, 5, 10, 0, 5, 50 e a) CN CM b)

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