CM127 - Lista Mostre que os pontos médios de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles.

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1 CM127 - Lista 2 Congruência de Triângulos e Desigualdade Triangular 1. Faça todos os exercícios dados em aula. 2. Em um triângulo ABC a altura do vértice A é perpendicular ao lado BC e divide BC em dois segmentos congruentes. Mostre que AB = AC. 3. Mostre que os pontos médios de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles. 4. Sejam dois triângulos ABC e ABD tais que AC = AD. Se AB é a bissetriz do ângulo CAD então AB é perpendicular a CD. 5. Considere um círculo de raio R centrado em um ponto O. Sejam A e B pontos do círculo. Mostre que o raio que passa pelo ponto médio do segmento AB é perpendicular a este segmento. Inversamente, mostre que, se o raio é perpendicular ao segmento então o cortaria no seu ponto médio. 6. Dois círculos de centro A e B e de mesmo raio se interceptam em dois pontos C e D. Se M é ponto de intersecção de AB e CD, mostre que M é ponto médio de AB e CD. 7. Considere um ângulo AOB onde AO = BO. Trace dois círculos de mesmo raio centrados em A e em B. Suponha que seus raios sejam grande suficientes para que eles se interceptem em dois pontos. Mostre que a reta ligando estes dois pontos passa pelo vértice do ângulo e é sua bissetriz. 8. Seja ABCD um quadrilátero e E um ponto entre A e B. Suponha que AD = DE, DAB = DEC e ADE = BDC. Mostre que os triângulos ADB e EDC são congruentes. 9. Determine o conjunto de pontos que satisfazem a propriedade de serem equidistante dos extremos de um segmento. 10. Mostre que as bissetrizes de um ângulo e do seu suplemento são perpendiculares. 1

2 11. Na figura abaixo sabendo que os ângulos α = β mostre que AC = BC. 12. Na figura abaixo sabendo que AB = AC e BD = CE, mostre as seguinte afirmações: i) ACD ABE ii) BCD CBE 13. Na figura abaixo suponha que AC = AD e que AB é bissetriz de CAD. Prove que ACB ADB. 2

3 14. Na figura abaixo supondo que A é ponto médio dos segmentos CB e CE, prove que ABD ACE. 15. Na figura abaixo os ângulos BAD e BCE são retos e o segmento DE corta segmento AC no ponto médio B de AC. Mostre que AD = CE. 16. Na figura abaixo temos que OC = OB, OD = OA e BOD = COA. Mostre que CD = AB. 3

4 17. Na figura abaixo o ângulo CMA é reto e M é ponto médio de AB. Mostre que AC = BC. 18. Na figura abaixo os triângulos ABD e BCD são isósceles com base BD. Prove que ABC = ACD. 19. Na figura abaixo temos AD = DE, DAE = DEC e ADE = BDC. Mostre que ADB EDC. 20. Mostre que se um triângulo tem os lados congruentes então também possui os ângulos congruentes. A recíproca é verdadeira? (Um triângulo que possui todos lados congruentes é chamado que equilátero) 4

5 21. Na figura abaixo se ABD e BCD são isósceles com base BD, prove que ABC = ADC e que AC é bissetriz de BCD. 22. Justifique o seguinte procedimento para a determinação do ponto médio de um segmento. Seja AB um segmento. Com um compasso centrado em A, desenhe uma circunferência de raio AB. Descreva outra circunferência de mesmo raio e centro em B. Estas duas circunferências se interceptam em dois pontos. Trace a reta ligando estes dois pontos. A interseção desta reta com o segmento AB será o ponto médio de AB. 23. Na construção acima é realmente necessário que as circunferências tenham raio AB (ou pode-se utilizar um raio r qualquer)? Justifique a resposta. 24. Mostre que, na construção descrita no exercício 22, a reta que determina o ponto médio de AB é perpendicular a AB. Definição: A mediatriz de um segmento AB é uma reta perpendicular ao segmento e que passa pelo seu ponto médio. 25. Utilize a ideia da construção descrita no exercício 22 e proponha um método de construção de uma perpendicular à uma reta dada passando por um ponto desta reta. Justifique a construção. 26. Demonstre ou dê um contra exemplo caso a sentença seja verdadeira ou falsa: Dados dois triângulos ABC e EF G, se BAC = F EG, AB = EF e BC = F G, então ABC EF G. É um quarto caso (ALL) de congruência de triângulos? 27. Se ABC é equilátero e D é um ponto tal que B D C, mostre que AD > BD. 28. Demonstre que: dados ABC e DEF com AB = DE, ABC = DEF e ACB = DF E, então ABC DEF (este é mais um caso de congruência de triângulos chamado de Lado-Ângulo-Ângulo Oposto - LAAo). 29. Demonstre que: dados ABC e DEF, retângulos com ângulos retos ACB e DF E, AB = DE e BC = EF, então ABC DEF (este é um caso especial de congruência de triângulos retângulos chamado de Hipotenusa-Cateto - HC). 5

6 30. Mostre que se um triângulo possui duas alturas congruentes então o triângulo é isósceles. 31. Sejam AB e CD segmentos que se bissectam em M (isto é, M é ponto médio de AB e CD). Mostre que AC e DB são congruentes. 32. Seja ABC com M o ponto médio de BC. Se AM é perpendicular à BC então ABC é isósceles com base BC. 33. Na figura abaixo os ângulos externos ACE e ABD satisfazem ACE < ABD. Mostre que ABD > ABC. 34. Considere um quadrilátero ABCD tal que BD > BC e DAB > ABC. Mostre que BD > AC. 35. Na figura abaixo m e n são duas retas perpendiculares. Qual o caminho mais curto para se ir do ponto A ao ponto B tocando nas duas retas? 36. Mostre que qualquer triângulo tem pelo menos um ângulo externo obtuso. 37. Considere ABC. No segmento AB tome um ponto D, e no segmento CD tome um ponto E. Mostre que AEC > DBC. 38. Mostre que a soma das diagonais de um quadrilátero é maior que a soma de dois lados opostos. 39. Dado ABC seja D AB. Mostre que CD é menor do que o comprimento de um dos lados AC ou BC. 40. Sejam ABC e DEF com ACB = DF E, AB = DE e BC = EF. Dê um exemplo para mostrar que estas hipóteses não acarretam que os triângulos devam ser congruentes. 41. Dois segmentos têm extremidades em um círculo. Mostre que o mais distante do centro do círculo tem o menor comprimento. 6

7 42. Na figura abaixo prove que DCH > F ED. 43. Na figura abaixo considere que EF é bissetriz de DEC. Mostre que: (a) F GC > F EC. (b) Se F GH = EDH então EDI > GF H 7

8 44. Na figura abaixo temos DAB < DBA e DAC < DBC. Mostre que CAB < CBA. 45. Na figura abaixo temos AD = BD e AC > BC. Mostre que DAC < DBC. 46. Na figura abaixo temos ABD > DBC. Prove que AD > BD. 47. Na figura abaixo o triângulo KGH é isósceles com base GH. Seja P um ponto com P G H. Mostre que (a) KGH > KP H (b) KP H < KHG (c) P K > KH (d) Se tivéssemos G H P como poderíamos comparar P K e KH? 8

9 48. Na figura abaixo prove que AB + BC + CD > AD. 49. Na figura abaixo temos que AB + BC + CD > AD, como no exercício anterior? 50. Seja P um ponto interno do triângulo ABC. Mostre que AB + AC > BP + P C. 51. Na figura abaixo mostre que o perímetro do triângulo DEF é menor do que o perímetro do triângulo ABC. 9

10 52. Mostre que se é possível construir um triângulo com lados de medidas a, b e c então 1 é possível construir um triângulos com lados de medidas a + b, 1 a + c e 1 b + c. 53. Na figura abaixo mostre que: AB + BC + CD + DA (a) < BD + AC. 2 (b) BD + AC < AB + BC + CD + DA. 54. Mostre que a distância entre quaisquer dois pontos dentro de um triângulo não é maior que a metade do perímetro do triângulo. 10

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